常用的地基沉降计算方法

1、6.3 常用的地基沉降计算方法这里所讲的地基沉降量是指地基最终沉降量， 目前常用的计算方法有： 弹性力学法、 分 层总和法、 应力面积法和考虑应力历史影响的沉降计算法。 所谓最终沉降量是地基在荷载作 用下沉降完全稳定后的沉降量，要达到这一沉降量的时间取决于地基排水条件。对于砂土， 施工结束后就可以完成；对于粘性土，少则几年，多则十几年、几十年乃至更长时间。6.3.1 计算地基最终沉降量的弹性力学方法 地基最终沉降量的弹性力学计算方法是以 Boussinesq 课题的位移解为依据的。在弹性 半空间表面作用着一个竖向集中力 P 时，见图 6-5，表面位移 w（x, y, o）就是地基表面的沉降 量

2、 s：P 1 2sr E（ 6-8）式中 地基土的泊松比；E地基土的弹性模量（或变形模量E0）； r 为地基表面任意点到集中力 P 作用点的距离， r x y 。对于局部荷载下的地基沉降，则可利用上式，根据叠加原理求得。如图 6-6 所示，设荷载面积 A 内 N（ ， ）点处的分布荷载为 p0（， ），则该点微面积上的分布荷载可为 集中力 P= p0（， ）dd 代替。于是，地面上与 N 点距离 r = （x ） （y ） 的 M（x, y）点的沉降 s（x, y），可由式（ 6-8）积分求得：s(x,y) 1 EE0p0( , )d dA (x )2 (y )26-9)图 6-6 局部荷载下

3、的地面沉降 a）任意荷载面； （b）矩形荷载面从式（ 6-9 ）可以看出，如果知道了应力分布就可以求得沉降；反过来，若沉降已知又可以反算出应力分布。对均布矩形荷载 p0（，）= p0=常数，其角点 C 的沉降按上式积分的结果为：s 1 E 2 cbp0E06-10)式中 c 角点沉降影响系数，由下式确定：c 1 mln(1 1 m2 2) ln(mm2 1)m6-11)式中 m=l/b 。利用式（ 6-10），以角点法易求得均布矩形荷载下地基表面任意点的沉降。例如矩形中 心点的沉降是图 6-6（ b）中的虚线划分为四个相同小矩形的角点沉降之和，即1 2 1 2s 4c（b/ 2）p0 0bp0

4、E0c 0E0 0 06-12)式中 0 2 c 中心沉降影响系数。图 6-7 局部荷载作用下的地面沉降（a）绝对柔性基础； （b）绝对刚性基础以上角点法的计算结果和实践经验都表明， 柔性荷载下地面的沉降不仅产生于荷载面范围之内，而且还影响到荷载面之外，沉降后的地面呈碟形，见图6-7。但一般基础都具有定的抗弯刚度， 因而沉降依基础刚度的大小而趋于均匀。 中心荷载作用下的基础沉降可以近似地按绝对柔性基础基底平均沉降计算，即ss(x, y)d x d/yAA6-13)式中 A基底面积，s（x, y）点（ x, y）处的基础沉降。 对于均布的矩形荷载，上式积分的结果为：s 1 E 2 mbp0E06

5、-14)式中 m 平均沉降影响系数。可将式（ 6-10）、式（ 6-12）、式（ 6-14）统一成为地基沉降的弹性力学公式的一般形式：bp06-15)12 sE0式中 b矩形基础（荷载）的宽度或圆形基础（荷载）的直径，无量纲沉降影响系数，见表 6-1 。基础沉降影响系数 值 表 6-1基础形状基础刚度圆形方形矩形（ l/b）1.01.52.03.04.05.06.07.08.09.010.1100.0柔c0.640.560.680.770.890.981.051.111.161.201.241.272.00性基c01.001.121.361.531.781.962.102.222.322.40

6、2.482.544.01础m0.850.951.151.301.521.201.831.962.042.122.192.253.70刚性基础r0.790.881.081.221.441.611.722.123.40刚性基础承受偏心荷载时，沉降后基底为一倾斜面，基底形心处的沉降（即平均沉降）可按式（ 6-15）取r 计算，基底倾斜的弹性力学公式如下：tan 612圆形基础：E0Peb31 2 Pe tan 8K 3 矩形基础：E0b3式中 基础倾斜角；P基底竖向偏心荷载合力； e偏心距； b荷载偏心方向的矩形基底边长或圆形基底直径；(6-16a)6-16b)K计算矩形刚性基础倾斜的无量纲系数，按

7、l/b 取值，如图 6-8 ，其中 l 为矩形基底另一边长。图 6-8 计算矩形刚性基础倾斜的系数 K通常按式（ 6-15）计算的基础最终沉降量 是偏大的。 这是由于弹性力学公式是按匀质线 性变形半空间的假设得到的， 而实际上地基常 常是非均质的成层土， 即使是均质的土层， 其 变形模量 E0 一般随深度而增大。因此，利用 弹性力学公式计算沉降的问题，在于所用的 E0 值能否反映地基变形的真实情况。 地基土层 的 E0 值， 如能从已有建筑物的沉降观测资料， 以弹性力学公式反算求得， 则这种数据是很有 价值的。此外， 弹性力学公式可用来计算地基的瞬时沉降， 此时认为地基土不产生体积变形， 例

8、如风或其它短暂荷载作用下，构筑物基础的倾斜可按式（6-16）计算，注意式中的 E0 应取图 6-9 地基沉降计算系数0 和 1为地基弹性模量，并取泊松比 =0.5 。在大多数实际问题中， 土层的厚度是有限的， 下卧坚硬土层。 Christian 和 Carrier（ 1978） 提出了计算有限厚土层上柔性基础的平均沉降计算公式：bp0s 0 1E0（ 6-17）式中， 0 取决于基础埋深和宽度之比 D/b， 1 取决于地基土厚度 H 和基础形状。取泊 松比 =0.5时 0和 1如图 6-9 所示。对于成层土地基，可利用叠加原理来计算地基平均沉 降。式（ 6-17）主要用于估计饱和粘土地基的瞬时

9、沉降，由于瞬时沉降是在不排水状态下发 生的，因此，适宜的泊松比应取 0.5，适应的变形模量 E0 应取不排水模量 Eu。例题 6-1 某矩形基础底面尺寸为 4m 2m，其基底压力 p0=150kPa，埋深 1m，地基 土第一层为 5m厚的粘土， 不排水变形模量 Eu=40MPa ，第二层为 8m厚的粘土， Eu=75MPa， 其下为坚硬土层。试估算基础的瞬时沉降。解： D/b=0.5，查图 6-9， 0 =0.94考虑上层粘土， H/b=4/2=2 ，l/b=2，具有 Eu=40MPa查图 6-9， 1 =0.602 150s1 0.94 0.60 4.23mm因此 40考虑二层粘土均具有 E

10、u=75MPaH/b=12/2=6，l/b=2，查图 6-9， 1 =0.85因此s2 0.94 0.85 2 150 3.20mm2 75考虑第一层粘土，具有 Eu=75MPa ，则s3 0.94 0.6 2 150 2.26mm3 75因此，总的瞬时沉降为：s s1 s2 s3 4.23 3.20 2.26 5.17mm6.3.2 计算地基最终沉降量的分层总和法（一）一维压缩课题在厚度为 H 的均匀土层上面施加连续均匀荷载p，见图 6-10a，这时土层只能在竖直方向发生压缩变形， 而不可能有侧向变形， 这同侧限压缩试验中的情况基本一样， 属一维压缩 问题。施加外荷载之前，土层中的自重应力为

11、图 6-10b 中 OBA ；施加 p 之后，土层中引起的 附加应力分布为 OCDA 。对整个土层来说，施加外荷载前后存在于土层中的平均竖向应力图 6-10 土层一维压缩分别为 p1= H/2 和 p2=p 1+p 。从土的压缩试验曲线（图 6-10c）可以看出，竖向应力从 p1 增加到 p2，将引起土的孔隙比从 e1 减小为 e2。因此，可求得一维条件下土层的压缩变形s与土的孔隙比 e 的变化之间存在如下关系：e1 e2s1 e1这就是土层维压缩变形量的基本计算公式。式（6-18）6-18）也可改写成：aas 1 e1 (p2p1)H1 e1 pH6-19)a1 e1或s pH或Es式中 a

12、 压缩系数；mv 体积压缩系数； Es压缩模量； H土层厚度； A附加应力面积， A=pH 。（二）沉降计算的分层总和法1 基本原理 分别计算基础中心点下地基各分层土的压缩变A mv A6-20)6-21)形量 si，认为基础的平均沉降量 s等于 si 的总和，即图 6-11 分层总和法沉降计算图例nssii 1（ 6-22）式中 n计算深度范围内土的分层数。计算时 si，假设土层只发生竖向压缩变形， 没有侧向变形， 因此可按式（ 6-18）式（6-21） 中的任何一个公式进行计算。2 计算步骤1）选择沉降计算剖面，在每一个剖面上选择若干计算点。在计算基底压力和地基中附 加应力时，根据基础的尺

13、寸及所受荷载的性质（中心受压、偏心或倾斜等） ，求出基底压力 的大小和分布；再结合地基土层的性状，选择沉降计算点的位置。2）将地基分层。在分层时天然土层的交界面和地下水位面应为分层面，同时在同一类 土层中分层的厚度不宜过大。一般取分层厚hi0.4b 或 hi=1 2m， b 为基础宽度。3）求出计算点垂线上各分层层面处的竖向自重应力c （应从地面起算） ，并绘出它的分布曲线。4）求出计算点垂线上各分层层面处的竖向附加应力z ，并绘出它的分布曲线，取z =0.2 c （中、低压缩性土）或 0.1 c （高压缩性土）处的土层深度为沉降计算的土层深 度。5）求出各分层的平均自重应力ci 和平均附加应

14、力 zi ，见图 6-11：1上下ci2 （c上ic下i ）1上下zi（zizi ）2上下式中 ci 、 ci 第 i 分层土上、下层面处的自重应力；上下zi 、 zi 第 i 分层土上、下层面处的附加应力。6）计算各分层土的压缩量si。认为各分层土都是在侧限压缩条件下压力从p1 ci 增加到 p2ci zi 所产生的变形量 si，可由式（ 6-18 ）式（ 6-21）中任一式计算。7）按式（ 6-22）计算基础各点的沉降量。基础中点沉降量可视为基础平均沉降量；根 据基础角点沉降差，可推算出基础的倾斜。例题 6-2 某柱基础，底面尺寸 lb=42m2，埋深 d=1.5m 。传至基础顶面的竖向荷

15、载 N=1192KN ，各土层计算指标见例表 6-1 和例表 6-2。试计算柱基础最终沉降量。假定地下 水位深 dw=2m 。土层计算指标例表 6-1土层侧限压缩试验ep 曲线例表 6-2土层2(kN/m 2)a1 (MPa1)Es (MPa)p(kPa)土层050100200粘土19.50.394.5粘土0.8200.7800.7600.740粉质粘土19.80.335.1粉质粘土0.7400.7200.7000.670粉砂19.00.375.0粉砂0.8900.8600.8400.810粉土19.20.523.4粉土0.8500.8100.7800.740解：基底平均压力 p：p N G

16、b 1192 20 1.5 179kPal b 4 2基底附加压力 p0：p0 p d 179 19.5 1.5 150 kPa取水的重度 w 10kN/m 3，则有效重度10 ，基础中心线下的自重应力和附加应力计算结果见例图 6-1。到粉砂层层底， z =14.4kPa0.2 c =0.2 91.9=18.3kPa，因此，沉 降计算深度取为 H=2.0+4.0+1.5=7.5m ，从基底起算的土层压缩层厚度为Zn=7.51.5=6.0m 。例图 6-1 土层自重应力和附加应力分布按 hi0.4b=0.42=0.8m 分层。 h1=0.50m，h2h6=0.80m，h7=h8=0.75m。柱基

17、础最终沉降量计算结果如下：1)按公式si (e1 e21 e1) i hi计算。各分层土沉降量计算程序 例表 6-3土层分层hi(m)p1i(kPa)e1iP2i(kPa)e2isi(mm)粘土010.5034.20.7995180.70.743915.45120.8042.90.7228165.90.680219.78粉质粘土230.8050.80.7197136.60.689014.28340.8058.40.7166115.80.69539.93450.8066.20.7135105.40.69847.05560.8074.00.7104102.00.69945.14粉砂680.7581

18、.60.8474102.70.83923.33780.7588.40.8446104.90.83852.48因此， s= si=77.44mma si ()i zihi2)按公式1 ei计算各分层土沉降量计算程序 例表 6-4土层分层hi(m)p1i(kPa)e1izi(kPa)1a(MPa 1)si(mm)粘土010.5034.20.7995146.50.3915.85120.8042.90.7228123.018.85230.8050.80.719785.813.17粉质粘土340.8058.40.716657.40.338.83450.8066.20.713539.26.04560.80

19、74.00.710428.04.32粉砂680.7581.60.847421.10.373.17780.7588.40.844616.52.48因此 s= si=72.44mmzi3）按公式Esihi 计算146.50.80s 0.50 (123.0 85.8 57.4 39.2 28.0)4.55.10.75(21.1 16.5) 16.28 52.30 5.64 74.22mm5.06.3.3 地基沉降量计算的应力面积法建筑地基基础设计规范 所推荐的地基最终沉降量计算方法是另一种形式的分层总和法。该方法采用了“应力面积”的概念，因而 称为应力面积法。（ 一） 土层压缩变形量 s 的计算及应

20、 力面积的概念假设地基是均匀的， 即土在侧限条件下的压缩模量 Es 不随深度而变，则从基底至地基任意深度 z 范围内的压缩量为（见图 6-12）：z1 s dz0EEszA0 zdz Es6-23)式中 土的侧限压缩应变， z /Es ；A 深度 z 范围内的附加应力面积，zA 0 2dz 。因为 z Ksp0， Ks为基底下任意深度z 处的附加应力系数。因此，附加应力面积A 为：A 0 zdz p0 0 Ksdz6-24)为便于计算，引入一个竖向平均附加应力（面积）系数A/（p0Z）。则式（ 6-23）改写为：p0 z6-25)Es式（ 6-25）就是以附加应力面积等代值引出一个平均附加应力

21、系数表达的从基底至任意深度z6-13）：范围内地基沉降量的计算公式。由此可得成层地基沉降量的计算公式（见图nnssii 1 i 1Ai Ai 1Esini1p0 ( i zii 1zi 1)Esi6-26)式中 p0 izi和 p0 i 1zi 1 zi和zi1深度范围内竖向附加应力面积Ai和 Ai1的等代值。因此，用式（ 6-26）计算成层地基的沉降量，关键是确定竖向平均附加应力系数。由竖向平均附加应力系数 的定义，均布荷载 p0 作用于矩形（ 2a 2b）土表，相对其 形心，在坐标（ x, y）处，从土表到 z深处，可导出 的解析式如下：图 6-13 成层地基沉降计算的概念ln( Xi2

22、Yj2 z2 Xi)( Xi2 Yj2 Xi )Yj ln)( Xi2 Yj2 z2Xi)(Xi2 Yj2 Xi )2 22 2 2( Xi2Yj2z2Yj)(Xi2Yj2Yj)其中j int 2(表示取 2 的整数部分)Xi x ( 1)ia Yi y ( 1) jb(6-27)6-28a)6-28b)为便于计算，均布矩形荷载角点下的 列于表 6-2；利用式（ 6-24）也可以求出均布三 角形荷载角点、圆形面积均布荷载中心点和周边点下的 值，并列于表 6-3 至表 6-5，以供 查用。为了提高计算准确度，地基沉降计算深度围内的计算沉降量 s ，尚须乘以一个沉降计 算经验系数 s 。建筑地基基

23、础设计规范规定 s 的确定方法为：6-29)s s /s式中 s 利用地基沉降观测资料推算的最终沉降量。各地区宜按实测资料制定适合于本地区各类土的s 值，而建筑地基基础设计规范提供了一个采用表值，见表 6-6 。综上所述，建筑地基基础设计规范推荐的地基最终沉降量 s 的计算公式如下：n s s p0( i zi i 1zi 1)/ Esii 1( 6-30)式中， n地基沉降计算深度范围内所划分的土层数。均布矩形荷载角点下的平均竖向附加应力系数 表 6-2z/ bl/b1.01.21.41.61.82.02.42.83.23.64.05.010.00.00.25000.25000.25000.

24、25000.25000.25000.25000.25000.25000.25000.25000.25000.25000.20.24960.24970.24970.24980.24980.24980.24980.24980.24980.24980.24980.24980.24980.40.24740.24790.24810.24830.24830.24840.24850.24850.24850.24850.24850.24850.24850.60.24230.24370.24440.24480.24510.24520.24540.24550.24550.24550.24550.24550.245

25、60.80.23460.23720.23870.23950.24000.24030.24070.24080.24090.24090.24100.24100.24101.00.22520.22910.23130.23260.23350.23400.23460.23490.23510.23520.23520.23530.23531.20.21490.21990.22290.22480.22600.22680.22780.22820.22850.22860.22870.22880.22891.40.20430.21020.21400.21640.21900.21910.22040.22110.221

26、50.22170.22180.22200.22211.60.19390.20060.20490.20790.20990.21130.21300.21380.21430.21460.21480.21500.21521.80.18400.19120.19600.19940.20180.20340.20550.20660.20730.20770.20790.20820.20842.00.17460.18220.18750.19120.19380.19580.19820.19960.20040.20090.20120.20150.20182.20.16590.17370.17930.18330.186

27、20.18830.19110.19270.19370.19430.19470.19520.19552.40.15780.16570.17150.17570.17890.18120.18430.18620.18730.18800.18850.18900.18952.60.15030.15830.16420.16860.17190.17450.17790.17990.18120.18200.18250.18320.18382.80.14330.15140.15740.16190.16540.16800.17170.17390.17530.17630.17690.17770.17843.00.136

28、90.14490.15100.15560.15920.16190.16580.16820.16980.17080.17150.17250.17333.20.13100.13900.14500.14970.15330.15620.16020.16280.16450.16570.16640.16750.16853.40.12560.13340.13940.14410.14780.15080.15500.15770.15950.16070.16160.16280.16393.60.12050.12820.13420.13890.14270.14560.15000.15280.15480.15610.

29、15700.15830.15953.80.11580.12340.12930.13400.13780.14080.14520.14820.15020.15160.15260.15410.15544.00.11140.11890.12480.12940.13320.13620.14080.14380.14590.14740.14850.15000.15164.20.10730.11470.12050.12510.12890.13190.13650.13960.14180.14340.14450.14620.14794.40.10350.11070.11640.12100.12480.12790.

30、13250.13570.13790.13960.14070.14250.14444.60.10000.10700.11270.11720.12090.12400.12870.13190.13420.13590.13710.13900.14104.80.09670.10360.10910.11360.11730.12040.12500.12830.13070.13240.13370.13570.13795.00.09350.10030.10570.11020.11390.11690.12160.12490.12730.12910.13040.13250.13485.20.09060.09720.

31、10260.10700.11060.11360.11830.12170.12410.12590.12730.12950.13205.40.08780.09430.09960.10390.10750.11050.11520.11860.12110.12290.12430.12650.12925.60.08520.09160.09680.10100.10460.10760.11220.11560.11810.12000.12150.12380.12665.80.08280.08900.09410.09830.10180.10470.10940.11280.11530.11720.11870.121

32、10.12406.00.08050.08660.09160.09570.09910.10210.10670.11010.11260.11460.11610.11850.12166.20.07830.08420.08910.09320.09660.09950.10410.10750.11010.11200.11360.11610.11936.40.07620.08200.08690.09090.09420.09710.10160.10500.10760.10960.11110.11370.11716.60.07420.07990.08470.08860.09190.09480.09930.102

33、70.10530.10730.10880.11140.11496.80.07230.07790.08260.08650.08980.09260.09700.10040.10300.10500.10660.10920.11297.00.07050.07610.08060.08440.08770.09040.09490.09820.10080.10280.10440.10710.11097.20.06880.07420.07870.08250.08570.08840.09280.09620.09870.10080.10230.10510.10907.40.06720.07250.07690.080

34、60.08380.08650.09080.09420.09670.09880.10040.10310.10717.60.06560.07090.07520.07890.08200.08460.08890.09220.09480.09680.09840.10120.10547.80.06420.06930.07360.07710.08020.08280.08710.09040.09290.09500.09660.09940.10368.00.06270.06780.07200.07550.07850.08110.08530.08860.09120.09320.09480.09760.10208.

35、20.06140.06630.07050.07390.07690.07950.08370.08690.08940.09140.09310.09590.10048.40.0601.06490.06900.07240.07540.07790.08200.08520.08780.09890.09140.09430.09888.60.05880.06360.06760.07100.07390.07640.08050.08360.08620.08820.08980.09270.09738.80.05760.06230.06630.06960.07240.07490.07900.08210.08460.0

36、8660.08820.09120.9599.20.05540.05990.096370.06970.07210.07610.07920.08170.08370.08530.08820.08130.09319.60.05330.05770.06140.06720.06960.07340.07650.07890.08090.08250.08550.07380.090510.00.05140.05560.05920.06490.06720.07100.07390.07630.07830.07990.08290.07190.088010.40.04960.05370.05720.06270.06490

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38、06250.06520.06750.06940.07090.07380.079312.00.04350.04710.05020.05290.05520.05730.06060.06340.06560.06740.06900.07190.077412.80.04090.04440.04740.04990.05210.05410.05730.05990.06210.06390.06540.06820.073913.60.03870.04200.04480.04720.04930.05120.05430.05680.05890.06070.06210.06490.070714.40.03670.03

39、980.04250.04480.04680.04860.05160.05400.05610.05770.05920.06190.067715.20.03490.03790.04040.04260.04460.04630.04920.05150.05350.05510.05650.05920.065016.00.03320.03610.03850.04070.04250.04420.04690.04920.05110.05270.05400.05670.062518.00.02970.03230.03450.03640.03810.03960.04220.04420.04600.04750.04

40、870.05120.057020.00.02690.02930.03120.03300.03450.03590.03830.04020.04180.04320.04440.04680.0524z/b0.00.246802468050000011111223510.0z/b0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.02.53.05.07.010.0z/b0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.02.5l / b 0.2l /b 0.4l /b 0.6l /b 0.8l/b1.0角点 1角点 2角点 1角点 2角点 1角点 2角点 1角点 2角点 1角

41、点 20.00000.25000.00000.25000.00000.25000.00000.25000.00000.25000.01120.21610.01400.23080.01480.23330.01510.23390.01520.23410.01790.18100.02450.20840.02700.21530.02800.21750.02850.21840.02070.15050.03080.18510.03550.19660.03760.20110.03880.20300.02170.12770.03400.16400.04050.17870.04400.18520.04590.1

42、8830.02170.11040.03510.14610.04300.16240.04760.17040.05020.17460.02120.09700.03510.13120.04390.14800.04920.15710.05250.16210.02040.08650.03440.11870.04360.13560.04950.14510.05340.15070.01950.07790.03330.10820.04270.12470.04900.13450.05330.14050.01860.07090.03210.09930.04150.11530.04800.12520.05250.1

43、3130.01780.06500.03080.09170.04010.10710.04670.11690.05130.12320.01570.05380.02760.07690.03650.09080.04290.10000.04780.10630.01400.04580.02480.06610.03300.07860.03920.08710.04390.09310.00970.02890.01750.04240.02360.04760.02850.05760.03240.06240.00730.02110.01330.03110.01800.03520.02190.04270.02510.0

44、4650.00530.01500.00970.02220.01330.02530.01620.03080.01860.0336l/b1.2l /b1.4l /b1.6l /b1.8l/b2.00.00000.25000.00000.25000.00000.25000.00000.25000.00000.25000.01530.23420.01530.23430.01530.23430.01530.23430.01530.23430.02880.21870.02890.21890.02900.21900.02900.21900.02900.21910.03940.20390.03970.2043

45、0.03990.20460.04000.20470.04010.20480.04700.18990.04760.19070.04800.19120.04820.19150.04830.19170.05180.17690.05280.17810.05340.17890.05380.17940.05400.17970.05460.16490.05600.16660.05680.16780.05740.16840.05770.16890.05590.15410.05750.15620.05860.15760.05940.15850.05990.15910.05610.14430.05800.1467

46、0.05940.14840.06030.14940.06090.15020.05560.13540.05780.13810.05930.14000.06040.14130.06110.14220.05470.12740.05700.13030.05870.13240.05990.13380.06080.13480.05130.11070.05400.11390.05600.11630.05750.11800.05860.11930.04760.09760.05030.10080.05250.10330.05410.10520.05540.10670.03560.06610.03820.06900.04030.07140.04210.07