圆锥曲线离心率专题

1、圆锥曲线离心率专题训练1.A.已知F1, F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点 r,51)P,使得C.PFPF2,则椭圆离心率的取值范围是（0,!，52.二次曲线m|：-N-1时，该曲线离心率e的范围是（3.A.4.A.5.A.6.(A.7.A.A.椭圆焦点在x轴上,二，1）24卜1 一】 k双曲线(-m, 0)B.C.D.A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点,B d 1）C2/ OPA=90，则该椭圆的离心率二,-）2e的范围是（D （0,：）2的离心率e（ 1, 2）,则k的取值范围是（B.( - 3, 0)C.( - 12,D.( - 60,- 12)设F1, F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上

2、存在点B.P 满足/F 1PF2=120C.，则椭圆的离心率的取值范围是（D.已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处，其重心是椭圆的一个焦点，求该椭圆离心率 ）琴）C.D.e的取值范围. 2已知椭圆x+m$=1的离心率巳 *1），则实数m的取值范围是（C.B.已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在交点为P,A PF1F2是以PF为底边的等腰三角形，双曲线的离心率的取值范围为（ 范围是（）8.D.x轴上，左、右焦点分别为1,务 1)U (1 . i)Fi, F2且它们在第一象限的2）,则该椭圆的离心率的取值A.（0，二）B（丄，丄）C （二，二）D（二33 23 C5,1)9.椭

3、圆-+7=1 （ab0）的内接矩形的最大面积的取值范围是3b2, 4b2，则该椭圆的离心率 e的取值范围是A.C.D.10.如图，等腰梯形ABCD中,AB/CD且AB=2, AD=1,DC=2x (x( 0,1).以A,B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e1；以C,D为焦点，且过点A的椭圆的离心率为e2,贝Uet+e2的取值范围为()B.( 口，+m)，则离心率e的取值范围是(al, b0)的焦距为D.(.一 I , +R)2c,离心率为e，若点(-1,0)与点(1,0)到直线专卡1A. VsB-.1)C.12.已知F1, F2是椭圆-41 (ab0)的两个焦点, a2 b2若存在点 P为椭

4、圆上一点，使得/F iPF2=60,则椭圆离心率e的取值范围是(A.elC.13. 已知方程x3+2ax2+3bx+c=0(a, b,c R)的三个实根可分别作为一椭圆，一双曲线、一抛物线的离心率，贝U . | 的取值范围是(A.B.C.(V10* +814.已知椭圆 +上到点A (0, b)距离最远的点是 B ( 0,- b),则椭圆的离心率的取值范围为(A.IXB.C.15.已知双曲线的中心在原点，焦点x轴上，它的一条渐近线与 x轴的夹角为a,且离心率的取值范围是(A.16.已知双曲线22C.(1, 2)D.TC b 0）上一点A关于原点的对称点为B, F为其右焦点，若AF丄BF,设/ A

5、BF=a且a 丄,12，则该椭圆离心率的取值范围为（A.:,1C.18.已知椭圆2二1 （ab0）的左、右焦点分别为Fi (- c, 0), F2 (c, 0),若椭圆上存在点，则该椭圆的离心率的取值范围为（A.20.双曲线的弦长为L,若l,则椭圆离心率e的取值范围是（）C.(0:D.2 2宁牛 (ah b0)的焦距为 a3 b32c,直线l过点（a, 0）和（0, b）,且点（1, 0）到直线l的距离与点（-1, 0）到直线I的距离之和则双曲线的离心率 e的取值范围是（sinZFF1F2sirL2FF1F21)A. (0，逅1) B (返，i)2 219.已知直线l : y=kx+2 （k为

6、常数）过椭圆r -】的上顶点B和左焦点F,且被圆x2+y2=4截得a2 b2A.D 孚 V5121.点A是抛物线 G： y2=2px （ p 0）与双曲线22K牛二1abC2：（a 0 , b 0）的一条渐近线的交点，若点 A到抛物线G的准线的距离为 p,则双曲线C2的离心率等于（）A._ 】B. 一；C.广D.I.2 222.在椭圆上有一点M F1, F2是椭圆的两个焦点，若a2 bZHFj-lMFj |=2b2，则椭圆离心率的范围是A.Co!fB.,1)C.23.椭圆；+y2=1上存在一点P,使得它对两个焦点F1, F2的张角/F1PF丄，则该椭圆的离心率的取值范围是24.2 2椭圆._

7、(ab 0)上存在点P到原点的距离等于该椭圆的焦距,2 l2丄a b则椭圆的离心率的取值范围是()A.(0, 1)B.c.D.25.为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是(A.B.)C.D.26.设A” A为椭圆 旦+匚1的左右顶点，若在椭圆上存在异于a2 b2Ai、A的点P,使得_ J其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是(A.)c.D.1)27.已知点Fi、F2分别是双曲线2 2丄一丄=1的左、右焦点，过 丨Fi且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若A、B和双曲线的一个顶点构成的三角形为锐角三角形,A.(1 , 1+ . )B.( 1,：；)则该双曲线的离心率e的取值范围

8、是(C. (- 1,1+ 二)D. (1, 2)28.如图，已知A (- 2, 0), B (2, 0),等腰梯形ABCD满足 |AB|= - 2|CD| , E 为 AC上一点，且,L - I j1 .又以 A、二._ -，则双曲线离心率 e的取值范围为(c. ID.吊十8)A关于原点的对称点为 B, F为其右焦点，若AF丄 BF,设/ ABF=x，且2 2椭圆； | - 的左右焦点分别为F1, F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P,使得AF 1F2P护bh,则该椭圆离心率 e的取值范围为(A.B.2 230.已知P为椭圆 务+弓二1 (a b 0)上一点,a2 b2Fi,C.D.F2是椭圆

9、的左、右焦点，若使 PFiF2为直角三角形的点 P有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是(C.(1,二)D.A.(0,参考答案与试题解析:,=:2 0-2X -岂请+ b?b2，当且仅当Xo=O时取等号.a1.已知Fl, F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P,使得PFi丄PF2,则椭圆离心率的取值范围是（）,1)B ：, 1 )C.(0, - D (0,:5252解：如图所示，下面证明椭圆的短轴的一个端点是到椭圆的中心距离最短的点.椭圆的短轴的一个端点是到椭圆的中心距离最短的点.若椭圆上存在点 P,使得PF丄PF2,则 Ob,又 ev匕1.2.二次曲线该曲线离心率e的范围是（故选B.V /S

10、T%.A.呼净 B皓为解： m -2, - 1,2该曲线为双曲线，a=2, b = - m C=- F离心率 e=一=-a 2- m - 2,- 1, 1 Q n,r., ee耳唱故选C3椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，/ OPA=90，则该椭圆的离心率e的范围是（）-,1)B ( ：, 1 )C _,)D (0, :222 322 2解：可设椭圆的标准方程为:.lZ_I (a b 0).2 i 21a b设P（ x，y）, /OPA=90 ,点 P在以0A为直径的圆上.该圆为:联立T 7 U)勺化为92_ ax+ y 二 0J /a b22小x - ax+y =0.-a2

11、宜垃 ，解得2223化为(b - a ) x+ax a b =0,/ Ov x v a,2 ,22 2 化为 c b =a c ,戶!,又 1 e 0.解得匕,1： 该椭圆的离心率e的范围是故选：C.卩-iq卜i 一1 k4.双曲线的离心率e（ 1, 2）,则k的取值范围是（A.(a,0)B.( 3, 0)C.( 12,0)D.( 60, 12)解：双曲线二1的离心率e（ 1, 2）,k双曲线标准方程为:2=1二 kv 0,4-k1v4, 12v kv 0,故答案选C5.设R, F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足/F 1PF2=120A.B.C.，则椭圆的离心率的取值范围是（D.解：F

12、1 ( c, 0), F2 (c, 0) , c0,设 P (X1, y1), 则 |PF1|=a+ex 1, |PF2|=a ex1.在厶PF1F2中，由余弦定理得 cos120 =2 -牝22西)(a+eXj )(a - e 11 )2解得X1 =2 , 2 X1 ( 0, a ,4c2 - 3a2v a2,即22厂24c - 3a 0 .且 e v 1e=故椭圆离心率的取范围是,D -e6.(A.故选A.已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处，其重心是椭圆的一个焦点，求该椭圆离心率 ）（0,爭B.C.D.e的取值范围s 1）解：不防设椭圆方程:2 2 k丄y - 二利 a b(ab

13、0),再不妨设：B （0, b）,三角形重心延长BG至D,使|GD|=丄一,G( c, 0)，设D （ x, y）,则丽=（春厂b），丽二（亡,-b），由 BFWIbD，得：(c,- b).2解得:即.丫 2而D 二匚- 是椭圆的内接三角形一边 AC的中点,所以，D点必在椭圆内部，2 1把b2=a2- c2代入上式整理得： r，即 m 1,土 护二1,&已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为 Fi, F2且它们在第一象限的交点为P,A PF1F2是以PF为底边的等腰三角形，双曲线的离心率的取值范围为(1，2)，则该椭圆的离心率的取值范围是()A. ( 0，B.

14、/)C.(1，D.22_+2 y2TTab解：设椭圆的方程为=1 (a b 0),其离心率为e1,双曲线的方程为22Xy .IDn=1 ( m 0, n0),|F 1F2|=2c ,有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为P,A PF1F2是以PF为底边的等腰三角形,在椭圆中，|PF1|+|PF 2|=2a，而 |PF2|=|F 冋=2。, |PF1|=2a - 2c；同理，在该双曲线中，|PF1|=2m+2c;由可得a=m+2c飞2 ( 1 , 2),IT又&亠亠a rrH-2c9.是A.故选c.2 2椭圆令耳1 (ab0) a2 b2B.的内接矩形的最大面积的取值范围是3b2, 4b2，

15、则该椭圆的离心率e的取值范围c.D.解：在第一象限内取点(2acos 宽为 2bsin 0,x, y),设 x=acos0, y=bsin , ( Ovev 网)则椭圆的内接矩形长为内接矩形面积为 2acos e ?2bsin e =2absin2 e 2ab,22由已知得：3b w2ab4b ,a 3b2a 16c ,w ；3 a 2即e故选B.10.如图，等腰梯形ABCD中,AB/CD且AB=2, AD=1,DC=2x (x( 0,1).以A,B为焦点，且过点D的双曲线A的椭圆的离心率为 e2,贝U e1+e2的取值范围为()+ 8)n, +8)2D.(.一 I , +8)解: BD=I

16、= I I,c1=1, a2=+l,e2=；,C2=X,e1e2=1但 e1+e22 .2x r 2Vl+4x - 1Vl+4x 一 1a/1+4k+1Vl+4r - 1)2广中不能取“=”，令 t= Ul+4工-1 ( 0, VS- 1)，则 &+e(t+里),t ( 0, IS - 1),2 1e 1+e2( 低，+8)e 1+e2的取值范围为(“亏，+8).故选B.11.已知双曲线 二一 ci （al,的焦距为2c,离心率为e,若点（-1,0）与点（1,0）到直线旦-厶a b，则离心率e的取值范围是（的距离之和为A.拆)C. VY解：直线I的方程为 兰-戈二1，即bx - ay - ab

17、=O.由点到直线的距离公式，且a 1，得到点（1, 0）到直线I的距离di=-同理得到点（-1, 0）到直线I的距离.d2“_li，由S,即c b42于是得 4e - 25e +25W 0.解不等式，得广叭：.由于所以e的取值范围是 e故选A.12.已知Fi,F2是椭圆的两个焦点,若存在点 P为椭圆上一点，使得/F iPF2=60 则椭圆离心率e的取值范围是（A.)B.0匕60，可得 RtPoOF?中，/ OF0F230, 所以 PO _ QR，即其中 c=i，-229a - c 3c ,可得2 2a c 0P对两个焦点的张角/F 1PF2渐渐增大,丄 _ 故选C-213.已知方程x3+2ax

18、2+3bx+c=0(a, b,c R)的三个实根可分别作为一椭圆，一双曲线、一抛物线的离心率，贝U . | 的取值范围是(A.+83解：设f (x) 所以f (x)= 故 g ( x) =x +C.(届 +8)32=x +2ax +3bx+c,由抛物线的离心率为1,可知 f (1) =1+2a+3b+c=0,故 c= - 1 - 2a- 3b,(x - 1) x2+ (2a+1) x+ ( 2a+3b+1)的另外两个根分别是一个椭圆一个双曲线的离心率，(2a+1) x+ (2a+3b+1),有两个分别属于(0, 1), (1, +)的零点，故有 g (0) 0, g (1 )v 0,即 2a+

19、3b+1 0 且 4a+3b+3v 0,则a, b满足的可行域如图所示，由于2a+3b+l=04a+3b+3=0，贝V P (- 1，二)I .表示(a, b )到(0, 0)的距离,且(0, 0)至 P (- 1,的距离为d=1)中岬的取值范围是(一 ,+8).可确定丿兀2 214. 已知椭圆务+勺二1上到点A (0, b)距离最远的点是 B ( 0,- b),则椭圆的离心率的取值范围为()A.(0,普 B睜1) C厶尊 D習1)解：设点P (x, y)是椭圆上的任意一点，化为则岂+勺二1a2 b222_ k34 |PA| M+ （y - b） 2看（1-勺）十（y-b ） -七（厂一 ）2

20、+A;=f（ y）， I?be c椭圆上的点 P到点A （ 0, b ）距离最远的点是 B （ 0, - b）, 由二次函数的单调性可知：f （y）在（-b, b）单调递减，八、r2222卄22化为 c b =a - c，即卩 2c Wa ,又 e 0.离心率的取值范围是（0,半.故选：C.15. 已知双曲线的中心在原点，焦点x轴上，它的一条渐近线与 x轴的夹角为a,且，则双曲线的43离心率的取值范围是（）A.（1,逅）B.（品 2）C. （1 , 2）解：双曲线的焦点在 x轴上，故其渐近线方程为 yxD. | (占 2V2)贝U tan a二丄a/一-4 3 1 v tan av 岛，即1上

21、書汽点一2 ca2 a2 a3求得二一2a故选B.16. 已知双曲线 一-=1的两焦点为F1、F2,点P在双曲线上，/F 1PF2的平分线分线段F1F2的比为5: 1，则双曲线离心率的取值范围是（B.C.D.(, 2解：根据内角平分线的性质可得:，再由双曲线的定义可得5PF2- P，由于 Pgc- a，亠y 再由双曲线的离心率大于 1可得，1v e，故选A .2 217. 椭圆J_+=1 ( ab0)上一点A关于原点的对称点为2a bB, F为其右焦点，若AF丄BF,设/ ABF=a且a 匹,12兀，则该椭圆离心率的取值范围为(4A 返,1B亜，近223解：TB和A关于原点对称 也在椭圆上设左

22、焦点为FD.根据椭圆定义：|AF|+|AF |=2a又 v |BF|=|AF | |AF|+|BF|=2aO是Rt ABF的斜边中点， |AB|=2c 又|AF|=2csin a |BF|=2CCOS a 代入 2csin a +2ccos a =2aa sin Cl 4-cos Cl= _1 1sinCl +cos CljV2 Gm(Q+ 4)即e7T 7T.124 Wa + n /4 W32 W sin (a+ 丄)wi24 -W ew 23故选B22F1 (- c, 0), F2 (c,0),若椭圆上存在点18. 已知椭圆耳苓L (sb0)的左、右焦点分别为sinZPPiFfsinZPF

23、jFjA.(0,-1)B (返，1)C (0,返)D.(f2 - 12 s2，则该椭圆的离心率的取值范围为(),1)解：在 PF1F2中，由正弦定理得:pf2sinZFF1F2sinZP?1F2则由已知得:a u即：aPR=cPF2设点P (xo, yo)由焦点半径公式，得: PR=a+exo, PF?=a - ex。贝U a (a+ex) =c (a - ex。)解得：x0=n (巴-1)e (e+1)由椭圆的几何性质知：x0- a则,& (t-l)e(c+1)-a,整理得e2+2e - 1 0,解得：ev-打：-1或e ; 故椭圆的离心率：e（：- 1, 1）,故选D.1，又 e(0, 1

24、),19 .已知直线I : y=kx+2 （k为常数）过椭圆2 2的上顶点B和左焦点F,且被圆x+y =4截得A.的弦长为L,若,则椭圆离心率e的取值范围是LB.c.D.2 2解：圆x +y =4的圆心到直线I : y=kx+2的距离为d= -直线I : y=kx+2被圆x2+y2=4截得的弦长为L, _吕解之得解之得d2吩k2 - b=2 且 c=- 直线I经过椭圆的上顶点 B和左焦点F, 汽，即a吩2因此，椭圆的离心率e满足品一=a1+k211+k2W-,可得e.( 0,斗故选：B20.双曲线二；-（&的焦距为2c,直线I过点（a, 0 ）和（0, b）,且点（1, 0）到直线I的距离与点

25、（-1,A.B.0）到直线I的距离之和.则双曲线的离心率C.-e的取值范围是（D的方程为上+=1,解：直线即 bx+ay - ab=0.由点到直线的距离公式，且a 1，得到点（1, 0）到直线同理得到点（-1, 0）到直线I的距离 db (a-KL)2 V2 + b2于是得5e22422e，即 4e 25e +25W0.解不等式，得也w由于2e w 5.4e10,所以e的取值范围是聲 0)与双曲线 C2：上一二1 ( a 0, b 0)的一条渐近线的交点，若点 bA到抛物线Cl的准线的距离为A. . :P,则双曲线C2的离心率等于(B- .；D. r.解：取双曲线的其中一条渐近线：y=!,a联

26、立/二2的by=xaZpa2s-b22pa丄).点A到抛物线G的准线的距离为 p,P；a21b24双曲线C2的离心率e故选：C.22.在椭圆-上有一点 M Fi,F2是椭圆的两个焦点，若|MF卜 |MF? |=2b2，则椭圆离心率的范围是(A.B.C.解：由椭圆定义可知：|MFi|+|MF 2|=2a , 所以|MF+ IF2-:V - V I- . I,在厶MF1F2中，由余弦定理可知23.A.又丨2 2 2由可得：4c =4a - 4b - 2|MFi|?| 所以 |MFi|?|MF 2|cos 0 =0.2 2 2 2cb, 即卩 c b =a - c ,卜|HF J二狞，,MF|cos

27、 0.所以所以故选椭圆(0,B.2 22c a ,e,D .: +y2=1上存在一点P对两个焦点Fi,F2的张角/F氏，则该椭圆的离心率的取值范围是（解：椭圆方程为:C.(0,D.口，1）-+y2=0,aa2-l2 2 2 b =1，可得 c =a - 1, c=椭圆的离心率为e=一a又椭圆上一点 P,使得角/F设点P的坐标为（xo，yo），心，结合 Fi (- c, 0), F2(c， 0),可得卜日=(-c - xo, yo),PF2= ( c- X0,- y。),I P ( X0,2=1 上,0=0，代入可得+1=0将c2=a2 - 1代入，得辺2 - a2”+2=0，所以j亠-:扁 -

28、 ax 0a椭圆的离心率21 v a b0）上存在点P,使P到原点的距离等于该椭圆的焦距，则椭圆的离心率的取值范围是（A.( 0,1)B.c.(0,却解：设P (x, y) , tp至噸点的距离等于该椭圆的焦距，.x2+y2=4c2 D.联立得TP在椭圆-上, b1 -o -y 飞 a1 -2b2X 一 12231护/21电a(5c2 -a2 2,T 0x ac24e2ie 2故选c若椭圆C上恰好有6个不同的点P,使得AF 1F2P2 225椭圆； | - -的左右焦点分别为Fi, F2,乳b2为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是(A.B.)C.D.33解：当点P与短轴的顶点重合时， F

29、1F2P构成以FiF2为底边的等腰三角形， 此种情况有2个满足条件的等腰AF 1F2P;当AF 1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时, 以F2P作为等腰三角形的底边为例，F iF2=FiP,C有2交点时,点P在以Fi为圆心，半径为焦距 2c的圆上 因此，当以Fi为圆心，半径为2c的圆与椭圆 存在2个满足条件的等腰AF 1F2P,此时a - X 2c,解得a b0）的左右顶点，若在椭圆上存在异于 a2 b2Ai、A的点P,使得而,A.(CLB.（0,孕C(寺 DD.殍1)其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）解：Ai(- a,0),A(a,0),设 P(x ,y),贝 U P0

30、= (- x , -y),? = (a- x,- y),po-p=o.2 2(a - x) (- x) + (- y) (- y) =0 , y =ax- x 0, / Ov xv a.代入土 + M_=i ,整理得（b2- a2）232 2x +a x - a b =0 在(0 ,a ）上有解,22232 22 2. 一 .令 f (x)=(b - a ) x +ax - a b =0 , / f( 0)=- a b v 0 , f (a) =0 ,如图：./3、22、，/2 2、2/4.2 2“4、2,2小2、2、小 = ( a )- 4X( b - a )x( a b ) =a ( a

31、- 4a b +4b ) =a (a - 2 c )0 ,对称轴满足0 v-v a,即字過,又0耆一书专1,故选D.27.已知点Fi、F2分别是双曲线.=1的左、右焦点，过 Fi且垂直于x轴的直线与双曲线交于 A、B两点，若a bA、B和双曲线的一个顶点构成的三角形为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A.（ 1 , 1+ .二）B.（1,；）C.（二-1, 1+ :：）D.（1 ,2）:解：根据双曲线的对称性，得 ABE 中，|AE|=|BE| , ABE是锐角三角形，即/ AEB为锐角由此可得 Rt AF1E 中，/ AEFv45,得 |AF1| v |EFt|AFi|=c2-a