专题08 二次函数与菱形存在型问题(解析版)VIP

1、备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律专题08二次函数与菱形存在型问题【典例分析】【例1】如图，已知抛物线y=a2+bx+3(a0)经过点a(1,0)和点b(3,0)，与y轴交于点c.9a+3b+3=0b=-4（1）求此抛物线的解析式；（2）若点p是直线bc下方的抛物线上一动点（不点b，c重合），过点p作y轴的平行线交直线bc于点d，设点p的横坐标为m.用含m的代数式表示线段pd的长；连接pb，pc，求dpbc的面积最大时点p的坐标；（3）设抛物线的对称轴与bc交于点e，点m是抛物线的对称轴上一点，n为y轴上一点，是否存在这样的点m和点n，使得以点c、e、m、n为顶点的四边形是菱形？如果

2、存在，请直接写出点m的坐标；如果不存在，请说明理由.思路点拨（1）根据已知抛物线y=ax2+bx+3（a0）经过点a（1，0）和点b（3，0）代入即可求解；（2）先确定直线bc解析式，根据过点p作y轴的平行线交直线bc于点d，即可用含m的带上书表示出p和d的坐标进而求解；用含m的代数式表示出pbc的面积，可得s是关于m的二次函数，即可求解；（3）根据（1）中所得二次函数图象和对称轴先得点e的坐标即可写出点三个位置的点m的坐标满分解答（1）抛物线yax2+bx+3（a0）经过点a（1，0）和点b（3，0），与y轴交于点c，a+b+3=0a=1，解得，1抛物线解析式为yx24x+3；（2）设p（m

3、，m24m+3），将点b（3，0）、c（0，3）代入得直线bc解析式为ybcx+3过点p作y轴的平行线交直线bc于点d，d（m，m+3），pd（m+3）（m24m+3）m2+3m答：用含m的代数式表示线段pd的长为m2+3mspbcscpd+sbpd139obpdm2+m2223327（m）2+2283当m时，s有最大值233当m时，m24m+32433p（，）24答：pbc的面积最大时点p的坐标为（33，）24（3）存在这样的点m和点n，使得以点c、e、m、n为顶点的四边形是菱形根据题意，点e（2，1），ef=cf=2，ec=2，根据菱形的四条边相等，me=ec=22，m（2，1-22）或（

4、2，1+22）当em=ef=2时，m（2，3）点m的坐标为m1（2，3），m2（2，122），m3（2，1+22）【名师点睛】本题考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件【例2】如图，在平面直角坐标系内，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于点a，c（点a在点c的左侧），2与y轴交于点b，顶点为d点q为线段bc的三等分点（靠近点c）.（1）点m为抛物线对称轴上一点，点e为对称轴右侧抛物线上的点且位于第一象限，当mqc的周长最小时，求cme面积的最大值；（2）在（1）的条

5、件下，当cme的面积最大时，过点e作enx轴，垂足为n，将线段cn绕点c顺时针旋转90得到点n，再将点n向上平移16个单位长度.得到点p，点g在抛物线的对称轴上，请问在平面直角坐标系内是否存在一点h，使点d，p，g，h构成菱形.若存在，请直接写出点h的坐标，若不存在，请说明理由.思路点拨（1）连接qa交抛物线对称轴于m，此时mqc周长最小，可求出m（1，23），再求出直线cm解析式y=-x+1，设点e（t，-t2+2t+3，根据secm=es（c-m）可得出secm=-（t-）+32636117121横坐标横坐标，即scme最大值121=；36（2）根据题意可求得p（3，2），利用两点间距离公

6、式或勾股定理得dp=22，由菱形性质得phdgy轴，ph=dp=22，分两种情况：点h在点p上方；点h在点p下方满分解答（1）令y=0，得-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3，a（-1，0），c（3，0），令x=0，得y=3，b（0，3），如图1，过q作qfx轴于f，3qfqfob，cqfcbo，cfcq=bococb点q为线段bc的三等分点（靠近点c），cq1=cb3qfcf1=，333qf=cf=1，q（2，1），y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，d（1，4），抛物线对称轴x=1连接aq交抛物线对称轴于m，则m（1，23），此时mqc周长最小k+b=2设直线cm解析式为y

7、=kx+b，则3，解得：k=-13；3k+b=0b=1y=-13x+1，设e（t，-t2+2t+3）为抛物线对称轴右侧且位于第一象限内的点，过e作enx轴于n，en交cm于s，则，s（t，-13t+1），scme2es=-t2+t+2=-（t-）2+，17es=-t2+2t+3-（-t+1）=-t2+t+2，3317712123636-10，4当t=76时，scme最大值36，6，由旋转得cn=cn=11（2）存在如图2，由（1）知cn=oc-on=3-711121=6=6，cnx轴，由题意得cpx轴，cp=cn+np=2，p（3，2）dp=(3-1)2+(2-4)2=22，四边形dphg是菱

8、形，dg=ph=dp=22，phdg，h（3，2-22），如图3，四边形dphg是菱形，dg=ph=dp=22，phdg，h（3，2+22）5如图4，四边形dpgh是菱形，p与h关于抛物线对称轴对称，h（-1，2）如图5，过点p作pg直线x=1于g，作dh直线x=1，过p作phdh于h，ph=dg=dh=pg=2，pgd=90四边形dpgh是菱形，h（3，4）综上所述，点h的坐标为（3，2-22）或（3，2+22）或（-1，2）或（3，4）【名师点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，顶点、对称轴，三角形周长最小利用对称转化为两点之间线段最短的应用，菱形的性质，分类讨论等【例3】如图，直线y=-

9、x+4交x轴于点a，交y轴于点c，抛物线y=12x2+bx+c经过点a，交y轴于点b(0,-2)点d为抛物线上一动点，过点d作x轴的垂线，交直线ac于点p，设点d的横坐标为m6（1）求抛物线的解析式；（2）当点d在直线ac下方的抛物线上运动时，求线段pd长度的最大值；（3）若点e是平面内任意一点，是否存在点d，使以b，c，p，e为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接出m的值；若不存在，请说明理由思路点拨（1）先根据直线解析式求得点a的坐标，再将点a、b的坐标代入抛物线的解析式中即可得到答案；2）根据pdx轴知点p的横坐标为m，由点d与点p所在的位置表示两点的坐标，得到线段pd的二次函数（解析式，

10、利用顶点式解析式即可求得最大值；3）当四边形为菱形时四条边相等，故bcp为等腰三角形，分三种情况，根据两边相等求得m值满分解答（1）对于y=-x+4，令y=0，得x=4，a(4,0)将a(4,0)，b(0,-2)代入y=1210=16+4b+c,得2-2=c,3b=-,解得2c=-2,x2+bx+c，7故抛物线的解析式为y=132x2-2x-2p(m,-m+4)，dm,m2-m-2，（2）易得1322pd=-m+4-m2-m-2132211=-m2+m+62211=-(m-)2+22498202时，线段pd的长度有最大值，为49当m=1点d在直线ac下方的抛物线上，-3m4-18（3）存在，m

11、的值为6，32，-32或3解法提示：当以b，c，p，e为顶点的四边形为菱形时，vbcp必为等腰三角形由b(0,-2)，c(0,4)，p(m,-m+4)，得bc2=36，pb2=m2+(-m+4+2)2=2m2-12m+36，pc2=m2+(-m+4-4)2=2m2分以下三种情况讨论当bc=pb时，bc2=pb2，即36=2m2-12m+36，解得m1=0（不合题意，舍去），m2=6当bc=pc时，bc2=pc2，即36=2m2，解得m=32，m=-3234当pb=pc时，pb2=pc2，即2m2-12m+36=2m2，8解m5=3综上可知，m的值为6，32，-32或3【名师点睛】此题是二次函数

12、的综合题，（2）中求线段长度的最大值时可利用两点的坐标求得线段长度的函数解析式，.根据解析式求得最大值即可，（3）中是函数图像与图形的综合题，依据图形的性质解题是关键方法【例4】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y323x2-33x+3与x轴交于a，b两点，与y轴交于点c，点d为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与直线ac交于点e（1）若点p为直线ac上方抛物线上的动点，连接pc，pepce的面积spce最大时，点p关于抛物线对称轴的对称点为点q，此时点t从点q开始出发，沿适当的路径运动至y轴上的点f处，再沿适当的路径运动至x轴上的点g处，最后沿适当的路径运动至直线ac上的点h处，求满足条件的点p的坐

13、标及qf+fg+33ah的最小值（2boc绕点b顺时针旋转120，边bo所在直线与直线ac交于点m，将抛物线沿射线ca方向平移23个单位后，顶点d的对应点为d，点r在y轴上，点n在坐标平面内，当以点d，r，m，n3为顶点的四边形是菱形时，请直接写出n点坐标思路点拨（1）易求a（3，0），b（1，0），c（0，3），直线ac的直线解析式为y3x+3pce的3面积spce最大时，当p点到直线ac的距离d最大即可求出点p坐标，进而可求点q坐标，作点q关于9y轴的对称点q，作ac关于x轴的对称ac，过点q作直线ac的垂线交于点h，角y轴于点f，交x轴于点g，即可求qf+fg+33ah的最小值；（2）由

14、平移可知抛物线向下移动33个单位，向左平移1个单位，易求bo的直线解析式为y3x3，（1）在y=-3x2-x+3中令y=0，解得x1=-3,x2=1，a（3，0），b（1，0），令x=0，解得y=3，则c（0，3），求得d-1,3过点p作pky轴交ac于点k，设px,-x+3，其中-3x0，则kx,x+3333从而可以知道点m的坐标，然后分类讨论：当dm是菱形rdnm的对角线时，当dmrn时.满分解答233343，直线ac的直线解析式为y=3x+3，33233x2-svpec=svpkc-svpke=12pkx-xce=-3x2-3x+3-x+31=1pk21323323=-x21332-3=

15、-33x2-62-360，抛物线开口向下，又-3x0且对称轴为直线x=-32102时，spce最大，当x=-3p-，24353点p关于抛物线对称轴的对称点为点q，抛物线对称轴x1q-,42153作点q关于y轴的对称点q2,43ah，3ahqf+fg+hgqh，4，在amn中，am76，123，qh29153），作ac关于x轴的对称ac过点q作直线ac的垂线交于点h，交y轴于点f，交x轴于点g，qfqf，caooah30，hgahtan303qf+fg+3过q作qmx轴，交x轴于点m，交ah于点n，qm532，mn73qn29在vqmg,vahg中，ahg=qmg,agh=qgbvqmgvahg

16、hqnoah30，8；112，32），33个单位，3，bbac，3，bk1，3个单位，向左平移1个单位，3），3x+32，32），4，33dm的中点为（1设r（0，n），n（1（2）在obc中，oc3，ob1，cbo60，boc绕点b顺时针旋转120，obc60，o（3将抛物线沿射线ca方向平移2bb23bbk30，过点bx轴，交x轴于点k，在bbk中，bk3抛物线向下移动3d（1，43d（2，3），bo的直线解析式为y3x3，y=3x-3m点坐标为方程组3的解，y=m（3当dm是菱形rdnm的对角线时，4），2，m），12n+p33，24m3，n-m=731，2n（12，3）；当dmrn时，

17、设r（0，n），n（72，m），dm2（73）2+（）213，22dn2（32）2+（3n）213，m3+43432或m32，n（7243743，3+）或n（，3-）；222n（72437431，3+）或n（，3-）或n（，3）；2222【名师点睛】.本题考查的是二次函数图像的综合问题，能够熟练准确的调动二次函数各方面知识是解题的关键【例5】二次函数y51x2+bx+c的图象与直线yx+1相交于a、b两点(如图)，a点在y轴上，过42点b作bcx轴，垂足为c(3，0).13(1)填空：b_，c_.(2)点n是二次函数图象上一点(点n在ab上方)，过n作npx轴，垂足为点p，交ab于点m，求mn

18、的最大值；(3)在(2)的条件下，点n在何位置时，bm与nc相互垂直平分？并求出所有满足条件的n点的坐标.思路点拨(1)由一次函数解析式求得点a、b的坐标，然后将其代入二次函数解析式，即利用待定系数法确定函数解析式；(2)设m的横坐标是x，则根据m和n所在函数的解析式，即可利用x表示出m、n的坐标，利用x表示出mn的长，利用二次函数的性质求解；(3)bm与nc互相垂直平分，即四边形bcmn是菱形，则bcmc，据此即可列方程，求得x的值，从而得到n的坐标；满分解答(1)由直线y12x+1得到：a(0，1)，把x3代入y115x+1得到：y(3)+1.2224=-(-3)-3b+c5故b(3，).

19、2c=15将a、b的坐标分别代入yx2+bx+c，得55，24解得b-174，c1；517(2)设n(m，m2-m+1)，44则，m，p点的坐标分别是(m，12m+1)，(m，0)，mn(5171m2-m+1)(m2+1)，44214m2m541545345(m+)2+，4216345当m时，mn的最大值为；216(3)连接mn，bn，由bm与nc互相垂直平分，四边形bcmn是菱形由bcmn，mnbc，且bcmc，而bc15(3)+1，225155即：m2m，442125且(m+1)2+(m+3)2，24解得：m1；故当n(1，4)时，bm与nc互相垂直平分.【名师点睛】.本题主要考查了二次函

20、数综合题，菱形的性质，掌握二次函数综合题，菱形的性质是解题的关键【例6】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y17x2x3交x轴于a，b两点（点a在点b的左22侧），交y轴于点c（1）求直线ac的解析式；（2）点p是直线ac上方抛物线上的一动点（不与点a，点c重合），过点p作pdx轴交ac于点d，求pd的最大值；（3boc沿直线bc平移，点b平移后的对应点为点b，点o平移后的对应点为点o，点c平移后的对应点为点c，点s是坐标平面内一点，若以a，c，o，s为顶点的四边形是菱形，求出所有符合条件的点s的坐标15思路点拨17（1）y=-x2-22x-3，令y=0，则x=-1或-6，故点a、b、c的坐标

21、分别为：（-6，0）、（-1，0）、（0，171-3），然后用待定系数法即可求解；（2）设点p（x，-x2-x-3），则点d（x，-x-3），则2221711pd=-x2-x-3-（-x-3）=-x2-3x，然后配方法分析其最值，即可求解；（3）分ac是菱形的2222边、ac是对角线两种情况，分别求解即可满分解答（1）当y=0时，-17x2-x-3=022b=-3解得：x=-1或-6，当x=0时，y=-3点a、b、c的坐标分别为：（-6，0）、（-1，0）、（0，-3），设直线ac的表达式为：y=kx+b-6k+b=0将点a、c的坐标代入得：1k=-解得：2b=-31直线ac的解析式为：y=-

22、x-32171（2）设点p（x，-x2-x-3），则点d（x，-x-3）222171119则pd=-x2-x-3-（-x-3）=-x2-3x=-(x+3)2+2222221620，故pd有最大值为912（3）设直线bc的表达式为：y=kx+b将点b、c的坐标代入得：-k+b=0b=-3解得：k=-3b=-3直线bc的解析式为：y=-3x-3如图3或4中，当四边形acso是菱形时，设as交co于k，ac=ao=35，10，点o平移后的对应点为点o，平移直线的k为-3，则设点o向左平移m个单位，则向上平移3m个单位，则点o（-m，3m），设点s（a，b），（m+6）2+（-3m）2=（35）2，解

23、得m=631410，o（-6-31418+914-6+31410）或（10，18-91410）20，由中点公式可得：k（-6-314ak=ks，-12+914-6+314-12-91420）或（20，20），10，s（54-314-12+91454+31410）或（10，-12-91410）17如图5或6中，当四边形acos是菱形时，设cs交ao于k，ac=co=35，5，点o平移后的对应点为点o，平移直线的k为-3，c（0，-3），设o（m，-3m），m2+（-3m+3）2=（35）2，解得m=33115，5）或（5，o（3+311-9-9113-311-9+9115），10，10）或（10

24、，由中点公式可得：k（-27+311-9-911ck=ks，-27-311-9+91110），5，5）或（5，s（-27+3116-911-27-3116+9115）如图7中，当四边形asco是菱形时，so垂直平分线段ac，18直线so的解析式为y=2x+929y=2x+由2，y=-3x1027x=-解得y=109，s（-5127o（-9,）1010ks=ko，57,-）1010综上所述，满足条件的点s坐标为（54-314-12+91454+314-12-914，）或（，）或10101010-27+3116-911-27-3116+911（）或（，5555）或（5157-,-）1010【点睛】

25、本题考查的是二次函数综合运用，涉及到菱形的性质、图形的平移、中点公式的运用，此题难度较大，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏【变式训练】191如图，直线y=11x+2与y轴交于点a，与直线y=x交于点b，以ab为边向右作菱形abcd，点c221恰与原点o重合，抛物线y=（xh）2+k的顶点在直线y=x上移动若抛物线与菱形的边ab、bc2都有公共点，则h的取值范围是（）a2h12d1h12b2h1c1h32y=（xh）2+k的顶点在直线y=12,解得h1=1y=（xh）2-h【答案】a【解析】【详解】当抛物线经过c且顶点在c右侧时，2x,过c(0,0),2，h2=0.(舍去)将b（-2，1）代

26、入y=（xh）2-h当抛物线经过b点时，2，解得h1=-2,h2=32.(舍去)20所以2h12.2如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线c1：y11（x+3）2，将抛物线c1向右平移3个单位、故选a.922再向上平移4.5个单位得抛物线c2，则图中阴影部分的面积为_【答案】272【解析】【分析】根据上加，下减，左加，右减的原则表示抛物线c2的解析式，由对称性可知：s阴影部分opq，先计算q的坐标，表示pq的长，可得面积【详解】由平移可得：抛物线c2的解析式：y2=199（x+3-3）2-+，222即抛物线c2的解析式：y2=12x2，由抛物线c2的解析式：y2=x2，可知，抛物线c2过原点o

27、，当x=-3时，y2=（-3）2=，1219229q（-3，），221抛物线c1：y119（x+3）2，22p（-3，-92），99pq=+=9，p与q关于x轴对称，22oq=op，s阴影部分opq=11273pq=39=222故答案为：272【点睛】本题考查二次函数的平移规律、抛物线与x轴的交点、对称性、三角形面积以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的平移原则是关键3如图，在平面直角坐标系中，菱形oabc的顶点a在x轴正半轴上，顶点c的坐标为（4，3），d是抛物线y=x2+6x上一点，且在x轴上方，则bcd面积的最大值为_svbcd=5(-x2+6x-3)=-(x-3)2+15，q-0，【答

28、案】15【解析】试题解析：d是抛物线y=-x2+6x上一点，设d(x,-x2+6x)，顶点c的坐标为(4,3)，oc=42+32=5，四边形oabc是菱形，bc=oc=5,bcpx轴，15225222svbcd有最大值，最大值为15，故答案为15.4如图，在平面直角坐标系中，菱形abcd的顶点a的坐标为（3，0），顶点b在y轴正半轴上，顶点d在x轴负半轴上若抛物线y=-x2-5x+c经过点b、c，则菱形abcd的面积为_抛物线的对称轴为x=-b【答案】20【解析】【分析】根据抛物线的解析式结合抛物线过点b、c，即可得出点c的横坐标，由菱形的性质可得出ad=ab=bc=5，再根据勾股定理可求出o

29、b的长度，套用平行四边形的面积公式即可得出菱形abcd的面积【详解】5=-2a2抛物线y=-x2-5x+c经过点b、c，且点b在y轴上，bcx轴，点c的横坐标为-5四边形abcd为菱形，ab=bc=ad=5，点d的坐标为（-2，0），oa=3在abc中，ab=5，oa=3，ob=ab2-oa2=4，s菱形abcd=adob=54=20故答案为20【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、菱形的性质以及平行四边形的面积，根据二23次函数的性质、菱形的性质结合勾股定理求出ad=5、ob=4是解题的关键5二次函数y=23x2的图象如图所示，点o为坐标原点，点a在y轴的正半轴上，点

30、b、c在函数图象上，四边形obac为菱形，且oba=120，则点c的坐标为_【答案】-2213,【解析】【分析】连结bc交oa于d，如图，根据菱形的性质得bcoa，obd=60，利用含30度的直角三角形三边的b关系得od=3bd，设bd=t，则od=3t，（t，3t），利用二次函数图象上点的坐标特征得23t2=3t，得出bd=13，od=，然后根据菱形的性质得出c点坐标22【详解】连结bc交oa于d，如图，四边形obac为菱形，bcoa，oba=120，obd=60，24把b（t，3t）代入y=23x2得23t2=3t，解得t1=0（舍去），t2=1bd=1od=3bd，设bd=t，则od=3t，b（t，3t），3，od=，222，故c点坐标为：（-13，）22故答案为：（-13，）22【点睛】本题考查了菱形的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象上