成都电子科技大学电磁场与电磁波结课练习题

1、练习题1. 若采用库仑规范 A来代替洛仑兹规范， 求电磁场的标量位 和矢量位 A所满足的方程。2. 已知电偶极矩的矢量磁位 A j 0 pe jkr ，求所产生的磁场表达式。4r3. 证明在线性各向同性均匀非导电介质中， 若 0，J 0，则 E和 B可完全由矢势 A决定。若取 0，这时 A 满足哪两个方程？4. 电偶极子和小电流环 （ 磁偶极子 ） 是两种应用极其广泛的电磁波辐射器 , 已知电偶极子 远区辐射场为 E j Ilsin0e jkr, H j Ilsin e jkr ，请根据对偶原理 ,写出小2 r 0 2 r电流环 （ 磁偶极子 ） 远区辐射场表达式。如果电偶极子和小电流环的长度

2、相同，电流相 等，电偶极子和小电流环的辐射能力哪个强，并说明产生这一差别的物理原因。5. 设有电流元构成的天线（称为元天线）的轴线平行于地平面，在远方有一移动接收电 台接收元天线发射的电磁波。当电台沿以元天线为中心的圆周在地平面上移动时，于 正东方收到的信号（对应于电场强度）最强，试求： （1） 元天线的轴线沿何方向 ;（2） 移 动电台偏正东方向多少角度 , 接收的电场强度减小到最大值的 1 （ 不考虑地面的互2耦 ） ？6. 上题中，元（发射）天线如何放置，才能使电台接收信号（场强）保持不变？又若电 台的接收天线也使用电流元（天线） ，则两个天线如何放置，才可以使接收效果最佳？7. 长度为

3、 0.1m 的电偶极矩 p 10 9 sin（2 107t）azc m，求磁偶极子的电流8. 与地面垂直放置的电偶极子作为辐射天线， 已知 q0 3 10 7C， Z 1m，f 0.5MHz ，分别求与地面成 40 角，距偶极子中心分别为 6m和 60km处的 E和 H表达式。9. 在垂直于基本电振子天线的轴线方向上，距离 100km 处，为得到电场强度振幅值不小于 100 （V /m） ，问天线至少应辐射多大的功率？10. 已知某电流元的 z 10m，I0 35A，f 106Hz ，求它的辐射功率和辐射电阻。11. 已知自由空间中一半波对称振子的远区最大辐射方向上10km 处的电场强度振幅为

4、0.01V/m，辐射电磁波的工作频率为 300MHz。（1） 求该半波对称振子的单臂长度合辐射功率.下载可编辑 .(2) 写出改半波对称振子的远区辐射场量的瞬时表达式及平均功率密度矢量表达式。12. 设一交变电流 I I0cos t 通过线段元 dl ， dl位于坐标远点 O且沿 z轴。试求在辐射区 域内任一点在任意时刻的矢势 A、电场 E，磁场 B和平均功率 P13. 一天线长 5m，所载电流的方均根值为 5A，频率为 1000kHz。求单位时间内辐射能量的 平均值。14. 在二元天线阵中，阵元间距离 d ，电流振幅相同，相位差0，求阵函数。415. 自由空间中由两个半波对称振子构成的二元阵

5、，间距 d ，且 Im2 Im1。求此二元阵4 的归一化方向图函数。16. 由三个间距为 的各向同性元组成的三元阵，各单元天线上电流的相位相同，且振幅2之比为 1：2：1，试讨论该天线阵的方向图。17. 自由空间中 , 等幅同相激励的四个电流源组成一四元均匀直线阵 , 天线元间距为 , 求2 该四元均匀直线阵的归一化方向图函数。18. 五直线阵 , 其中心连线单元边射阵，天线元间距为 ，各天线元上的电流振幅按21: 2 : 3 : 2 : 1的比例分布。试确定阵因子和归一化方向图。19. 均匀直线式天线阵的元件距 d / 2 ，如要求它的最大辐射方向在偏离天线阵的轴线60 的方向，问单元之间的

6、相位差应为多少？20. 利用卡森互易定理证明紧靠在理想导体表面上的切向电流元无辐射场。参考答案1. 解：设 B代入麦克斯韦方程(E At ).下载可编辑所以，可设 E将以式代入麦 克 斯 韦 方 程 H J Dt ， 并 利 用 恒 等 式?A)2A，得2A2A t2( ?At)若采用库仑规范?A0 ，则矢量位 A 满足方程2A2A t2在均匀、线性、各向同性媒质中，将媒质本构关系代入麦克斯韦方程?D ，?D?E?E ?(t ?A 2?A t若采用库仑规范 ?A0 ，则标量位满足方程2. 解：已知矢量磁位 A j0pe4rjkr因BA，利用恒等式(uF)FuB j 40jkr ejkrjkre

7、p考虑到 p 为常矢量，0，所以.下载可编辑jkre40r(j)ke jkr 1kr0jkreke jkrpj2rjrp4rr0k2 11jkrp0j2eer p4krkr 2jkr er3. 解：在线性各向同性均匀非导电介质中，若0， J 0 ，则麦克斯韦方程组为?E?BBtE t 0 0其中已利用E，B H 。若采用洛仑兹规范?A c12 t 0，满足的方程2A2A tc2 t 2式中1/ ，其平面波解为 A A0ej(kr t) ，j(kr t)0e。由于?A ik ?A，根据洛仑兹规范?At12ci(k ?Ac12 )c2c k ?A那么ikikk(k ?A)(k ?k)A0，.下载可

8、编辑2Ak ?A 02ci k (kA)2ckA所满足的方程为2At24. 解：根据对偶原理：，I I ， HEm， EHm可以得到小电流环的远区辐射场为EmI ml sinj 2 r ejkrHmI mlsin e2rjkr电偶极子的辐射电阻为Re280 2 dl小电流环的辐射电阻为320 6依题意设他们的长度为 L ，所以320La2L42220 2L4作为天线， L，因而 Rm Re因此电偶极子的辐射能力比小电流环的辐射能力强，从物理学上，因为小电流环上的电流方向不一致，导致其产生辐射场有部分互相抵消，从而削弱了整个辐射场。5. 解：电流元的方向性函数为 f sin （ 为场点到电流元中

9、心连线与电流元轴线沿 电流流动方向之间的夹角） ， m （垂直于轴线方向） 时，辐射最强； 0 或2（平行于轴线方向）时，无辐射。 （1）由于移动电台在正东方接收到的信号（场强）最强，所以，元（发射）天线 的轴线方向一定是沿南北方向.下载可编辑2）电台在正东方向，对应2 ， f( ) f( m) sin 2 fmax1，令1f（ ） sin 1 ，解得 或 （此为电台偏离元天线轴线的角度） ，因 2 6 6此可得电台偏离正东方的角度为 m或（m ） 。6 3 66. 解： （1） 由于电流元的辐射场绕其几何对称轴线旋转对称，所以，使元（发射）天线的轴线垂直于地面可以使电台接收信号场强保持不变。

10、（2） 根据天线的互易定理（同一天线作发射用与作接收用，其方向性相同）可得，元（发射）天线与元（接收）天线的轴线平行且都垂直于地面使，效果最佳。此时，元（发射）天线沿电台方向辐射最强且电台的元（接收）天线的接收效果也 处于最佳效果。7. 解：由题意 p q l 10 9 sin(2 107 t)ezc m9710 8 sin(2107t)107t) 10 8 2 107 cos(2 107t)p 10 9 sin(2 107 t) ql 0.1则 I dq 10 8 d sin( 2dt dt0.2 cos(2 107t)(A)8. 解：此题不计地面影响，8 c 3 108 f 0.5 106

11、600m ，与地面成 40 角，则与偶极子轴角90 40 50（1） r 6m 600m, 采用远区场强公式I zk2 sinj( t kr)e j e40re(q0 zk2 sin40r)ej( t kr)e j 3 10 7 1(6200)2sin5010 9j(2e20.5106t 6200 60103)60 10336e 3.78 10 6 ej(10 6t 201 )e j I zksin ej( t kr) e 4rI zksin ej( t kr) 2r.下载可编辑e(q0 zksin )ej ( t kr ) )e2rjee670.5 106 3 10 7 1 sin502 6

12、00 60 103j(2e6 2 30.5 106t60 103 )6008 j( 106 t 201 ) e 10 e9. 解：依题意，距离r=100km，处于基本电振子的远区辐射场，场强可表示为EeE0sin rjkreHeE0sin rjkre10. 解：式中，度振幅。为媒质波阻抗，真空或空气时，基本电振子平均功率流密度Sav 1Re(E av 2则辐射功率PSav ?dSSE02240120 ， E0(V /m) 为电场强依题意，当E0100 V /m100先计算.下载可编辑1)=12ReeE0sin rjkreeE0 sinejkr re E02 sin2 ersinr2023 si

13、n 0103 E3 10810690 ，E0rE02sin120E021202er r sin dd erE0290100 km时100E01033100 103100 V /m10V /m300m1Sav21Re(E1Ree2er (2I0R2RI02rzsin 0e jkrI0 zsin e j 0 2 rejkr20 sin则辐射功率 PSav ?dSS2(20 z)r220 sin r sin d d由辐射电阻定义30(I 0 z)40Rrsin 3402 2 z 22 I 02 ()22 352 (31000)2537.35(W )I 02Rr2PI022 537.353520.87

14、7( )11. 解： (1) 因 f 300MHz 故2 f 1.89109 rad /s，k/c 6.3rad /m，c/ f 1m 。因此，该半波对称振子的单臂长 h 0.25m又因半波对称振子的远区辐射电场的复数表达式为60Imj Rm ecos( cos )jkRcos(s2incos )sin而当90时，max(2).下载可编辑 .Rmax0.12 10460所以半波对称振子的辐射功率为2 1 2 1 5 2 P I e RrI m Rr( )2 2 3Im601.667A73.1 101.53W其中半波对称振子的辐射电阻 Rr73.1半波对称振子的远区辐射电场的瞬时表达式为E Re

15、E ej t Rej 60Im eRcos( cos ) jkR 2ej t 60Im cos(2cos )sin( tR sin100cos(2cos )sin(1.89R sin 而磁场强度瞬时式为sinkR)109t 6.3R)V /m100 cos(2 cosR 0 sin)sin( t kR)12.0.27 cos(2 cos )2 sin( t 6.3R)A/mR sin 以及平均功率密度为Sav 12Re(E H )1002 cos(2 cos2 377 sin13.26cos(2 cos )R2 sin：求矢势 A ：因为 I I 0 cos t此时，有电偶极辐射，其矢势为式中

16、， ejkr 为推迟因子，其中，对线电流为p JdV Idl20)2er2erW /m2A(x,t)jkr0ep4r所以p IdlA(x,t)求磁场 B ：ik A求电场 E ：cB n求平均功率.下载可编辑JdV因为 S平均12ReEHPS平均 ?dSI 0e j tdl0I0 dl ej(kr4r2I02(dl)212 0c3t)( i ) 0I0 sin ej(kr4 crt)e( i ) 0I0 sin ej(kr crc20t)eI 0dl )sin22n r2c0(4I 0dl)2sin 20 r 2r 2 sin d13. 解：在 l ( c/v 300m) 的条件下，可以看成是

17、短天线并可忽略电流沿天线的分布，因而可利用上题的结果：P 0 2I 0cos(dl)2 v 2 106Hz 代入上式，得P 12 0c2将 l 5m ， I 02 I 2 5 2A ，P 5.48W若天线增长并由中心馈电，电流分布得不均匀性不能忽略，在中心点有最大值 I 0 ，两端为 0，可近似地看为峰值为 I0 / 2的电流，即以 I0 / 2代替上面的 I0，所以1P P 1.37W414. 解：两个天线的相位差为kd cos20 cos2所以归一化因子为Nsin2sin2cos2cos cos15. 解：二元阵的元因子为F1( , ) F1( )f1( )cos cos2sin其中 z

18、。又因为二元阵的阵因子为Fa(1 ej2cos2cos sin24)cos其中kd cos x ， cos x sin cos 。而归一化阵因子为fa ( , )cos sin cos4于是，归一化方向图函数为.下载可编辑f( , )f1( ) fa( , )cos cos2sincos 4 sin cos16. 解：该三元阵可等效为两个间距为 的二元阵组成的二元阵，于是元因子和阵因子2均为二元阵，其方向性函数均为cos cos等幅同向二元阵阵因子) ，根据方向图 相乘原理，可知该三元阵的方向性函数为2F( ) cos cos2FFmaxf ( , )sin cos sin cos2则三元阵的

19、归一化方向图函数为cos( sin cos )17. 解：设电流元依次为电流元 1、2、 3、4，采用方向图乘积原理求解可以采用不同的单元组合方法构成两个二元阵，如可以采用 1、2以及 3、4的组合，也可以采用 1、2cos 21cos cos23以及 2、4的组合。采用前种组合方式，则电流元 1、3以及 2、4组成的等幅同 相二元阵的阵因子为Fa1(ax)其中 1 1 kd1 cos x ，而 1 0 ， d1 。2再将两个二元阵组成一个等幅同相二元阵，其阵因子为Fa2(ax)22 cos2cos cos x2其中 2 2 kd2 cos x，而 1 0， d2 因为电流元的方向图函数为F1( ) sin所以，四元阵的方向图函数为F( , )F1( )Fa1( , )Fa2( , ) 4sincos sin cos cos sin cos2则四元阵的归一化方向图函数为.下载可编辑Ff ( , )sincos sin cosFmax2cos( sin cos )18.解：设天线1在考察点 P的辐射场为 E1，由于天线2上的电流 I2 2I1ej ( kdcos