中考数学专题题库∶二次函数的综合题附答案解析

1、中考数学专题题库二次函数的综合题附答案解析一、二次函数1如图 1，对称轴为直线 x=1 的抛物线 y=12x2+bx+c，与 x 轴交于 a、b 两点（点 a 在点 b的左侧），且点 a 坐标为(-1，0).又 p 是抛物线上位于第一象限的点，直线 ap 与 y 轴交于 点 d，与抛物线对称轴交于点 e，点 c 与坐标原点 o 关于该对称轴成轴对称.（1） 求点 b 的坐标和抛物线的表达式；（2） 当 ae：ep=1：4 时，求点 e 的坐标；（3） 如图 2，在（2）的条件下，将线段 oc 绕点 o 逆时针旋转得到 oc ，旋转角为 (090)，连接 c d、cb，求 c b+23cd 的最

2、小值【答案】（1）b（3，0）；抛物线的表达式为：y= 2 4cd 的最小值为 10 3 31 3x2-x- ；（2）e(1，6)；（3）cb 2 2【解析】试题分析：（1）由抛物线的对称轴和过点 a ，即可得到抛物线的解析式，令 y=0，解方程 可得 b 的坐标；（2）过点 p 作 pfx 轴，垂足为 f由平行线分线段弄成比例定理可得ae ag eg 1= = = ，从而求出 e 的坐标；ap af pf 5（3）由 e（1，6）、a（-1，0）可得 ap 的函数表达式为 y=3x+3，得到 d（0，3）4如图，取点 m（0， ），连接 mc、bm则可求出 om，bm 的长，得到32 2mo

3、c cod进而得到 mc cd，由 cb cdcbmcbf 可得到结论3 31试题解析：解：（1） 抛物线 y= x2+bx+c 的对称轴为直线 x=1， -213 抛物线过点 a（-1，0），-b+c=0，解得：c=- ，222b12=1， b=-11223y =x即：抛物线的表达式为：y=1 3 x2-x- 2 2令 y=0，则1 3x2-x- =0 ，解得：x =-1，x =3，即 b（3，0）； 2 2（2）过点 p 作 pfx 轴，垂足为 f eg pf，ae：ep=1：4，ae ag eg 1= = = ap af pf 5又 ag=2， af=10， f（9，0）当 x=9 时，

4、y=30，即 p（9，30），pf=30， eg=6， e（1，6）（3）由 e（1，6）、a（-1，0）可得 ap 的函数表达式为 y=3x+3，则 d（0，3） 原点 o 与点 c 关于该对称轴成轴对称， eg=6， c（2，0）， ococ24 4如图，取点 m（0， ），连接 mc、bm则 om ，bm 33 34 97 +( ) 2 3 34 om 2= =oc 2 3oc 2， = ，且 doc cod， moc cod od 3mc 2=c d 3， mc2 2 4 2cd， cb cdcbmcbm 10 ， cb cd 的最小值为 3 3 3 34310点睛：本题是二次函数的综

5、合题，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式， 相似三角形的性质和判定，求得 af 的长是解答问题（2）的关键；和差倍分的转化是解答 问题（3）的关键2抛物线y =-x2+bx +c（b，c 为常数）与 x 轴交于点(x,0 )和(x,0) 1 2，与 y 轴交于点a，点 e 为抛物线顶点。（）当x =-1, x =3 1 2时，求点 a，点 e 的坐标；（）若顶点 e 在直线 上，当点 a 位置最高时，求抛物线的解析式；y =xe ,2 42 42 4, -2 4（）若x =-1, b 0 ，当 p (1,0) 满足 pa +pe 值最小时，求 b 的值。 1【答案】（）a (0,3

6、)，e(1,4) ；（）y =-x2+x +14；（） b =3 + 17 .【解析】【分析】（）将（-1，0），（3，0）代入抛物线的解析式求得 b、c 的值，确定解析式，从而求 出抛物线与 y 轴交于点 a 的坐标，运用配方求出顶点 e 的坐标即可；（）先运用配方求出顶点 e 的坐标，再根据顶点 e 在直线 上得出吧 b 与 c 的关 系，利用二次函数的性质得出当 b=1 时，点 a 位置最高，从而确定抛物线的解析式； （）根据抛物线经过（-1，0）得出 c=b+1，再根据（）中顶点 e 的坐标得出 e 点关于 x 轴的对称点 e 的坐标，然后根据 a、p 两点坐标求出直线 ap 的解析式

7、，再根据点在直线 ap 上，此时 pa +pe 值最小，从而求出 b 的值.【详解】解：（）把点(-1,0)和(3,0)代入函数y =-x2+bx +c，-1-b+c=0 有 -9 +3b +c =0。解得b =2, c =3 y =-x2+2 x +3 =-(x -1)2+4 a(0,3), e (1,4)（）由 y =-x2 b +bx +c =- x - 2 2+4c +b42b 4c +b 2 ，得 点 e 在直线y =xb 4c +b 上， =2 421 1 1 1 c =- b2 + b =- (b -1)2 +4 2 4 4 1 1 a 0, - (b -1)2 + 4 4当b

8、=1时，点 a 是最高点此时，y =-x2 +x +14（）：抛物线经过点 ( -1,0) ，有 c =b +1-1-b +c =0b 4c +b 2 q e , , a(0, c )b (b +2) 2 e , , a(0, b +1) e 关于 x 轴的对称点eb (b +2) 2 为 e , -2 4 yybb1设过点 a，p 的直线为 y =-(b +1)( x -1)y =kx +t .把 a(0, b +1), p (1,0) 代入 y =kx +t，得b (b +2) 2 把点 代入y =-(b +1)( x -1).得(b +2)42b =-(b +1) -12 ，即 b2-6

9、b -8 =0解得， b =3 17 。qb 0, b =3 - 17 舍去. b =3 + 17【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次的解析 式、最短距离，数形结合思想及待定系数法的应用是解题的关键，属于中考压轴题3在平面直角坐标系中， o 为原点，抛物线 y =ax 2 -3 32x( a 0) 经过点 a( 3, -3)，对称轴为直线l，点o关于直线l的对称点为点 b .过点 a作直线ac / / x轴，交 轴于点c.（）求该抛物线的解析式及对称轴；（）点 p 在 轴上，当 pa +pb 的值最小时，求点 p 的坐标；（）抛物线上是否存在点 q ，

10、使得 sdaoc=13sdaoq，若存在，求出点 q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（）抛物线的解析式为 y =1 3 3 3 3 x 2 - x ;抛物线的对称轴为直线 x =2 2 2;（） p 点坐标为9(0, - )4;（）存在， q 点坐标为 (3 3,0)或 ( -2 3,15)，理由见解析【解析】【分析】（）将 a ( 3, -3)点代入二次函数的解析式，即可求出 a，再根据对称轴的公式即可求解.（）先求出 b 点胡坐标，要求 pa +pb 胡最小值，只需找到 b 关于轴的对称点 ，则1直线 a 与 y 轴的交点就是点 p，根据待定系数法求出 ab 的解析式，令 y=0，

11、即可求出 p 1点的坐标.（）设点 q 的坐标，并求 aoq 面积，从而得 aoq 面积，根据 q 点胡不同位置 进行分类，用 m 及割补法求出面积方程，即可求解.【详解】b11y2（） y =ax2-3 32x( a 0) 经过点 a ( 3, -3)，-3 =a ( 3)2-3 32 3 ，解得a =12， 抛物线的解析式为y =1 3 3 x 2 - x ，2 2bx =- =-2a3 3-211 2=3 32， 抛物线的对称轴为直线x =3 32.（） 点 o (0,0) ，对称轴为 x =3 32， 点o关于对称轴的对称点 b 点坐标为 (3 3,0).作点 b 关于轴的对称点 ，得

12、b ( -3 3,0) 1，设直线 ab 的解析式为y =kx +b，把点 a( 3, -3)，点b ( -3 3,0) 1-3= 3k +b 代入得 0=-33k +b， 3k =-4 3 9 解得 ， y =- x - .9 4 4b =- 4 直线3 9y =- x - 与 轴的交点即为 p 点. 4 4令 x =0 得 y =-94，9 p 点坐标为 (0, - )4.（） a ( 3, -3)，ac / / x轴， ac =3 ， oc =3 ，sdaoc=1 1 3 3 oc ac = 33 =2 2 2，又sdaoc1= s3daoq9 3， s =3s = . daoq dao

13、c设 q 点坐标为 ( m,1 3 3m 2 - m) ， 2 222 ( 3 -m) m- m +3 - ( -m) m- m22qq如图情况一，作 qr ca ，交 ca 延长线于点 r ，sdaoq=s梯形 ocrq-sdaoc-sdaqr=9 32，1 1 3 3 1 1 ( )1 3 3 9 3 m3+ m - m +3 - 3 3- m - 3 m - m +3 = ， 2 2 2 2 2 2 2 2化简整理得 m2- 3m -18 =0 ，解得m =3 31，m =-2 3 2.如图情况二，作 qn ac ，交 ac 延长线于点 n ，交 x 轴于点 m ，sdaoq=sdaqn

14、-sdqmo-s梯形 omna=9 32，121 3 3 1 1 3 3 3 - ( -m + 3 -m ) = 2 2 2 2 2 29 32，化简整理得 m 2 - 3m -18 =0 ，解得m =3 31，m =-2 3 2， 点坐标为 (3 3,0)或 ( -2 3,15)， 抛物线上存在点 ，使得 sdaoc1= s3daoq.1231 2 3122 3 31 2 3212 312 32 3【点睛】主要考查了二次函数的性质，以及求两边和的最小值，面积等常见的题型，计算量较大， 但难度不是很大.4若三个非零实数 x，y，z 满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则 称这三

15、个实数 x，y，z 构成“和谐三组数”(1)实数 1，2，3 可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；(2)若 m(t，y )，n(t+1，y )，r(t+3，y )三点均在函数 ykx(k 为常数，k0)的图象上，且这三点的纵坐标 y ，y ，y 构成“和谐三组数”，求实数 t 的值；(3)若直线 y2bx+2c(bc0)与 x 轴交于点 a(x ，0) ，与抛物线 yax2+3bx+3c(a0)交于 b(x ， y )，c(x ，y )两点求证：a，b，c 三点的横坐标 x ，x ，x 构成“和谐三组数”；c b若 a2b3c，x 1，求点 p(， )与原点 o 的距离 op 的取值范围 a

16、 a【答案】(1)不能，理由见解析；(2)t 的值为4、2 或 2；(3)证明见解析；22op102且 op1【解析】【分析】（1） 由和谐三组数的定义进行验证即可；（2） 把 m、n、r 三点的坐标分别代入反比例函数解析式，可用 t 和 k 分别表示出 y 、 y 、y ，再由和谐三组数的定义可得到关于 t 的方程，可求得 t 的值；（3）由直线解析式可求得 x cb，联立直线和抛物线解析式消去 y，利用一元二次方程根与系数的关系可求得 x +x b c，x x ，再利用和谐三数组的定义证明即可； a a由条件可得到 a+b+c0，可得 c(a+b)，由 a2b3c 可求得ba的取值范围，令

17、 mba，利用两点间距离公式可得到 op2 关于 m 的二次函数，利用二次函数的性质可求得 op2的取值范围，从而可求得 op 的取值范围 【详解】（1）不能，理由如下： 1、2、3 的倒数分别为 1、1 1、 ，2 31 1 1 1 1 1 + 1，1+ ，1+ ，2 3 2 3 3 212312 31231 2 3y y yy y yy y y1 2 31112 2 3 32 32 32 3-2 3cx x x xx1 2 32 实数 1，2，3 不可以构成“和谐三组数”；（2） m(t，y )，n(t+1，y )，r(t+3，y )三点均在函数kx(k 为常数，k0)的图象上， y、y

18、、y 均不为 0，且 y k k k ，y ，y ，t t +1 t +31 t 1 t +1 1 t +3 ， ， ，y k y k y k 1 2 3 y，y ，y 构成“和谐三组数”， 有以下三种情况：1 1 1 t t +1 t +3 当 + 时，则 +k k k1 2 3，即 tt+1+t+3，解得 t4；当当1 1 1 t +1 t t +3 + 时，则 + ，即 t+1t+t+3，解得 t2；k k k2 1 31 1 1 t +3 t t +1 + 时，则 + ，即 t+3t+t+1，解得 t2；k k k3 1 2 t 的值为4、2 或 2；（3） a、b、c 均不为 0，

19、x ，x ，x 都不为 0， 直线 y2bx+2c(bc0)与 x 轴交于点 a(x，0)， 02bx +2c，解得 x cb，联立直线与抛物线解析式，消去 y 可得 2bx+2cax2+3bx+3c，即 ax2+bx+c0， 直线与抛物线交与 b(x ，y )，c(x ，y )两点， x 、x 是方程 ax2+bx+c0 的两根， x +x b c ，x x ，a ab1 1 x +x a b 1 + ，c2 3 2 3 1a x ，x ，x 构成“和谐三组数”； x 1， a+b+c0， cab， a2b3c， a2b3(ab)，且 a0，整理可得a 2b 3 b 1 ，解得 ， 5b -

20、3a 5 a 2 p(c b， )，a a1 2 3 op2(c b -a -b b b b b 1 1 )2+( )2( )2+( )22( )2+2 +12( + )2+ ，a a a a a a a 2 2令 mb 3 1 1 1 ，则 m 且 m0，且 op22(m+ )2+ ，a 5 2 2 2 20， 当3 1 3 13 m 时，op2 随 m 的增大而减小，当 m 时，op2 有最大临界值 ，5 2 5 25当 m1 1 时，op2 有最小临界值 ，2 2当1 1 1 1m 时，op2 随 m 的增大而增大，当 m 时，op2 有最小临界值 ，当 m 2 2 2 21 5 时，o

21、p2 有最大临界值 ，2 21 5op2 且 op21 ，2 2 p 到原点的距离为非负数，2210op 且 op1 2【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及新定义、函数图象的交点、一元二次方程根与系数的关 系、勾股定理、二次函数的性质、分类讨论思想及转化思想等知识在(1)中注意利用和谐 三数组的定义，在(2)中由和谐三数组得到关于 t 的方程是解题的关键，在(3)中用 a、b、c 分别表示出 x ，x ，x 是解题的关键，在(3)中把 op2表示成二次函数的形式是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大5（10 分）（2015佛山）如图，一小球从斜坡 o 点处抛出，

22、球的抛出路线可以用二次函 数 y=x2+4x 刻画，斜坡可以用一次函数 y= x 刻画（1） 请用配方法求二次函数图象的最高点 p 的坐标；（2） 小球的落点是 a，求点 a 的坐标；（3） 连接抛物线的最高点 p 与点 o、a poa， poa 的面积；（4） 在 oa 上方的抛物线上存在一点 m（m 与 p 不重合） moa 的面积等 poa 的 面积请直接写出点 m 的坐标【答案】（1）（2，4 ）；（2）（ ， ）；（3）；（4）（ ， ）【解析】试题分析：（1）利用配方法抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点 p 的坐标；（2）联立两解析式，可求出交点 a 的坐标；（

23、3）作 pqx 轴于点 q，abx 轴于点 b根据 ，代入数值poa poq 梯形 pqba boa计算即可求解；（4）过 p 作 oa 的平行线，交抛物线于点 m，连结 om、am，由于两平行线之间的距离 相等，根据同底等高的两个三角形面积相等，可 moa 的面积等 poa 的面积设直线 pm 的解析式为 y= x+b，将 p（2，4）代入，求出直线 pm 的解析式为 y= x+3再与抛物线的解析式联立，得到方程组 ，解方程组即可求出点 m 的坐标 试题解析：（1）由题意得，y=x2+4x=（x2）2+4，故二次函数图象的最高点 p 的坐标为（2，4）；（2）联立两解析式可得：，解得： ，或

24、 故可得点 a 的坐标为（ ， ）；（3）如图，作 pqx 轴于点 q，abx 轴于点 bpoa poq 梯形pqba boa= 24+ （ +4）（ 2） =4+=；（4）过 p 作 oa 的平行线，交抛物线于点 m，连结 om、am， moa 的面积等于 poa 的面积xm设直线 pm 的解析式为 y= x+b， p 的坐标为（2，4）， 4= 2+b，解得 b=3， 直线 pm 的解析式为 y= x+3由 ，解得 ， 点 m 的坐标为（ ，）考点：二次函数的综合题6如图，已知顶点为c (0, -3)的抛物线y =ax2+b ( a 0)与 轴交于 a， b 两点，直线y =x +m过顶点

25、 c 和点 b （1）求 的值；（2）求函数y =ax 2 +b ( a 0)的解析式；（3）抛物线上是否存在点 m ，使得 mcb =15 在，请说明理由？若存在，求出点 m 的坐标；若不存【答案】（1）3；（2）y=13x23；（3）m 的坐标为（3 3 ，6）或（ 3 ，2）1 ， 2【解析】【分析】（1） 把 c（0，3）代入直线 yx+m 中解答即可；（2） 把 y0 代入直线解析式得出点 b 的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可； （3）分 m 在 bc 上方和下方两种情况进行解答即可【详解】（1）将 c（0，3）代入 yx+m，可得：m3；（2）将 y0 代入 yx3 得：

26、x3，所以点 b 的坐标为（3，0），将（0，3）、（3，0）代入 yax2+b 中，可得： b =-3 9 a +b =0，解得： a =13，b =-3所以二次函数的解析式为：y=13x23；（3）存在，分以下两种情况：若 m 在 b 上方，设 mc 交 x 轴于点 d， 则 odc45+1560， odoctan30= 3 ，设 dc 为 ykx3，代入（ 3 ，0），可得：k = 3 ，y = 3 x -3 联立两个方程可得： 1y = x 2 -3 3x =0 x=3 3解得： ， y1 =-3 y2 =6，11 ，y =-322所以 m （3 3 ，6）；若 m 在 b 下方，设

27、mc 交 x 轴于点 e， 则 oec45-1530， oeoctan6033 ，设 ec 为 ykx3，代入（3 3 ，0）可得：k = 3y = x -33，联立两个方程可得： 1y = x 2 -3 333，x =0 解得： 1 x = 32y =-22，所以 m （ 3 ，2）综上所述 m 的坐标为（3 3 ，6）或（ 3 ，2）【点睛】此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键7如图，已知二次函数图象的顶点坐标为 a (1,4) ，与坐标轴交于 b、c、d 三点，且 b 点的坐标为( -1,0)（1） 求二次函数的解析式；（2） 在二次函数图象位于 x

28、轴上方部分有两个动点 m、n，且点 n 在点 m 的左侧，过 m、n 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 g、h 两点，当四边形 mnhg 为矩形时，求该矩形周长的 最大值；（3）当矩形 mnhg 的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点 p，使dpnc的面积是矩形 mnhg 面积的916？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1） y =-x +2x +3（2）最大值为 10（3）故点 p 坐标为：3 15( ,2 4)3 +3 2 -3 -6 2 3 -3 2 -3 +6 2 或 ( , ) 或 ( , ) 2 4 2 4【解析】22)【分析】（1）二次函数表达式为： y

29、=a (x-1)+4，将点 b 的坐标代入上式，即可求解；（2）矩形 mnhg 的周长c =2 mn +2gm =2 (2x-2)+2(-x2+2x+3)=-2x2+8 x +2，即可求解；（3）sdpnc=27 1 1 9= pk cd = ph sin45 3 2 ，解得： ph = =hg 8 2 2 4，即可求解【详解】（1）二次函数表达式为： y =a (x-1)+4，将点 b 的坐标代入上式得：0 =4a +4，解得：a =-1，故函数表达式为：y =-x2+2 x +3；（2）设点 m 的坐标为(x,-x2+2 x +3 )，则点n (2-x,-x2+2 x +3，则mn =x

30、-2 +x =2 x -2， gm =-x2+2 x +3 ，矩形 mnhg 的周长c =2 mn +2gm =2 (2x-2)+2(-x2+2x+3)=-2x2+8 x +2，-20，故当bx =- =2 a2，c 有最大值，最大值为 10，此时x =2，点n (0,3)与点 d 重合；（3）dpnc的面积是矩形 mnhg 面积的916，则sdpnc=9 9 27 mn gm = 2 3 =16 16 8，连接 dc，在 cd 得上下方等距离处作 cd 的平行线 m、n，过点 p 作 y 轴的平行线交 cd、直线 n 于点 h、g，即ph =gh，过点 p 作pk cd于点 k，将c (3,

31、0)、d(0,3)坐标代入一次函数表达式并解得：直线 cd 的表达式为：y =-x +3，oc =od，ocd =odc =45=phk， cd =3 2 ，设点p (x,-x2 +2 x +3 )，则点h (x,-x+3)，p ,2 4 2 4 2 4,2 4 2 4 2 4sdpnc27 1 1= = pk cd = ph sin45 3 2 8 2 2，解得：ph =94=hg，则ph =-x2+2 x +3 +x -3 =94，解得：x =32，3 15 故点， 直线 n 的表达式为：y =-x+3 -9 3=-x+4 4，联立并解得： x =3 3 22，即点 p 、 p 3 +3

32、2 -3-6 2 3 -3 2 -3+6 2 的坐标分别为 , 、 , ； 故点 p 坐标为：3 15 3 +3 2 -3-6 2 3 -3 2 -3+6 2 或 , 或 , 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形 结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出 线段之间的关系8如图，关于 x 的二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 a（1，0）和点 b 与 y 轴交于 点 c（0，3），抛物线的对称轴与 x 轴交于点 d（1） 求二次函数的表达式；（2） 在 y 轴上是否存在一点 p， pbc 为等

33、腰三角形？若存在请求出点 p 的坐标； （3）有一个点 m 从点 a 出发，以每秒 1 个单位的速度在 ab 上向点 b 运动，另一个点 n 从点 d 与点 m 同时出发，以每秒 2 个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点 m 到达 点 b 时，点 m、n 同时停止运动，问点 m、n 运动到何处时 mnb 面积最大，试求出最 大面积1234【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x24x+3；（2）点 p 的坐标为：（0，3+32 ）或（0，332 ）或（0 ，-3）或（0，0）；（3）当点 m 出发 1 秒到达 d 点时 mnb 面积最大，最大面积是 1此时点 n 在对称轴上 x 轴上方 2

34、 个单位处或点 n 在对称轴上 x 轴 下方 2 个单位处【解析】【分析】（1） 把 a（1，0）和 c（0，3）代入 y=x2+bx+c 得方程组，解方程组即可得二次函数的表 达式；（2） 先求出点 b 的坐标，再根据勾股定理求得 bc 的长， pbc 为等腰三角形时分三种 情况进行讨论：cp=cb；bp=bc；pb=pc；分别根据这三种情况求出点 p 的坐标；（3）设 am=t 则 dn=2t，由 ab=2，得 bm=2t， mnb=12（2t）2t=t2+2t，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可 mnb 最大面积；此时点 m 在 d 点，点 n 在对称轴上 x 轴上方 2 个单位

35、处或点 n 在对称轴上 x 轴下方 2 个单位处【详解】解：（1）把 a（1，0）和 c（0，3）代入 y=x2+bx+c，1+b+c =0c =3解得：b=4，c=3， 二次函数的表达式为：y=x24x+3；（2）令 y=0，则 x24x+3=0，解得：x=1 或 x=3， b（3，0）， bc=32 ，点 p 在 y 轴上， pbc 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图 1， 当 cp=cb 时，pc=3 2 ， op=oc+pc=3+3 2 或 op=pcoc=3 2 3 p （0，3+32 ），p （0，33 2 ）；当 pb=pc 时，op=ob=3， p （0，-3）；当 bp=

36、bc 时， oc=ob=3 此时 p 与 o 重合， p （0，0）；综上所述，点 p 的坐标为：（0，3+3 2 ）或（0，33 2 ）或（3，0）或（0，0）；（3）如图 2，设 am=t，由 ab=2，得 bm=2t，则 dn=2t， mnb=12（2t）2t=t2+2t=（t1）2+1，当点 m 出发 1 秒到达 d 点时 mnb 面积最大，最大面积是 1此时点 n 在对称轴上 x 轴上方 2 个单位处或点 n 在对称轴上 x 轴下方 2 个单位处9如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴相交于 a（1，0），b（3，0）两点， 与 y 轴相交于点 c（0，3）（1）

37、 求这个二次函数的表达式；（2） 若 p 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，phx 轴于点 h，与 bc 交于点 m，连接 pc1 求线段 pm 的最大值；1 pcm 是以 pm 为一腰的等腰三角形时，求点 p 的坐标 最大12【答案】（1）二次函数的表达式 y=x22x3；（2）pm =最大94；p（2，3）或（3-2 ，242 ）【解析】【分析】（1） 根据待定系数法，可得答案；（2） 根据平行于 y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次 函数，根据二次函数的性质，可得答案；根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方 程，可得答案【详解】（1）将 a，b，c 代

38、入函数解析式， a -b +c =0 a =1 得 9a +3b +c =0 ，解得 b =-2，c =-3c =-3这个二次函数的表达式 y=x22x3；（2）设 bc 的解析式为 y=kx+b，将 b，c 的坐标代入函数解析式，得3k +b =0 k =1 ，解得 ，b =-3 b =-3bc 的解析式为 y=x3 ，设 m（n，n3），p（n，n22n3），pm=（n3）（n22n3）=n2+3n=（n3 9）2+ ，2 4当 n=3 9 时，pm = ；2 4当 pm=pc 时，（n2+3n）2=n2+（n22n3+3）2， 解得 n =0（不符合题意，舍），n =2，n22n3=-3

39、，p（2，-3）；当 pm=mc 时，（n2+3n）2=n2+（n3+3）2，123解得 n =0（不符合题意，舍），n =3+2（不符合题意，舍），n =3-2，n22n3=2-42 ，p（3- 2 ，2-4 2 ）；综上所述：p（2，3）或（3-2 ，242 ）【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰三角形等知 识，综合性较强，解题的关键是认真分析，弄清解题的思路有方法.10如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+2ax3a（a0）与 x 轴相交于 a，b 两 点，与 y 轴相交于点 c，顶点为 d，直线 dc 与 x 轴相交于点 e（1） 当 a=

40、1 时，求抛物线顶点 d 的坐标，oe 等于多少；（2） oe 的长是否与 a 值有关，说明你的理由；（3） 设 deo=，4560，求 a 的取值范围；（4） 以 de 为斜边，在直线 de 的左下方作等腰直角三角形 pde设 p（m，n），直接写 出 n 关于 m 的函数解析式及自变量 m 的取值范围【答案】（1）（1，4），3；（2）结论：oe 的长与 a 值无关理由见解析；（3） 3 a1；（4）n=m1（m1）【解析】【分析】(1) 求出直线 cd 的解析式即可解决问题；(2) 利用参数 a，求出直线 cd 的解析式求出点 e 坐标即可判断；(3) 求出落在特殊情形下的 a 的值即可

41、判断；(4) 如图，作 pm对称轴于 m，pnab 于 n两条全等三角形的性质即可解决问题.【详解】解：(1)当 a=1 时，抛物线的解析式为 y=x22x+3， 顶点 d(1，4) ，c(0，3)， 直线 cd 的解析式为 y=x+3， e（3，0）， oe=3，(2)结论：oe 的长与 a 值无关理由： y=ax2+2ax3a， c(0，3a)，d(1，4a)， 直线 cd 的解析式为 y=ax3a，当 y=0 时，x=3， e（3，0）， oe=3， oe 的长与 a 值无关(3)当 =45时，oc=oe=3， 3a=3， a=1，当 =60时，在 oce 中，oc= 3 oe=3 3

42、， 3a=33 ， a= 3 ， 4560，a 的取值范围为 3a1(4)如图，作 pm对称轴于 m，pnab 于 n pd=pe， pmd= pne=90， dpe= mpn=90， dpm= epn， dpm epn， pm=pn，pm=en， d(1，4a)，e(3，0)， en=4+n=3m， n=m1，当顶点 d 在 x 轴上时，p(1，2)，此时 m 的值 1， 抛物线的顶点在第二象限， m1 n=m1(m1)故答案为：(1)(1，4)，3；(2)oe 的长与 a 值无关；(3) 3 a1；(4)n=m1（m 1）【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质。11如图，直线 yx+4 与 x 轴交于点 b，与 y 轴交于点 c，抛物线 yx2+bx+c 经过 b，c 两点，与 x 轴另一交点为 a点 p 以每秒 2 个单位长度的速度在线段 bc 上由点 b 向点 c 运动（点 p 不与点 b 和点 c 重合），设运动时间为 t 秒，过点 p 作 x 轴垂线交 x 轴 于点