圆锥曲线题型归类总结

1、高考圆锥曲线的常见题型题型一：定义的应用1、圆锥曲线的定义：(1) 椭圆(2) 椭圆(3) 椭圆2、定义的应用(1) 寻找符合条件的等量关系(2) 等价转换，数形结合3、定义的适用条件：典型例题例1、动圆M与圆C:(x+1) 2+y2=36内切,与圆Q:(x-1) 2+y2=4外切,求圆心M的轨迹方程。例2、方程表示的曲线是题型二：圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程，然后再判断)：1、椭圆：由，匸分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。2、双曲线：由主，匸：项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上;3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。典型例题2例1、已知方程J

2、 1表示焦点在y轴上的椭圆，贝U m的取值范围是2 m例2、k为何值时,方程是椭圆；是双曲线题型三：圆锥曲线焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题1、 椭圆焦点三角形面积S b2 tan;双曲线焦点三角形面积S b2 cot 2 22、常利用第一定义和正弦、余弦定理求解3、m n, m n,mn,m2 n2四者的关系在圆锥曲线中的应用；典型例题2 2例1、椭圆务芯1(a b 0)上一点P与两个焦点R , F2的张角/ a bF1PF2，求证： FiPF的面积为 b2taa?。例2、已知双曲线的离心率为2, Fi、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且严厂W ,况啊m也扛求该

3、双曲线的标准方程题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法1、a,b,c三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值；2、a,b,c三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围；3、注重数形结合思想不等式解法典型例题22例1、已知Fi、F2是双曲线冷笃1 ( a 0,ba b0 )的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2 ,若边MFi的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是()A. 4 2 3B. 3 12例2、双曲线务a21 (a0,b 0)的两个焦点为F1、 bD. 3为其上一点，且|PFi|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为A. (1,3)B.

4、1,3C.(3,+) D. 3,例3、椭圆G :21(a b 0)的两焦点为F1( c,0), F2(c,0)，椭圆上存在 b求椭圆离心率e的取值范围;UJHV UJUJV 点 M 使 FMI F2M 0.2 2例4、已知双曲线笃笃1(a 0,b 0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60的直 a b线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(A) (1,2(B) (1,2)(C) 2,)(D) (2,)题型五：点、直线与圆锥的位置关系判断1、点与椭圆的位置关系22xy12.2ab22xy12,2ab22xy12 ab2点在椭圆内点在椭圆上点在椭圆外2、直线与圆锥曲线有无公共

5、点或有几个公共点的问题:0相交=0相切（需要注意二次项系数为0的情况）0； “共线问题”uuur uuur（如： AQ QB 数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法） ；（如：A、O B三点共线 直线0A与0B斜率相等）; “点、线对称问题”坐标与斜率关系； “弦长、面积问题”转化为坐标与弦长公式问题（ 提醒：注意两个面积公式的合理选择） ；六、化简与计算；七、细节问题不忽略；判别式是否已经考虑；抛物线问题中二次项系数是否会出现0.基本解题思想：1、“常规求值”问题： 需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；2、“是否存在”问题： 当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；3、证明定值问题

6、的方法：常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。4、处理定点问题的方法：常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系 数为零，求出定点；也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明5、求最值问题时： 将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函 数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值） 、利用切线的方法、利用均值 不等式的方法等再解决；6、转化思想： 有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具 有可行性，关键是积累“转化”的经验；7、思路问题： 大多数问题只要 忠实、准确 地将题目每个条件和要求表达出来，

7、 即可自然而然产生思路。典型例题：例1、已知点F 0,1 ,直线I : y 1，P为平面上的动点，过点P作直线I的垂uuur uuur uuur uuur线，垂足为Q，且QPQF FPgFQ .(1) 求动点P的轨迹C的方程；(2) 已知圆M过定点D 0,2，圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B两点，设|DA I,，| DB l2，求S比的最大值.I2|i例2、如图半圆，AB为半圆直径，0为半圆圆心，且ODLAB, Q为线段0D的中点，已知|AB=4，曲线C过Q点，动 点P在曲线C上运动且保持| PA+| PB的值不变(1) 建立适当的平面直角坐标系，求曲线 C的方程； 过D点的直线I

8、与曲线C相交于不同的两点 M N,且M在D N之间, 设型=入，求入的取值范围.DN2 2例3、设Fi、F2分别是椭圆C :笃召1 (a b 0)的左右焦点。a b3(1)设椭圆C上点(3,于)到两点Fi、F2距离和等于4，写出椭圆C的方程和 焦点坐标；(2) 设K是(1)中所得椭圆上的动点，求线段 KF!的中点B的轨迹方程;(3) 设点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点, 当直线PM ，PN的斜率都存在，并记为kpM，kpN ，试探究kpM Kpn 的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论。例4、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离 的

9、最大值为3，最小值为1 .(I)求椭圆C的标准方程；(n)若直线l : y kx m与椭圆C相交于A， B两点(A, B不是左右顶点)， 且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线I过定点，并求出该定点的 坐标.离心率PB分例5、已知椭圆两焦点F、F2在y轴上，短轴长为22 , 为二,P是椭圆在第一象限弧上一点，且2uur umnPF1 PF2 1，过P作关于直线FiP对称的两条直线PA别交椭圆于A B两点(1)求P点坐标;(2)求证直线AB的斜率为定值;典型例题：例1、=设则血-I),二(0丿+1 贝-疋 2)= (xty -l)q兀 -2). 艮卩 2 (y+1) = x2 - 2y-

10、 1)：即= Ay, 所以动点.戸的轴迹亡的方趕/二厂.(2) =设圆M的區心坐标涣挺(a.*则疋二44 M的半径为MD = J+e-矿 H M的方程为(” +b-硏二左+ (血一廿. 令严二丄嗫1(&+加=/ + 0 2)S 整理得？ /-2酥+必-4=Q.由、解得，x a 2 .不妨设 A a 2,0 , B a 2,0 ,i12/2-lia 24 , I2 , a 24 .I1 上l222a2 16I2 liI1I2. a4 642, a2 8 2 2 厂孑 a4 641a4 64，当a 0时，由得，山b 2 116一 | AB=4.曲线C为以原点为中心，A B为焦点的椭圆.设其长半轴为

11、a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2 5 , a=. 5, c=2, b=1.2曲线C的方程为+y2=1.5设直线I的方程为y=kx+2,2代入+y2=1,得（1+5 k2） x2+20kx+15=0.DM x1 _=入 DN x25 =(20 k)2-4X 15(1+5k2) 0,得 k2 3 .由图可知5XiX2由韦达定理得XiX220k1 5k2151 5k2将Xi = X X2代入得2 2(1)X2-(1215X221 5k22400k25k2)2两式相除得)22400k215(1 5k2)803(5 芦)k4(1)2 16DM门0,1解得133DN3DM,M在DN中间，入v 1X2

12、DN又v当k不存在时，显然)DM 入=1（此时直线1与y轴重合）05)3520 “ ，即43803(iJ5去53163k2综合得：1/3 X 1.例3、解：(1)由于点(在椭圆上,2(V3)2(单2J1 得 2a =4,2ab椭圆C的方程为,焦点坐标分别为(1,0),(1,0)(2)设KF1的中点为B(x,y)则点K(2x 1,2y)2把K的坐标代入椭圆42y- 132中得线段KF1的中点B的轨迹方程为(xi)242y34(2y)2 13分(3) 过原点的直线L与椭圆相交的两点设M (Xo, yo) N( Xo, yo), p(x, y),N关于坐标原点对称M , N,P在椭圆上,应满足椭圆方

13、程,2 xoa2 y。b210分bla222kPM KpN=jx Xoy y。yy。2213分故: kPM Kpn的值与点P的位置无关,x xoxxo14分22例4、解:(I)椭圆的标准方程为 -1. (5 分)43()设A(X1, yj , Bg y2),ykx m,联立xl22y2得(3 4k )x 8mkx1.4(m2 3) O ,同时与直线L无关,430,则64m2k2 16(3 4k2)(m2 3) 0,即3 4k2X1X28mk3 4k2，4(m2 3)3 4k2又y22(kX1 m)(kX2 m) k x1x2 mk(X-i x2)3(m2 4k2)254k因为以AB为直径的圆过

14、椭圆的右焦点D(2,0),1 ,kAD kgD1，即y”2 为X22(Xi X2) 40 ,3(m2 4k2)3 4k24(m23)3 4k2怦4 0 ,3 4k2 29m 16mk 4k 0 .解得:mi9k2k , m2寺，且均满足34k21、当m12k时，I的方程为yk(x 2),直线过定点(2,0)，与已知矛盾;2、当m2号时，I的方程为y所以,直线I过定点，定点坐标为(14 分)例5、22解(1) L - 142匸(0,展)，F2(0,2) ，设 P(X0,y)(X00, y00)ujur-uulu则 PF ( X0, .2 y),PF2(X0,2y).luit uuuu 22PF1

15、 PF2 X0 (2 y。)1Q点P(x0,y)在曲线上，则2X。4 y024 2从而 七于0(2y2)1，得y02，则点P的坐标为(1八2)(2)由(1)知PF1 / x轴，直线PA PB斜率互为相反数，设PB斜率为k(k 0),则PB的直线方程为：yk(x1)、2 k(x 1)y2得14(2 k2)x22k(、2k)x ( 2k)2设 B(Xb, Yb),则 Xb2k(k .2)2 k22、2kk2同理可得Xak22、. 2k2k2XaXb4.2kk2k(xA1)k(xB1)所以：AB的斜率YaYb8k2 k2、2为定值例6 解:kABXa Xb(1)由 2 31 | OF | | FP | sin ,得 |OF | | FP |22 由 cos sinOF FP tsin|OF | | FP |4.3得tan4 3r4 . 31 tan0,夹角的取值范围是（一,一）4 322(c,0).(2)设P(Xo，yo),则FP(x。 c,y),OFumrOFuurFP (xoS OFPc, yo) (c,0) (Xo c)c1|OF| |yo| 2.34/3 y。ct (.31)c2x0. 3c2y。(3c)2(4