初二平行四边形的性质和判定知识点整理

1、初二平行四边形的性质和判定专题 基础勉 ：思斗扣也*空變隹： (aJjlXi 芒 ii H Xii K7F7HF 卜：刑 Ti 卜： E 1. 平行四边形的定义 (1) 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形的定义有两层意思：是四边形；两组对边分别平行这两个条件缺一 不可. (2) 表示方法： 平行四边形用符号“厂”表示.平行四边形 ABCD记作“ l- ABCD ”，读作“平行 四边形ABCD ”. (3) 平行四边形的基本元素：边、角、对角线. 幻匚:“平行四边形的定义的作 用：平行四边形的定义既是性质，又是判定方法. 由定义可知平行四边形的两组对边分别平行； 由定义可

2、知只要四边形中有两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形. 【例1】对于平行四边形 ABCD , AC与BD相交于点0,下列说法正确的是(). A .平行四边形 ABCD表示为“l：r lACDB ” B .平行四边形 ABCD表示为“ ABCD ” C. AD / BC, AB/ CD D .对角线为AC, B0 解析：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知平行四边形的两组对边平行， 故选C. 答案：C 2. 平行四边形的性质 (1) 平行四边形的对边平行且相等.例如：如图所示，在一 ABCD中，ABCD , ADBC. 由上述 性质可得，夹在两条平行线间的平行线段相等.如图2,直

3、线 11/ 12.AB, CD是夹在直线11, 12间的平行线段，则四边形 ABCD是平行四边形，故 AB仝 CD._ (2) 平行四边形的对角相等，邻角互补.例如：如图所示，在ABCD中，/ ABC = / CDA , / BAD = / BCD./ABC + / BAD = 180 , / ABC + / BCD = 180 , / BCD + / CDA = 180, / BAD + / CDA = 180. (3) 平行四边形的对角线互相平分.例如：如图所示，在ABCD中，OA= OC , OB =OD. AD 0 BC . 置异 4 D I、 圉“ F c 图 QABCD中，EF经过

4、对角线的交点 O,与AD 四边形ABFE = S四边形EFCD . (4) 经过平行四边形对角线的交点的直线被对边截得的两条线段相等，并且该直线平分 平行四边形的面积.例如：如图所示，在 和BC分别交于点 E, F，则OE = OF，且S 【例2】_ ABCD的周长为30 cm，它的对角线 AC和BD交于0,且厶AOB的周长比 BOC的周长大5 cm,求AB, AD的长. D 0 B 分析：依题意画出图形，如图， AOB的周长比 BOC的周长大5 cm，即AO + AB + BO (BO + OC + BC) = 5(cm). 因为OA = OC, OB为公共边， 所以 AB BC= 5(cm

5、). 30 由 AB+ BC= = 15(cm)可求 AB , BC, 再由平行四边形的对边相等得AD的长. 解：/ AOB的周长比 BOC的周长大5 cm, - AO+ AB + BO (BO + OC+ BC) = 5(cm). 四边形ABCD是平行四边形， AO= OC, - AB BC= 5(cm). / ABCD的周长为 30 cm , AB+ BC = 15(cm). AB BC= 5, AB + BC= 15, AB= 10, 得 BC= 5. AB= 10 cm , AD = BC= 5 cm. 3. 平行四边形的判定 (1) 方法一：(定义判定法)两组对边分别平行的四边形叫做

6、平行四边形. 平行四边形的定义是判定平行四边形的根本方法，也是其他判定方法的基础.关于 边、角、对角线方面还有以下判定定理. (2) 方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 如图，连接 BD，由 AD = BC , AB = CD，可证明厶 ABD CDB，所以/ CDB = / ABD，/ CBD = / ADB，从而得到 AB/ CD , AD / BC.由定义得到四边形 ABCD为平行四 边形. 其推理形式为： / AB= DC , AD = BC, 四边形ABCD是平行四边形. 方法三：两组对角分别相等的四边形是平行四边形. nB / B=Z D，/ A+ / B+Z C+ /

7、 D=360 , ，/ A+ Z B=180 . AD / BC. D 如图，由/ A= / C, 可得/ B + / C=180 从而得到AB / DC , 由定义得到四边形 ABCD为平行四边形，其推理形式为: / A=Z C,Z B=Z D , 四边形ABCD是平行四边形. (4) 方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形. 其推理形式为： 如图， OA=OC, OB=OD , 四边形ABCD是平行四边形. (5) 方法五：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 其推理形式为： AB 如图， AD / BC, AD = BC, 四边形ABCD是平行四边形. (1) 判定方法可作为 “

8、画平行四边形”的依据；(2) 组对边平行，另一组对边 相等的四边形不一定是平行四边形. 【例3】已知，如图，在四边形 ABCD中，AC与BD相交于点0, AB / CD , AO = CO. 四边形ABCD是平行四边形，请说明理由. A D J卢tf o B C 解：因为 AB / CD，所以 Z BAC = Z DCA. 又因为 AO = CO, / AOB=/COD , 所以 ABO CDO.所以 BO= DO. 所以四边形ABCD是平行四边形. 4. 三角形的中位线 (1) 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. (2) 性质：三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的

9、一半. 江咗(1)一个三角形有三条中位线，每条中位线与第三边都有相应的位置关系和数 量关系；(2)三角形的中位线不同于三角形的中线，三角形的中位线是连接两边中点的线 段，而三角形的中线是连接三角形一边的中点和这边所对顶点的线段. 【例4】如图所示，在 ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若 ABC 的周长为10曲，则厶DEF的周长是 cm. A B E C 解析：由三角形的 中位线性质得， ii1 DF = 2BC, EF = 2AB, DE = 2AC, 1 所以 DEF 的周长=1X 10= 5(cm). 答案：5 5. 两条平行线间的距离 定义：两条平行线中，一条直线上任

10、意一点到另一直线的距离，叫做这两条平行线间 的距离. 如图所示，a / b,点A在直线a上，过A点作AC丄b,垂足为C,则线段AC的长是点 A到直线b的距离，也是两条平行线 a, b之间的距离. (1)如图，过直线 a上点B作BD丄b,垂足为D，则线段BD的长也是两条平 行线a, b之间的距离于是由平行四边形的性质可知平行线的又一个性质：平行线间的距 离处处相等. (2)两条平行线之间的距离是指垂线段的长度，当两条平行线的位置确定时，它们之间 的距离也随之确定，它不随垂线段的位置的改变而改变，是一个定值. 【例5】如图所示，如果11 / |2,那么 ABC的面积与厶DBC的面积相等吗？由此你还

11、 能得出哪些结论？ i 解： ABC的面积与 DBC的面积相等. 因为li/ 12，所以它们之间的距离是一个定值. 所以 ABC与厶DBC是同底等高的两个三角形.所以Saabc = Sdbc. 结论：li上任意一点与B, C连接，构成三角形的面积都等于 ABC的面积，这样的三 角形有无数个. J基本方法塵本能力八丄卞 J J . /： u : 7 -3 . . . . . . . . - . . . . . . . I . f. . . 1 . . . - - - - - - * 6. 平行四边形性质的应用 平行四边形性质的应用非常广泛，可以利用它说明线段相等、证明线段平行、求角的 度数、求线

12、段的长度、求图形的周长、求图形的面积等. 对平行四边形的性质、平行线的性质、勾股定理、含30角的直角三角形、三角形的面 积、三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，是解决此类问题的关键. 【例6】如图，ABCD的对角线相交于点 0,过0作直线EF，并与线段AB , CD的 反向延长线交于 E, F , 0E与0F是否相等，阐述你的理由. D C “ 0 E AB 解：0E与0F相等. 理由：/四边形ABCD是平行四边形， BE / DF , 0B = 0D , / FD0 = / EB0, / E= Z F. BOEBA D0F. 0E= 0F. 7. 平行四边形的判定的应用 熟练掌握判定定理

13、是平行四边形的判定的关键.已学了平行四边形的五种判定方法， 记忆时要注意技巧，其中三种方法都与边有关： （1）一种关于对边的位置关系 （两组对边分别平行的四边形是平行四边形）; （2）一种关于对边的数量关系（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）; （3）一种关于对边的数量与位置关系（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.平 行四边形的判定方法是今后解决平行四边形问题的基础知识，应该熟练掌握. 判定平行四边形的一般思路： 考虑对边关系：证明两组对边分别平行；或两组对边分别相等；或一组对边平行且 相等； 考虑对角关系：证明两组对角分别相等； 考虑对角线关系：证明两条对角线互相平分. 【例7】

14、如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当.的关系作为条件，推出四边形 ABCD是平行四边形，并予以证明.（写出一种即可） 关系 已知 求证 分析 Bc AD / BC, AB = CD，/ A=Z C,/ B+Z C= 180 在四边形 abcd中，, 四边形abcd是平行四边形. 证明两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 证明一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形; 证明两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 选用关系时，证明两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 选用关系时， 选用关系时， 选用关系时， 解：已知：，均可，其余均不可以.举例如下： 已知：在四边形 abcd中，AD / B

15、C,Z A= Z C, 求证：四边形 abcd是平行四边形. 证明：/ AD / BC, / A+ Z B= 180 /Z A= Z C, / C+ Z B= 180. AB / CD.四边形ABCD是平行四边形. &平行四边形的性质和判定的综合应用 平行四边形的性质和判定的应用主要有以下几种情况： 直接运用平行四边形的性质解决某些问题，如求角的度数、线段的长、证明角相等 或互补、证明线段相等或倍分关系； (2) 判定一个四边形为平行四边形，从而得到两角相等、两直线平行等； (3) 综合运用：先判定一个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的性质去解决某 些问题；或先运用平行四边形的性质得到线

16、段平行、角相等等，再判定一个四边形是平行 四边形. 【例8】如图所示，在|/ ABCD中，E, F分别是AD , BC上的点，且 AE = CF, AF 与BE交于G, DF与CE交于H,连接EF, GH，试问EF与GH是否互相平分？为什么？ A ED / /Ct / C / /G H B 解：EF与GH互相平分. 理由：在ABCD中， / AD 仝BC, AE = CF, AeZ de2 CF. F C BF.A四边形 AFCE , BEDF都是平行四边形.(一组对边平行且相等的四边形 是平行四边形) AF / CE, BE/ DF. 四边形EGFH是平行四边形.(平行四边形的定义) EF与

17、GH互相平分. 9. 三角形的中位线性质的应用 三角形的中位线的性质不仅反映了线段间的位置关系，而且还揭示了线段间的数量关 系，借助三角形中位线的性质可以进行几何求值（计算角度、求线段的长度 ）、证明（证明线 段相等、证明线段的不等、证明线段的倍分关系、证明两角相等）、作图，且能解决生活实 际问题. 减J应用三角形中位线定理解决问题时，已知条件中往往给出两个中点，若已知 条件只给出一个中点，必须要证明另一个点也是中点，才能运用此定理. 【例9】在厶ABC中，AB= 12 , AC= 10, BC= 9, AD是BC边上的高.将 ABC按如 图所示的方式折叠，使点 A与点D重合，折痕为EF，则

18、DEF的周长为（）. AA jr / | 0 -T/ * D C B D（a A . 9.5 B . 10.5 C. 11 D. 15.5 解析：/ EDF是厶EAF折叠而形成的图形， EDF EAF.aZ AEF = / DEF . / AD是BC边上的高，由折叠可知 AD丄EF , EF / CB.aZ AEF = Z B, / BDE = Z DEF. / B= Z BDE.a BE= DE = AE. E为AB的中点.同理点 F是AC的中点. EF是厶ABC的中位线. DEF的周长为 EAF的周长， 1 1 即 AE+ EF + AF = 2X （AB+ BC + AC） = ? X

19、（12+ 9+ 10） = 15.5. 答案：D R FITf rJZFr.t ixm VA ?葺 Tfl叫f 10. 平行四边形的性质探究题 平行四边形是一类特殊的四边形，它的特殊性体现在对边相等、对角相等、邻角互 补、对角线互相平分几方面，因此，由平行四边形可以得到很多相等线段、相等角.所 以，要学会利用对比的方法正确区分平行四边形的判定定理和性质定理，正确地运用相关 的结论解决相关的问题. 平行四边形的探究型问题，关键是根据平行四边形的性质和判定，构造出平 行四边形. 【例10】如图，已知等边 ABC的边长为a, P是厶ABC内一点，PD / AB, PE / BC, PF / AC,点D , E, F分别在 AC , A