微分几何陈维桓习题及答案

1、 6.1 测地曲率1. 证明：旋转面上纬线的测地曲率是常数。证明： 设旋转面方程为 r f(v)cosu,f (v)sin u,g(v)， f2(v)(du)2 (f 2(v) g 2(v)(dv)2 ，E f 2(v),G f 2(v) g 2(v)纬线即 u 曲线 ：v v0 (常数)，其测地曲率为 kg1 ln E2 G vln f2 f 2 g2 v为常数。f (v0 )f(v0) f 2(v0) g2 (v0)2、证明：在球面 Sr (acosucosv,acosusinv,asinu) ，u ,0 v 2 22上 ， 曲 线 C 的 测 地 曲 率 可 表 示 成d (s)dv(s

2、)kgsin(u(s) ，dsds其中 (u(s),v(s)是球面 S上曲线 C 的参数方程，s是曲线 C 的弧长参数，(s) 是曲线 C 与球面上经线(即 u - 曲1 / 35线)之间的夹角证明 易求出 E a2 , F 0, G a2 cos2u,因此kgd ds1 ln E 1 ln Gcos2 G v 2 E usin22d 1 ln(a2 cos2 u)sinds 2a ud sinusin ，ds acosu而ddvs1sind ds1acosusinkgsin u dvds3、证明：在曲面 S的一般参数系 (u, v)下，曲线 C :u u(s),v v( s)的测地曲率是kg

3、 g(Bu(s) Av(s) u(s)v (s) v(s)u (s)，其中s是曲线 C 的弧长参数，2g EG F2 ，并且A 111(u(s)2 2 112u (s)v (s) 122(v(s)2，B 121(u(s)2 2 122u (s)v (s) 222(v(s)2 特别是，参数曲线的测地曲率分别为kgu g 121(u(s)3， kgvg 122(v(s)3 。证明 设曲面 S参数方程为 r r(u1,u2)， C:u1 u1(s),u2 u2(s)2 / 35曲面 S上的曲线的参数方程为 C:u1 u1(s),u2 u2(s) ， s为C的弧长参数；n为S上 沿C 的法向量；曲线

4、r r(s) r(u1(s), u2 (s) ，r (s)2 duii1ds ，ij2ikj ij k1r (s)dui duj riji jd 2uii,j,k 1i,j 1 ds dsk dui duj rij dsd2ukk 1 ds2代入计算kgds2 ，2 duii 1 ds i2k1du1 d2udsbiji,j 1kiji,j 1dui dujndsdsk1d2ukds2dui duj )rkds ds(r ,r ,n)bijduidujni,j 1(d2uk2 ikj dui duj )rk2 ij kds2 i, j 1 ij ds ds ds1 ( ds22ijds ds2

5、 dui duj )i,j 1 ds dsij3 / 35ds ds ，bij dui duj n, ni,j 1 ij ds dsdu2dsd2u1ds221ij ij i, j 1ddusi ddusj )(r1,r2,n)ds ds由此得到du1 d2u2 kggddus1 (ddsu222i, j 12ijdui duj ) ds dsdui duj ) ds ds ) ，du2 d 2u1212 ( 112ijds dsi, j 1以上是测地曲率的一般计算公式。换回参变量 u1 u,u2 v ，即可得到结果。为曲线 C4若曲面 S ： r r(u,v)上曲线 C :u = u(t),

6、v = v(t),t上的任意参数，试导出测地曲率 kg 的计算公式。解 由于 gr (r,r,n) ，而r r ds,r dtr(ddst)2d2s ， dt2 ，所以r ,r ,n r ds (r( dt(r(ddts)2 r ddt22s)n (r,r,n)(ddst)dt dt dtds 3n)(ddst)33g |r |3，所以 g(t) (r(t|)|,rr(t()t)|,|3n(t) ；记 u u1,v u2 又r ri dui ，i dt4 / 35dui duj rijri d2uidui duj rki,jbij dti,j,k ij dt dt i, j2dui dujd

7、2ukn 2 k dt k dt2 kr ij i 2 i, j dt dt iji i dt2从而 (r ,r ,n) (r r ) n du1 (d2u22i2j dui duj)du2 d 2u1dtdt2i,j ij dt dt dt ( dt21i,j 1ij dduti ddutj ) g，|r | i,jgij dui duj ， ij dt dt由此得到：(giji,j3dui duj )2 dtdt dtdu1i,j i2ji,j2 dui dujdu2 d2u11 dui duj) ( 2 ij )dt dt dt dt2 i,j dt dt2225、求 椭球面 x2y2z

8、21 上由平面xy1 所截的截线在点 A (a,0,0) 的测地曲率。a2b2c2ab222xy zx y z6、求椭球面 2 2 2 1上由平面1所截的截线在点 C (0,0, c) 的测地曲率。abca b c1、6、2对曲面测地挠率上的曲线 的测地挠率，有gdu 2 dudv dv 2EG F2 (ME LF)(ddus)2 (NE LG ) ddus ddvs (NF MG)(ddvs)2.证明 证法一 g (n(s) r (s) n ，5 / 35将n代入，利用拉格朗日恒等式，得(n(s) r (s) n (n(s) r (s) |rruu rrvv |1 n(s) ru|rurv|

9、r (s) run(s) rv r (s) rv将 n(s) nu du nv dv ， ds dsr (s)dudsdv 代入，1g |ru rv |(ds)2Ldu MdvEdu FdvMdu NdvFdu Gdv1|ru rv |(ds)2Edu FdvLdu MdvFdu GdvMdu Ndv12|ru rv |(ds)2(ME LF )(du) 2 (NE LG)dudv (NF MG)(dv)21|ru rv |(ds)2(dv)2EL2 dudv (du) FG MN1EG F 2dv(ds)du dvds dsFMdu 2(ddus)2得nnrv vn rv |1(ru,rv,

10、n)|ru rv | u v6 / 35n)从而 g (n(s),r (s),n)|ru1rv|(ru,rv,(n(s),r (s),n)T |r 1r |(ru,rv,n)ru rnn)n(s) ru1|ru rv|r (s) ru1|ru rv |n(s) rur (s) ru0n(s) rvr (s) rv0n(s) rvr (s) rvr (s) rudu rv dv 代入，得 ds ds将 n(s) nu du nvdv ，ds dsg |ru rv |(ds)2|d(sEG F 2Ldu MdvEdu FdvEdu Fdv)Ldu MdvMdu NdvFdu GdvFdu GdvM

11、du Ndv(ME LF )(du)2 (NE LG)dsdu dv ds ds(NF MG)(dv)2ds2、设 :r r (s)是曲面 上的曲线，证明： 是曲率线的充分必要条件是g (n (s), r (s),n) 0。证明 设 是曲率线，于是 r (s)是主方向，则有 n(s)/r (s)，从而 g (n (s), r (s), n) 0；若 g (n (s), r (s),n) 0，则有 n(s),r (s),n 共面，于是有 n(s) ar (s) bn ，而 n(s) n 0，必有 b 0，于是 n(s) ar (s)，即得 r (s) 是主方向， 是曲率线。7 / 35表示 与3

12、 、曲面 上一点 P(u,v) 处的单位法向量为 n . 设曲面 上曲线 ，以 n 的夹角 . 命 n ，d 设曲面 上曲线 在 P 点处的挠率和测地挠率分别为， g ，则有 g dg ds 显然，如果沿曲线有 常数，则对此种曲线有 g .证明 根据向量之间的关系， 易得 n cossin，cos n sin ，sin n cos ， 利用上述关系式及曲线论的 Frenet 公式，代入计算，得 g n(s) (s)cos (s) sin (s) sin (s) cos (s) (s) (s)cos (k) sin (s)sin( )cos (s) (s) (s)cos2sin2(s)sin2c

13、os2 (s)(s) 。4、 设曲面 ： r r (u,v) 上的坐标曲线构成正交网 .曲面 上曲线 的切方向与 ru 的夹角为 ，则有 g 1 d kn( ).u g 2d n证明 在正交坐标曲线网下，我们有 F 0 ，du 1 cos ,dv 1 sin ， ds E ds G将它代入测地挠率的计算公式，计算得8 / 351 du 2 du dv dv 2 gEG1 F2 (ME LF )( ddus)2 (NE LG) ddus ddvs (NF MG)(ddvs)21 (M cos2 1 (NE LG)sin 2 ) ， EG 2 EGkn( ) L(du)2 2M du dv N(d

14、v)2n ds ds ds dsL 1 cos22M 1 cos sin NE EGsin 2 ，kn( )1 EG(2M cos2 1 (NE LG)sin 2 ) ， EG1d2dkn( ) .5、证明：曲面上任何两正交的方向的测地挠率之和为零 .证明在曲面上选取正交坐标曲线网，曲面方程 r r(u,v) .故有 g曲面上两正交方向与 ru 的夹角分别为 和 ，211由于 g( ) (M cos2 (NE LG )sin 2 )， g EG 2 EG11g () M cos2( ) (NE LG )sin 2()2 EG 2 2 EG 211(M cos2 (NE LG )sin 2 )，

15、 EG 2 EG所以有 g( ) g( ) 0 .9 / 35选取曲率线网作为曲面坐标网，主曲率分别为k1,k2，22从而由欧拉公式，得 kn k1 cosk2 sin ，kn( )k1 sin 2k2sin2(k2 k1 )sin 21 d 1是 g 12dd kn( ) 12(k2 k1)sin 26、证明： 曲面 :r r(u,v) 上一点 P 沿一方向 (d) du : dv上的法曲率 kn 为和测地挠率 g 之间满足 :kn2g2 2Hkn K 0 .ng n2 2 1 证明 由kn k1cosk2sin， g(k2 k1 )sin 2 ，经过计算，可得kn2 g2 k12 cos2

16、k22 sin2(k1 k2 )(k1 cos2k2 sin2 ) k1k22H (k1 cos2 k2 sin2 ) K 2Hkn K ，此即 kn2g2 2Hkn K 0 .7、证明 ： 极小曲面曲面: r r(u,v) 上一点 P 沿一方向 (d) du : dv上的法22 曲率 kn 为和测地挠率 g 与曲面的 Gauss 曲率 K 满足 : g2 kn2 K 0.8 、证明：若曲线为过曲面上一双曲点 P 的渐近曲线，且 曲率 k 0 ，则曲线在 P 点的挠 率 和曲面在 P 点的 Gauss 曲率 K 满足 : 2 K 0 .22证明 由条件可知， g,kn 0，利用 kn g 2H

17、kn K 0 ，2 即得 2 K 0.9、试证明 : 在曲面的双曲点 , 主方向平分两渐近方向 .证: 设曲面为 S,渐近方向所对应得单位方向向量为v Tp(S),10 / 35取Tp (S)在主方向下所对应的标准正交基为e1,e2 ,则 v e1cos e2 sin ，其中 是按 Tp(S) 的定向从 e1到 v的角,则沿 v的法曲率由 Euler 公式 ,有 kn k1 cos2k2 sin2 ，因为 p是双曲点 , 不妨设 k1 0,k2 0, 又 v所对应的方向为渐近方向 , 所以k1 cos2k2 sin2 0，解得 12从而可知主方向平分两渐近方向10 、 证明：假定曲面上经过一双

18、曲点 P 的两条渐近曲线在该点的曲率不为零，则这两条曲线在该点的挠率的绝对值相等， 符号相反， 并且这两个挠率之积等于曲面在该点的高斯曲率K.证明 这两条曲线在该点的挠率分别等于各自的测地挠率，选取曲率线网作为曲面坐标网，主曲率分别为k1,k2 ，且其中一条渐近曲线与 ru 成角，则另一条渐近曲线与ru 成角，于是两条渐近曲线在该点的测地挠率分别为1 1 1g( ) 2(k2 k1 )sin 2 ， g( )2(k2k1)sin(2 ) 2(k2k1)sin 2，显然 g( ) g( ) ， ( ) () ，由于 2( ) K 0,( ( )2 K 0 ，所以 ( ) K, ( ) K ，于是

19、有 ( ) ( ) K11 / 35 6.3 测地线1. 证明 :柱面上的测地线必定是定倾曲线 . 证明 不妨设柱面的直母线与 Oz 轴平行， 故曲面方程可取为 r r(u,v) f(u),g(u),v ，其中 u 为准线的弧长参数g2现在求形如 v v(u) 的测地线方程。(g, f ,0) (g, f ,0)ru f (u),g(u),v(u) ， ruu f (u),g (u),v (u)， 对于测地线，有 (n,r ,r ) 0，g f 0于是 fg v 0，fg v可得 (g 2 f 2)v (gg ff )v 0，由于 u 为准线的弧长参数，所以有 g 2(u) f 2(u) 1

20、， 从而 gg f f 1g 2(u) f 2(u) 0，2所以 v (u) 0，因而 v c1u c2 ；f 2 c12c1由此，测地线族的方程为 r f(u),g(u),c1u c2 cos cos(r , ) rc1|r | | |g 2即测地线与 Oz轴(即直母线)成定角，从而形如 v v(u) 的测地线为定倾曲线。又因直母线也是测地线，且与 Oz 轴平行，故直母线也是定倾曲线12 / 35故 柱面上的测地线必定是定倾曲线2、设曲线 C 是旋转面 r f (u)cos v, f (u)sin v,g(u) 上的一条测地线，用 表 示曲线 C 与经线的交角。证明：沿测地线 C 成立恒等式

21、 f (u)sin 常数。证明 经线即 u 曲线 ：v v0 (常数)；(f 2(u) g 2 (u)( du) 2 f 2(u)(dv)2，E (f 2(u) g 2(u),G f 2(u),F 0； 由测地线方程，有f (u)d 1 lnE 1 lnGcos sin sinds 2 G v 2 E u f(u) f 2(u) g 2(u)1du1cosds Ecos ,f 2 (u) g 2(u)11sin sin .ds G f (u)dvd 0 ， ds从而，可得 d f (u)sin f (u) du sin f (u)cos ds dsf (u)sin 常数。3、设在旋转曲上存在一

22、条测地线 C 与经线交成定角， 并且 0,2 证明：此旋转面必为圆柱面。证明 设旋转面方程为 r f (u)cos v, f (u)sin v, g(u) ， 经线即 u 曲线 ：v v0 (常数)；(f 2(u) g 2 (u)( du) 2 f 2(u)(dv)2，E (f 2(u) g 2(u),G f 2(u),F 0；13 / 35由测地线方程，有d ds1 lnEcos2 G v1 lnGsin2 E uf (u)f(u) f 2(u) g 2(u)sindu 1 cos 1 cos , ds E f 2(u) g 2(u)dvdssinsin . f (u)df (u)tan ，

23、由于 d0，所以 f (u)tan0，又常数 0, ，du f(u) du f(u) 2于是 f (u) 0，故 f (u) 常数，因此曲面为圆柱面。4、证明： (1) 若曲面上一条曲线既是测地线，又是渐近曲线，则它必定是直线。 (2)若曲面上一条曲线既是测地线，又是曲率线，则它必定是平面曲线 (3)若曲面上一条测地线是非直线的平面曲线 , 则它必定是曲率线 .证明: (1)因为所给曲线是测地线，所以 kg 0； 又因为所给曲线是渐近线，所以 kn 0，而 k2 kn2 kg2 ， 所以 k 0 ，故所给曲线是直线。(2)设曲面曲线 C 是既是测地线，又是曲率线；则若 C 为直线，当然是平面曲

24、线；若 C 不是直线，由 C 为测地线，知 n，从而 n ( ) ；又因 C 为曲率线，故依罗德里格定理，有 n r ；于是有 ，即 ( )0，故 0，所以 C 是平面曲线。(3) 因为所给曲面曲线 C 是非直线的测地线，所以沿此曲线有 n ，从而 n () ，又因为曲线 C 是平面曲线，所以 0，14 / 35于是 n，因此由罗德里格定理可知曲线 C的切线方向为主方向，故所给曲面曲线 C 为曲率线。5. 证明：若曲面 S 上所有的测地线都是平面曲线，则该曲面必是全脐点曲面 .证明:证法1 因对任意 P S及点 P的任一单位切向量 v ，均存在唯一的一条测 地线C过点P ，且以v为其在 P处的

25、切向量 .故 S 上任一点处均存在至少三条测地线是非直线的平面曲线， 任意P S ，设C1,C2,C3为过点 P的三条非直线的测地线，对应的在点处的单位 切向量分别为 v1, v2 ,v3 。由习题4(3)的结论，知 C1,C2,C3均为曲率线，从而 v1, v2 , v3均为点 P 处的主方 向。故由 P 的任意性知，曲面 S在每一点处均有三个不同的主方向，而这只有在脐点处 才会产生。因此， S 为全脐点曲面。证法2 因对任意 P S及点 P的任一单位切向量 v ，均存在唯一的一条测 地线C过点P ，且以v为其在 P处的切向量 .由曲面曲线 C 是测地线，所以 g ；又 C 是平面曲线，可知

26、0 ；于是 g 0。由于 d kn( ) 2 g( ) 0 ， g d n g所以在点 P 的任意方向 kn ( ) const.从而知 P 是脐点，故 S为全脐点曲面。6、已知曲面的第一基本形式如下，求曲面上的测地线 :(1) v( du) 2 (dv)2 ；2(2) a2 (du)2 (dv)2。v15 / 35解 ( 1)测地线方程 :于是有ds 2v v du1 cos ,1 cos , ds v dv 1sin . ds vdv2vtan , ddvtan .du解此方程组，得 vcos c ， tanv c ，cdv v c ，从而 u 2c v c2 c1 ； du c2) 测地

27、线方程 :dsdu1cos ,avcos , a dv vsin . ds adsdvd vtan , 于是有 d 于是有 dv tan .duvc2 v2解此方程组，得 covs c，tan c c v ，dv c v ，从而 uc2 v2 c1 。du c该曲面必是7. 若在曲面上存在两族测地线 ,它们彼此相交成定角 ,则它的高斯曲率处处为零， 可展曲面 .证明 取其中一族测地线 C1为u -曲线，建立正交参数系 (u,v) ；16 / 3522E(u, v)( du) 2 G(u,v)(dv)2，设另一族测地线 C2与u- 曲线的夹角为 ，则 由 0 kg11 ln E ，得 E2 G

28、v由 0 kg2 d 1 lnG sin ，又const.且 (0, ) ，得 Gu 0，g2 ds 2 E u u代入公式：1 ( E)v( G)uEG G v E u得 K 0 ，所以曲面为可展曲面。8. 设 是曲面 上的一条曲线， P 是曲线 上一点，曲线 在 P 点处的挠率和测地挠率分别为 ， g . 如果 是测地线，且曲率k 0 ，证明g .证明 由曲线论的 Frenet 公式知道，d dsdsdsds由 是测地线和 k0 ，得 n ；d于是 g (n(s),r (s),n) (dds , , )，故有 g9、设 是曲面 上的一条曲线， P 是曲线上一点，曲线 在 P 点处的挠率和测

29、地挠率分别为 ， g . 如果 是渐近曲线，且曲率 k 0 ，则有 g .证明 由曲线论的 Frenet 公式知道，dddsdsd( ) (d , , ) ，ds由 是渐近曲线和 k 0 ，得n；17 / 35于是 g (n (s), r (s),n) (d , , ) ， ds故有 g .注： 设 是曲面 上的一条曲线， P 是曲线 上一点， 曲线 在 P 点处的挠率和测地 挠率分别为 ， g . 若 是一条直线，则曲率 k 0 ， 0 ， 既是测地线又是渐近曲线， 曲面 非平面，但 g 0 。事实上， r (s)是常向量，由 n(s) 0，得 n(s) 0，由 n(s) n(s) 0， 所

30、以n (s)/ /(n )，n(s) (n ), 0，故有 g n(s) (n )0 ，g 。10、假定曲面 S1和S2沿曲线 C相切，证明：( 1)若C是S1上的测地线， 则C也必定是 S2上的测地线；(2)如果 C是S1上的曲率线，则 C也是 S2上的曲率线；(3) 若C是S1上的渐近曲线，则 C 也是S2上的渐近曲线。证明： 因曲面 S1和S2沿曲线 C相切，故曲面 S1和 S2沿曲线 C 的单位法向量 n1 ,n2平行，即 n1 n2； (1) 证法1 若C是直线，则 C既是 S1上的测地线，也是 S2上的测地线；n 若C不是直线，则因 C是 S1上的测地线，故 C的主法向量n1，从而

31、n2 ，故C也是 S2上的测地线。证法 2 因曲面 S1和S2沿曲线 C相切，故曲面18 / 35S1和 S2沿曲线 C的单位法向量 n1, n2平行，即 n1 n2； 因C是S1上的测地线，则有 d (d n1)n1 0，即得 d (d n2)n2 0 ，所以 C 也是 S2上的测地线。(2)若C是S1上的曲率线，则有 dn1 / /dr ，从而dn2 / /dr ，即C也是 S2上的曲率线。3)若C是S1上的渐近曲线，此时若 C为直线，则显然 C也是 S2上的渐近曲线；11 、证明：若C不是直线，则 dn1 dr ，从而 dn2 dr ，故C 也是S2上的渐近曲线。曲面 F(x,y,z)

32、0上的 测地线满足微分方程FxFyFzdxdydzd2xd2yd2z证明 上的曲线，设 C:r r(s) (x(s),y(s),z(s) 是曲面 S 其中 s是曲线的弧长参数， n 是曲面S 上的法向量，F |F |曲线 C 的 测地曲率Fxkg (n,r ,r )1| F |FyFzdx ds dy ds dz dsd2xds2d2yds2d2zds219 / 35曲线 C是测地线的充分必要条件是kgFx亦即FyFzdx d2 x2dy d2 y 0dz d2z 6.4 测地坐标系1、设曲面的第一基本形式为(du)2 G(u,v)(dv)2 ， 求ijk 及Gauss曲率 K .解 因为 E

33、 1,F 0,有正交的参数曲线网，所以 111 112 121 1210，1221 G12E u2Gu122221 1 ln G1 G12 21 G1221 2 u2G2 1 lnG 1 G ；22Gv ；22 2 v 2G vEG(1 2 G G u22、设曲面的第一基本形式为(du)2 G(u,v)(dv)2，并且 G(u,v)满足条件G(0,v) 1,Gu(0,v) 0，证明： G(u,v) 1 u2K(0,v) o(u2) 。2证明 由上题知， K (0, v) Gu (0,v) G2(0,v)Guu(0,v)1 Guu (0, v) ，2G2(0,v)2 uu对G(u,v)关于 u在

34、u 0处Taylor 展开, 有1 2 2G(u,v) G(0, v) Gu (0, v)u 1Guu(0,v)u2 o(u2) ,2从而 G(u,v) 1 u2K(0,v) o(u2) 。20 / 353、设曲面 S上以点 P为中心、以 r 为半径的测地圆的周长为 Lr ，所围面积是 Ar，2证明： P 点处的曲率是 K0 lim 3 2 r 3 Lr lim 12 r 4 Ar 。 r 0r 3r 0 r 4证明：在 P 点附近取测地极坐标系 (s, ), 则有 (ds)2 G(s, )(d )2,其中 lsim0 G(s, ) 0,lism0 G(ss, ) 1；于是1所以 K 1 (E

35、Gs) 1G 2s2G ；2 G K G 0， lims0s22 G(s, )s2lim( K G(s, ) 0 ；两边关于s求导，得3Gs3G K G ， s，所以3 G(0, )3 G(s, )lim 3 s 0s3G(s, )KK G(s, )K0 ；s对 G(s, )关于 s在 s 0处Taylor展开,得G(s, ) G(0, ) G(s, )|s 0s21 2 G(s, ) |s2s 0 s2s261 3 Gs(3s, ) |s 0 s3 o(s3)R( )6s321 / 351K0s3 o(s3)R( ) ；6由 Lr2 1 3 3 20 G(r, )d 2 rK0r 32o(s

36、3) 0 R( )d ，322 r Lr o(s3) R( )dK0 lrim0r 0limr03 2 rLr ；由 Ar0 ds 0 G(s, )d r2 12 K0r4r 3 20 o(s3)ds 0 R( )d ，得 K02 r 3 2r 2 Ar 0 o(s3 )ds 0 R( )d lim 0 0 r04 r 1224。 r12 r Ar lim r r0 6.51. 试在测地极坐标系下写出常曲率曲面的第一基本形式 解 常曲率曲面 S 的Gauss曲率 K const.常曲率曲面在 S上取测地极坐标系 (s, ), 则 (ds)2 G(s, )(d )2 ,且 lim G(s, )

37、0,lim G(s, ) 1KE1G( GE)s) ( E)1 2 G G s2 ，0，2 2G K G2si) 当 K 0 时, 此时 G A( )cos Ks B( )sin Ks ；22 / 350，根据条件 lsim0 G(s, ) 0 ，可得 A( )于是 G B( )sin Ks ，lim G(s, ) 1， s 0 s又因 G(s, ) B( ) Kcos K s ，1得B( ) 1K ，从而 G1sin Ks ， Kii)(ds)22 sin KKs(d)22Gs20 ，从而 G A( ) B( )s，由条件lsim0 G(s, ) 0,lism0 G(ss, ) 1，可得 A

38、( ) 0,B( ) 1，所以 G s ，故 (ds)2 s2(d )2 ；iii)当 K 0时, 此时 G A( )ch Ks B( )sh Ks 根据条件 lsim0 G(s, ) 0,lism0 G(ss, ) 1 ， 可得 A( ) 0,B( ) 1 ，于是G 1 sh KsK23 / 35(ds)2K1 sh2 Ks(d )2. 证明:在常曲率曲面上 ,以点 P为中心的测地圆具有常测地曲率 证明：常曲率曲面 S 的Gauss曲率 K const.在 S 上取测地极坐标系 (s, ), 则 (ds)1 GGs(ss00) 均与 无关，即 kg const.因此，在常曲率曲面上，测地圆有

39、常测地曲率 已知常曲率曲面的第一基本形式为24 / 35 G(s, )(d )2且 lsim0 G(s, ) 0,lism0 G(ss, ) 1 ;测地圆为 - 曲线，即 s s0 （常数），其测地曲率为1 ln G 1Gs ;2 E s 2 G因 S 为常曲率曲面，故S 的第一基本形式为下列三种情况之一：Ks(d(ds)21sinK(ds)2s2(d)2(ds)21 sh2KKs(d)2而在上述三种情况下，2(du)2或(du)21 sin2 Ku(dv)2 K1 sh2 Ku(dv)2K， K 0；， K 0；证明：若C : u u(s),v v(s)是该曲面上的一条 测地线的参数方程，

40、其 中s是曲线 C 的弧长参数，则存在 不全为零的常数 A, B,C ，使得他按照 K 0或是 K 0，分别满足下面 的关系式：Asin Ku (s)cos v(s) Bsin Ku (s)sin v(s) Ccos Ku(s) 0，及 Ash Ku (s)cos v(s) Bsh Ku(s)sinv(s) Cch Ku(s) 0 。试把上述 关系式和球面、 伪球面的测地线进行对 照，想一想：上面的关系式有什么几何意义？证明 当 K 0时，测地线方程为d ds1 l nEcos2 G v1Gl n2 E usi n Ksi nKusi ndu 1 co s ds Ecosdv 1 si n K

41、 si n ds G sin Ku25 / 35duK cos Ku tansin KuKtan .du sin Kudvcsin ， tansin Kusin2 Ku c2dv Kdu sin Ku sin2 KucKdv du ， sin Ku sin2 Ku c2cK2222du1sinccv c K duv du sin Ku sin 2 Ku c2d( c 2 cot Ku)1 ( c 2 )2 cot2 Ku 1 c1 c2arccos( c cot Ku ) v0 ，其中 v0是积分常数；1 c2ot Kucos(v v0) cosv0 cosv sinv0 sinv，由此即证得

42、结果当 K 0 时，同理可得到测地线方程 .所证关系式的意义如下： 在 K 0 的情形，可以把该常曲率 曲面设想为球心在坐标原点的球面， 要证的关 系式恰好表明测地线落在经过球心的平面上。在 K 0的情形，可以把该常曲率曲面设想为 洛伦茨空间中的伪球面 （双叶双曲面的一支） ，26 / 35要证的关系式恰好表明测地线落在经过坐标原点的平面上。4、试求 Klein 圆: uc (1 r ) r c(1 r 2)27 / 35 v2 1, du 2 dv2 2 内的测地线1 (u2 v2)2解 令 u rcos ， (0 r 1,0 2 ) ， v rsin则 (1 r2 )2 dr(1 r 2)

43、2 d ，测地线方程 :d 1 r 2sin , ds r dr 2(1 r )cos , ds d 1 r 2 sin . ds r其中 为该测地线与 r 曲线的夹角， s 为测地线的弧长参数。 d 1 r22 tan ,(1)dr r(1 r 2)dr r cot ,(2)d由( 1 )式，ln | sin | lnc1, r 2 sin1 1 r 2sinc(1 r 2)rcot2 2 2drdr r2 c2(1 r2 )2c(1 r 2)2a(1 r 2)，其中 a1 4c2则有1 x2a2(1 r 2)22 2 2 2 r c (1 r )22r 2(1 4c2)dx a(1 r )

44、dr ，r2ddx1 x2 ，dx arccos x 0 ，1 x20 为积分常数），2x cos(0) a(1 r 2)r(cos cos 0 sin sin 0)1 4c22(1 r 2)，ucos 0 vsin 01 4c222(1 u2 v2) ，ucos 0 vsin 01 4c222(1 u2 v2)1 4c2ucos 0 v21 4c vsin 0 1 0 ，(u1 4c2 cos 0)2 (v2c1 4c2sin 0)212c4c228 / 355、试求 Klein 圆:2 2 2 u v 1,dsdu2 dv21 (u2 v2)2和 Poincare 上半平面1y 0,ds2

45、2 (dx2 dy2) 之间的保长对应 .4y2记 w u iv,z x iy，考虑分式线形变换w k z b zc则 dw k(c b)(z c)2dz，|dw|2 ,|dz|22 2 , 2 2 (1 |w|2)2 2 (z z)2为使 1 2 ，即|dw|2(1 |w|2)2令|k | 1,b c ，则有|c b|2zc cz zc cz2(z z)2即 (z |zc)2(cc| c)21(z z)2|c c|2(c c)2|k(c b)|2|dz|22 2 z b 2 2|(z c)2|2 (1 |k|2)2zc22|k(c b)|2|dz|2| z c|2 |k(z b)|22|k|

46、2|c b|2|dz|2|dz|22 2 2(z c)(z c) |k|2 (z b)(z b)2(z z)2所以c必是虚数，不妨设 c i,bi ，且取k 1，从而有 1 2此时 w zz ii即 u ivx iy ix iy i22x2 y2 1 2xix2 (y 1)2 i x2 (y 1)2于是x2 y2 1 x2 (y 1)22x x2 (y 1)2为Klein 圆和 Poincare上半平面之间的一个保长对应思路：类似于寻求复平面上的单位圆与上半平面之间的的保形角变换的方法。29 / 357、证明：具有下列度量形式的曲面都有常数 Gauss曲率,其值为 K12a 试求它们之间的保长

47、对应。2(1)ds2 a2 ( du) 2 (dv)2 ；v2u(2) ds2 (du)2 ea (dv)2 ；(3) ds2 (du)2 cosh2 u(dv)2 。a证明 分别代入，计算可得 K 1 ( G)u )u ( E)v)v12 ；EG E Ga21)与(2)：令u v2a ，则有 1 2 ；u2ea1)与(3)u1：令 v1rcosrsin则1a2r2 sin22 2 2(dr)2 r 2(d )222 sin2 (d(aln r)2 a2sin12 (d )2 ，v3 alnrv3ae令 coshu31a sin，即arcsin1，cosh u3a则有 1 (du3)2 cosh 2u3(dv3)3 ，av3u1 eath u3 a所以v1 eav3 1为 1 与 3 之间的一个保长对应；cosh u3 av3u2 an(lehosc a)u32)与( 3)：v2 aehtv3au3a则有 2 330 / 35 6.6 曲面上向量场的平行移动1、设 xi xi (u1, u2 )(ixi2 i xjk xk ， ujk 11,2) 是偏微分方程组(i, j 1,2)的非零解，其中 ijk是曲面 S关于它的第一基本形式2gij (u1,u2)duiduj 的 Christoffel记号。i,j 1证明1)2gi