半角旋转问题

1、半角旋转问题几何变换中的半角旋转问题例题：已知： ABC是等腰直角三角形， ACB 90，M ，N为斜边 AB 上两点，如果 MCN 45求证: AM 2BN2MN2变式1：由此问题可以产生如下问题 ABC是等腰直角三角形， ACB 90， M，N为斜边 AB上两点，满足 AM 2BN2MN 2求 MCN 的度数是上面例 2的逆问题，建议利用图形的旋转变式 2：正方形 ABCD 中，边长为 4，点 E 在射线 BC 上，且 CE=2,射线 AM 交 射线 BD于N点，且 EAN=45，则BN的长为 3 2 或 52 或2。B 2 E 2 CBC方法 1：图 1：正方形的边长为 4，BD=42，

2、AE=2 5 , 由 AOD BOE ，相似比为 2：1，则 BO=432，设 ON=x , DN= 832 x，由旋转得： OB2+DN2=ON2, x=33图2图 3方法同上方法 2：用旋转相似来解A 4 DB变式 3：如图 1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形 ABC 和 AFG摆放在 一起，A为公共顶点， BAC= AGF=90, 它们的斜边长为 2，若ABC固定不动， AFG绕点 A旋转， AF,AG与边 BC的交点分别为 D、E(点 D不与点 B重合，点 E 不与点 C重合)，设 BE=m ,CD=n.(1) 求 m与 n 的函数关系式，直接写出自变量 n 的取值范围；(2

3、) 以ABC 的斜边 BC 所在直线为 x轴，BC 边上的高所在直线为 y轴，建立 平面直角坐标系(如图 2)。在边 BC 上找一点 D，使 BD=CE ，求出 D 点的 坐标，并通过计算验证 BD2+CE2=DE2 ;(3) 在旋转过程中，(2)中的等量关系 BD2+CE2=DE2 是否始终成立，若成立， 请证明，若不成立，请说明理由。学生卷例题：已知： ABC是等腰直角三角形， ACB 90，M ，N为斜边 AB 上两点，如果 MCN 45求证: AM 2BN2MN 2变式 1：已知： ABC是等腰直角三角形， ACB 90， M，N为斜边 AB上 两点，满足 AM 2BN2MN 2求 M

4、CN 的度数变式 2：已知：正方形 ABCD 中，边长为 射线 BD 于 N 点，且 EAN=45 4，点 E 在射线 BC 上，且 CE=2, 射线 AM 交 ，则 BN 的长为变式 3：如图 1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形 ABC 和 AFG摆放在 一起，A为公共顶点， BAC= AGF=90, 它们的斜边长为 2，若ABC固定不动， AFG绕点 A旋转， AF,AG与边 BC的交点分别为 D、E(点 D不与点 B重合，点 E 不与点 C重合)，设 BE=m ,CD=n.(4) 求 m与 n 的函数关系式，直接写出自变量 n 的取值范围；(5) 以ABC 的斜边 BC 所在直

5、线为 x轴，BC 边上的高所在直线为 y轴，建立 平面直角坐标系(如图 2)。在边 BC 上找一点 D，使 BD=CE ，求出 D 点的 坐标，并通过计算验证 BD2+CE2=DE2 ;(6) 在旋转过程中，(2)中的等量关系 BD2+CE2=DE2 是否始终成立，若成立， 请证明，若不成立，请说明理由。xPAQ=45，AP ，AQ 分别交直线 BC， CD 于 E，F 。1) 求证： CEF 的面积 =正方形GEABCD 的面积（或者问 AC ，CE，CF 三者的 数量关系）2）把PAQ 绕点 A 旋转到如图所示的位 置时，设此时 AQ的反向延长线交直线 CD于 F， （1）中的结论是否还成立，如果成立，请证 明你的结论，如果不成立，试说明理由。3）在（ 2）的条件下，若设 AQ交直线 BC于 G，若 BG=3，BE=2，求 EF的长。（提示在 2 页）FQ2 已知正方形 ABCD ，一等腰直角三角板的一 个锐角顶角与 A 点重合，将此三角板绕 A 点 旋转时，两边分别交直线 BC，CD 于 M ，N1）当 M ，N 分别在边 BC，CD 上时，如图1，求证： BM+DN=MN2) 当 M ，N 分别在边 BC，CD 所在的直线 上(如图 2，3