四点共圆例题及答案

1、证明四点共圆的基本方法证明四点共圆有下述一些基本方法:方法1从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆.方法2把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若 能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆.（若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。）方法3把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻 补角的内对角时，即可肯定这四点共圆.方法4把被证共的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共；或把被证共圆的四点两

2、两连结并延长相交的两线段，5若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的 两线段之积，即可肯定这四点也共圆.（根据托勒密定理 的逆定理）方法5证被证共的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆.上述五种基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要求 证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这五种基本方法 中选择一种证法，给予证明.例1如图，E、F、G H分别是菱形ABCD各边的中点求证：E、F、G H四点共证明菱形ABCD勺对角线AC和BD相交于点0,连接0E OF OG OH AC和BD互相垂直， 在 RtA AO

3、BRtA BOCRtACODRtA DOA 中，E、F、GH,分别是 AB BC CD DA 的中点，AOE = - AB, OF = -BC, OG 二丄 CD, OH = -DA2222VAB = BC = CD =DA, OE = OF = OG = OH.若四边形的两个对角互补(或一个外角等于它的内对角厂则四点共 例 2 女口图，在厶 ABC 中，AD 丄 BC, DEL AB, DF AC.求证：BE、F、C四点共圆.证明 T DEI AB DFL AC,AEDbZ AFD=180,即A、E、DF四点共圆，/ AEF=/ADF又 ADL BC,/ADPf/ CDF=90, / CD

4、阡/ FCD=90 ,/ ADF/ FCD / AEF/ FCD/ BEFAZ FCB=180,即B、E、F、C四点共圆.(3)若两个三角形有一条公共边，这条边所对的角相等，并且在公共边的同 侧，那么这两个三角形有公共的外接圆.【例1】在圆内接四边形ABCD中/ A- / C=12,且/ A : / B=2 :3.求/A、/ B、/ C、/ D 的度数.解四边形ABCD内接于圆，/ A+Z C=180AZC=12,Z A=96,ZC=84.vZ A： Z B=2： 3，c 2ZB = 96q X 二 14半3ZD=180-144=36.禾U用圆内接四边形对角互补可以解决圆中有矢角的计算问题.本

5、例利用圆内接四边形的一个外角等于内对角及平行线的同位角圆中同弧所对的圆周角得到两个相似三角形的条件，进而得到结论.尖于圆内接四边形的性质，还有一个重要定理现在中学课本一般都 不列 入，现介绍如下：命题“菱形都内接于对吗?命题“菱形都内接于是不正确的所以是假命题理由是：根据的内接四边形的判定方法之一，如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接这个判定的前提是组对角互补，而菱形的性质是一组对角相等而一组相等的角，它们的内角和不一定是180。.如果内角和是180。，而且又相等，那么只可能是每个内角等于90。，既具有菱 形的性 质，且每个内角等于90。，那末这个四边形一定是正方形而正方形显然是菱

6、形中 的特例，不能说明一般情形.判定四边形内接于圆的方法之二，是圆心到四边形四个顶点的距离相 等圆 既是中心对称图形，又是轴对称图形，它的对称中心是圆心菱形同样既是中心对 称图形，又是轴对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点但菱形的对称中心 到菱形各个顶点的距离不一定相等.所以，也无法确定菱形一定内接于圆；如果菱形的对称中心到菱形各边顶点的距离相等，再 加上菱形的对角线互相垂直平分这些性质，那么这个四边形又必是正方形.综上所述，“菱形都内接于圆”这个命题是错误的.5圆的内接四边形例1已知：如图7-90, ABCD是对角线互相垂直的圆内接四边形，通过对角线的交 点E与AB垂直于点H的直线交CD

7、于点M.求证：CM=MD证明 / ME(与/ HEB互余，/ ABE与/ HEB互余，所以/ MECMABE又/ABEW ECM 所以/ MECMECM 从而 CM=EM 同理 MD=EM 所以 CM=MD13点评本例的逆命题也成立(即图中若M平分CD则MHLAB 这两个命题在某些问 题中有时有用.本例叫做婆罗摩笈多定理.例2已知：如图7-91 , ABCD是O O的内接四边形，ACLBD,OE丄AB于点E.求证：OE二;CD.厶ETT1分析一如图791 (a),由于E是AB的中点，从A引OO的直径丸G,0是AG的中点，由三角形中位线定理可知OEJgB,因 此只予2需证明GB=CD但这在第七章

8、E 1.4周角中的例3已经证明了.证明读者自己完成.分析二如图791 (b)，设AC, BD垂直于点F.取CD的中点皿则MF所以应该有OE = MF，并且由例啲点评知道还有OE/ MF从而四边形OEFM应该是平行四边形证明了四边形OEFM是平行四 边形，问题也就解决了 而证明四边形OEFM是平行四边形已经没有什么困难了.吩析三如图79(b),通过ACBD的交点F作AB的垂线交CD于点M连结线段EF, M0由于OELAB, FMLAB,所以OE/FM又由于EF丄CD (见例1的点评)，MOL CD 所以EF/ M0所以四边形OEF丽平行四边形从而OE=MJF而由例1知MF-R 所以0E二CD例4

9、已抓 如團7-93 , P为等边三角形ABC的外接劇的BC上任意一点求证：PA-PB+P.C分析一 本例是线段和差问题，因此可用截取或延长的方法证明如图7-93 (a),在PA上取点M,使PM=PB剩下的问题是证明MA=PC这只要证明 ABIVTACBP 就可以了.证明读者自己完成.分析二如图7-93 (a),在PA上取点M使MA=PC剩下的问题是证明PM=PB这只 要证明 BPM是等边三角形就可以了.证明读者自己完成.團7八93分析三如图7-93 (b)涎长CP到M使PM=PB剩下的问题是证明PA=MC这只要 证明 PABAA CMBt可以了.证明读者自己完成.读者可仿以上的方法拟出本例的其

10、他证明.本例最简单的证明是利用托勒玫定理(例3).证明由托勒玫定理得PA- BC=PB AC+PC AB,由于BC=AC=AB所以有PA=PB+PC例2如图7-116,0 O和。O都经过A、B两点，经过点A的直线CD与O O交于点C,与O O交于点D.经过点B的直线EF与O O交于点E,与O C2 交于点F.求证:CE/ DF.分析：要证明CE/ DF.考虑证明同位角（或内错角）相等或同旁内角互补.由于CEDF分别在两个中，不易找到角的尖系，若连结AB则可构成圆内接四边形，利用圆内接四边形的性质定理可沟通两圆中有尖角的尖系.证明：连结AB. ABEC是圆内接四边形，/BAD” E.-ADFB是

11、圆内接四边形，/ BADbZ F=180,/ E+Z F=180.CE/ CF.说明：（1）本题也可以利用同位角相等或内错角相等，两直线平行证 明.如延长EF至G,因为Z DFGZ BAD而Z BADZ E,所以Z DFGZ E.（2）应强调本题的辅助线是为了构成圆内接四边形，以利用它的性质,导出角之间的尖系.(3) 对于程度较好的学生，还可让他们进一步思考，若本题不变，但不给出图 形，是否还有其他情况？问题提出后可让学生自己画图思考，通过讨论明确本题还应有如图7-117 的情况并给予证明.例3如图7118,已知在厶ABC中，AB=ACBD平分/ B,A ABD的外接 圆和 BC交于E.求证：

12、AD=EC分析：要证AD=EC不能直接建立它们的联系，考虑已知条件可知/ ABD=/ DBE容易看出 若连结DE则有AD=DE因此只要证DE=EC由于DE和DEC的两边，所以只要证/ EDCh C.由已知条件可知/ C=ZABC因此只要证/ EDCMABC因为 EDC是圆内接四边形ABED勺一个 外角，所以可证/ EDCh ABC问题可解决.囲7证明：连结DE T BD平分/ ABCAD=DE ,AD=DETABED是圆内接四边形，/ EDCh ABCTAB=AC/ ABCM C,AZ EDC=Z C.于是有DE=EC因此AD=EC四、作业1 如图7-120，在圆内接四边形ABC冲、AC平分B

13、D并且ACL BD / BAD=70 求四边形其余各角.图 7-1212圆内接四边形ABCD中，ZA、/ B、/ C的度数的比为2 ： 3 ： 6,求四 边形各内角的度数.3如图7-121，人。是厶ABC外角Z EAC的平分线，AD与三角形的外接交于点D.求证：DB=DC作业答案或提示:1. Z ABCZ ADC=90 , Z BCD=109 42*2. Z A=45,Z B=67.5,Z C=135 , Z D=112.5.3. 提示：因为 Z DBCZ DAC Z EADZ DCB Z EADZ DAC 所以 Z DBC=Z DCB 因此 DB=DC判定四点共圆的方法引导学生归纳判定四点共

14、圆的方法:(1)如果四个点与定点距离相等，那么这四个点共(2) 如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆.(3) 如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点 共圆.(4) 如果两个直角三角形有公共的斜边，那么这两个三角形的四个顶点共圆 (因为四个顶点与斜边中点距离相等).3 如图7-124，已知ABC助平行四边形，过点A和B的圆与AD、BC分别交于 E、F.求证：C D E、F四点共提示连结 EF.由/ B+ / AEF=180 ，/ B + ZC=180 ，可得/ AEF= / C .四点共的应用四点共圆在平面几何证明中应用广泛，熟悉这种应用对于开阔证

15、题思 路，提 高解题能力都是十分有益的.一用于证明两角相等例1如图1,已知P为外一点，PA切于A, PB切于B, 0P 交 AB 于 E.求证:/ APC=Z BPD证明连结OA OC 0D由射影定理，得AE!=PEE0又AE二BE,则AE- BE= PE- E0;由相交弦定理，得AE- BE= CE- DE(2)；由、得 CE- ED= PE E0 二 P、C 0 D 四点共圆，则/ 1 = 72, / 3=7 4,又 7 2=74.AZ 1 = 7 3,易证 7 APC=Z BPD(/4=7 EDO)用于证明两条线段相筹例2如图2,从。0外一点P引切线PA PB和割线PDC从A点作弦AE平

16、 行于DC连结BE交DC于F,求证：FC二FD.2证明连结 AD AF EC AB. v PA 切 OO 于 A,则/ 1 = Z 2,v AE/CD,则/2=Z 4.AZ 仁/4,A p、人 F、B 四点共圆./ 5=/6,而 / 5二/ 2=/ 3,A/ 3二/6.v AE/ CD, / EC=A D 且/ ECF/ ADF EFCAAAFD FC= FD.用于证明两直线平行例3如图3,在厶ABC中，AB=AC ADL BC, / B的两条三等分线交AD 于 E、G 交 AC 于 F、H.求证：EH/ GCbauE 3B 4证明连结EC在厶ABE和厶ACE中，v AE二AE, AB=AC

17、/ BAE=/CAE AEBAAEC / 5二 / 1 = / 2, B、C、H、E 四点共圆，/ 6 =/ 3 .在 GEBA GEC 中，v GE= GE / BE/ CEG EB= EC, GEBGEC / 4=/ 2=/ 3, / 4=/ 6.A EH/ GC1四用于证明两直线垂直 例4如图 AABC为等边三角形,D、E分別为EG如池上的点，且BD CE =lACf AD与BE相交于P点求证:CP 1AD,证明 在厶 ABDaPaBCE 中，：AB=BCZ ABB/ BCE BD= CE 则厶 ABDAA BCEADB/ BEC二P、D C E四点共圆.设DC的中点为0连结OE DE易

18、证/ OEG 60,/ DE 30二/ DEG 90,于是/ DPC=90，二 CPAD五用于判定切线例5如图5, AB为半圆直径，P为半圆上一点，PCLAB于C,以AC为直 径的圆交PA 于D,以BC为直径的圆交PB于E,求证：DE是这两圆的公切线.证明连结DC CE易知/ PDG/PEG 90。,二P、D、C、E四点共圆，于是/仁/3,而 / 3+/ 2 二 90,/ A+/ 2=90。，则 / 1 二 / A, DE 是圆 ACD 的切线.同理，DE 是圆BCE的切线因而DE为两圆的公切线六用于证明比例式例6ABCD为O O中两条平行的弦，过B点的切线交CD的延长线于G,弦PA PB分别

19、交CD于E、F.1EFFDCFFG证明 如图6连结BE PG T BG切O O于B,则/仁/A. v AB/ CD则/A=Z2.于是 / 1 /2,A p、G B E四点共圆由相交弦定理5得EF- FG=PF FB.在O O中，由相交 弦定理，得CF- FD=FPFB.二 EF FG二CF* FD,.EFFDCFFG七用于证明平方式例7 ABC助圆内接四边形，一组对边AB和DC延长交于P点，另一组对边AD和BC延长交于Q点，从P、Q引这圆的两条切线，切点分别是E、F，（如图 7）求证：PQ二 QF+ PE.证明作厶DCC的外接圆，交PQ于M连结MC vZ仁/ 2= 3,贝U P、B、C、M四点共圆由圆幕定理得PE二PC- PD二PM- PQ QF=QCQB 二QMQP 两式相加得 PE+ QF二 PMPC+ QM QP=PQ （P+QM