微分几何练习题库及参考答案已修改

1、微分几何复习题与参考答案、填空题123极限lim(3 t2 1)i t3j k 13i 8j k2t设f(t) (sin t)i t j，g(t) (t2 1)i et j ，求ltim0( f(t) g(t) 0 已知 r( t)dt = 1,2,3 ， r( t)dt = 2,1,2 ， a 2,1,1 ，b 1, 1,0 ，则442 a r (t)dt+b 2 a r(t)dt= 3, 9,5 . 已知 r (t) a ( a为常向量)，则 r(t) ta c5已知 r (t) ta ，( a为常向量)，则 r(t)1t2a c 26.7.8.9.最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲

2、线的 曲率恒等于零的曲线是 直线挠率恒等于零的曲线是 切线(副法线)和固定方向成固定角的曲线称为切线 _和密切平面平面曲线般螺线10. 曲线r r(t)在 t = 2 处有3 ，则曲线在 t = 2 处的曲率 k = 311. 若在点 (u0,v0) 处ru rv 0，则(u0 , v0) 为曲面的_ 正常12已知 f (t) (2 t) j (lnt)k ，g(t) (sint)i (cos t ) j ，t 0，点.4d则( f g)dt 2 6cos4 0 dt13曲线 r(t) 2t,t3,et 在任意点的切向量为 2,3t2,et 14曲线 r(t) acosht,asinht,at

3、 在 t 0点的切向量为 0,a,a15曲线 r(t) a cost, asin t , bt 在 t 0点的切向量为 0,a,b 16设曲线C : x et,y e t,z t2，当t 1时的切线方程为 x e e1y e z 1 12 e17设曲线 x et cost, y et sint,z et ，当 t 0 时的切线方程为 x 1 y z 1.18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是 F= M=0_ .19. u曲线( v曲线)的正交轨线的微分方程是 Edu+Fdv0(Fdu+Gdv0)_.20. 在欧拉公式 kn k1 cos2 k2 sin 2 中， 是 方向(d) 与 u

4、曲线的夹角.21. 曲面的三个基本形式 , , 、高斯曲率 、平均曲率 之间的关系是 2H K 0 .dr22已知 r(u,v) u v,u v,uv ，其中u t2,v sin t ，则 dr 2t cost,2 t cos,t2 vt ucost dt252627，则称曲面是简单曲面如果 u 曲线族和 v 曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为 正规坐标网 平面 r(u,v) u,v,0 的第一基本形式为 du2 dv2 ，面积微元为 dudv悬链面 r(u,v) coshu cosv,cosh u sin v,u 第一基本量是 E cosh2 u，F 0, G cosh2 u 对应的282

5、9302曲面 z axy 上坐标曲线 x x0， y y0 的交角的余弦值是2a 2x0y0 2 2(1 a2x02 )(1 a2y02)正螺面 r(u,v) u cosv, u sin v,bv 的第一基本形式是 du2 (u2 b2)dv2 双曲抛物面 r(u,v) a(u v), b(u v), 2uv 的第一基本形式是 (a2 b2 4v2)du2 2(a2 b2 4uv)dudv (a2 b2 4u2)dv2 31正螺面 r(u,v) u cosv, u sin v,bv 的平均曲率为 032方向(d) du : dv是渐近方向的充要条件是 kn(d) 0或Ldu2 2Mdudv N

6、dv2 0 33.方向 (d) du:dv和() u: v共轭的充要条件是II (dr ,r) 0或Lduu M (duv dvu) Ndvv 034. 是主曲率的充要条件是035.(d) du:dv 是主方向的充要条件是dvdudvdu2Edu Fdv Ldu Mdv0或EFGFdu Gdv Mdu NdvLMN023已知 r( , ) acos cos , acos sin , asin ，其中 t ， t37 旋转曲面中的极小曲面是平面 或悬链面38测地曲率的几何意义是曲面 S上的曲线在 P点的测地曲率的绝对值等于 (C)在 P点的切平 面 上的正投影曲线 (C*) 的曲率 2 ，则 d

7、r( , )asin cos 2at cos sin , asin sin 2at cos cos , acos dt，则称参数曲面是正则的； 如果 r :G r (G)24设 r r(u,v)为曲面的参数表示， 如果 ru rv36. 根据罗德里格斯定理，如果方向 (d) (du:dv) 是主方向，则 dn kndr ，其中 kn是沿方向 (d) 的法曲率 d= Evds2E Gdu=cosdsEdv=sindsGcosGu sin2G E42曲线是曲面的测地线，曲线 ( C)上任一点在其切平面的正投影曲线是直线 .123.4.56.78、单项选择题已知 r(t) et ,t,e A. 1,

8、0,1 ； B.t ，则 r (0) 为( A )1,0,1 ； C.0,1,1 ； D. 1,0, 1 .已知 r (t) r(t) ，为常数，则 r (t) 为(A. ta ； 其中 a 为常向量 曲线(C)是一般螺线，B.a ； C.C )e ta ； D. e a以下命题不正确的是(A切线与固定方向成固定角； C主法线与固定方向垂直； 曲面在每一点处的主方向( A ) A 至少有两个； B只有一个； 球面上的大圆不可能是球面上的( A 测地线；B曲率线；D )B副法线与固定方向成固定角；D 副法线与固定方向垂直C只有两个； D 可能没有 . D ) C法截线； 已知 r(x,y) x,

9、 y, xy ，求 dr (1,2)为( D )A. dx,d y,d x 2dy ；C. dx-dy,dx+dy,0 ；D 渐近线 .B.D.dx dy,dx dy,0 ； dx,dy,2dx dy .圆柱螺线 r cost,sint,t 的切线与 z轴( C).A. 平行； B. 垂直； C. 有固定夹角 ； D. 有固定夹角 .43设平面曲线 C :r r (s) ，s为自然参数， , 是曲线的基本向量叙述错误的是( C )； C. k ； D. k .A. 为单位向量；直线的曲率为( B )A. -1 ； B. 0 ；10关于平面曲线的曲率(s) ；9A. k(s)C. k(s)B.C

10、. 1 ； D. 2.C:r r (s)不正确的是( D )k(s) (s) ， 为 (s) 的旋转角；B.D.k(s) |r(s)|.11 对于曲线，“曲率恒等于 0”是“曲线是直线”的（ D ）A. 充分不必要条件； B. 必要不充分条件；C. 既不充分也不必要条件； D.充要条件 .12 下列论述不正确的是（ D ）A. , , 均为单位向量； B. ； C. ； D. . 13对于空间曲线 C ，“挠率为零”是“曲线是直线”的（ B ）A. 充分不必要条件；B. 必要不充分条件；C. 既不充分也不必要条件；D. 充要条件 .t14 x a（t sin t）, y a（1 cos t ）

11、, z 4asin 在点 t的切线与 z轴关系为（ D ）22A. 垂直； B. 平行； C. 成 的角； D. 成 的角 .342 2 215椭球面 x2 y2 z2 1 的参数表示为（ C ）abcA. x, y,z cos cos ,cos sin ,sin ；B. x, y, zacoscos ,bcossin,sin ；C. x, y,zacoscos ,bcossin,csin ；D. x, y,zacoscos ,bsincos,csin2 .16曲面 r（u,v）2uv,u2 v2,u3v3在点 M （3,5,7） 的切平面方程为（ B ）A.21x 3y 5z 20 0 ；B

12、.18x 3y 4z 41 0 ；C.7x 5y 6z 18 0 ；D.18x 5y 3z 16 0.17球面 r(u,v) Rcosu cosv,R cosu sin v,Rsinu 的第一基本形式为（ D ）A.R2(du2 sin2 udv2) ；B.R2(du2 cosh2 udv2) ；C.R2(du2 sinh2udv2) ；D.R2(du2 cos2 udv2).18正圆柱面 r（u,v） Rcosv, Rsin v,u 的第一基本形式为（ C ）A.du2dv2；B.du2dv2；Cdu2R2dv2 ；D. du2R2dv2 .19在第一基本形式为 I（du,dv） du2 s

13、inh2udv2 的曲面上，方程为 u v（v1 v v2 ）的曲线段的 弧长为（ B ）A cosh v2 cosh v1 ；B sinh v2 sinh v1 ；C cosh v1 cosh v2 ；D sinh v1 sinh v2 20设 M 为正则曲面，则 M 的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（ B ）A E 0；B F 0；C G 0；D M 0 21 高斯曲率为零的的曲面称为（ A ）A极小曲面；B 球面； C 常高斯曲率曲面； D 平面22 曲面上直线(如果存在)的测地曲率等于( A ) C 2 ； u-曲线的测地曲率为(A 0 ；23当参数曲线构成正交网时，1；参数曲线D

14、 3B )1 ln EA ；2 E uC1C 2 E v24如果测地线同时为渐近线，则它必为A 直线；B 平面曲线；Bln ElnGD12 G v1 ln E2 G u A )C抛物线；D圆柱螺线三、判断题(正确打，错误打)1.2.3.4.向量函数 r r(t)具有固定长度，则 r (t) r(t).向量函数 r r(t)具有固定方向，则 r (t) r(t).向量函数 r(t)关于 t 的旋转速度等于其微商的模曲线 的曲率、挠率都为常数，则曲线 是圆柱螺线 . r (t) . 若曲线 的曲率、挠率都为非零常数，则曲线是圆柱螺线 .6. 圆柱面 r Rcos ,Rsin ,z, z 线是渐近线

15、 . 7. 两个曲面间的变换等距的充要条件是它们的第一基本形式成比例8. 两个曲面间的变换等角的充要条件是它们的第一基本形式成比例9. 等距变换一定是保角变换 . 保角变换一定是等距变换 . 空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定 在光滑曲线的正常点处，切线存在但不唯一5.10.11.12.若曲线的所有切线都经过定点，则该曲线一定是直线 14. 在曲面的非脐点处，有且仅有两个主方向 15. 高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量16. 曲面上的直线一定是测地线 13.17.18.19.20.21.22.微分方程 A( u, v)du B(u,v)dv 0 表示曲面上曲线族 . 二阶微分方程

16、A(u,v)du2 2B(u, v)dudv C(u,v)dv2 0 总表示曲面上两族曲线 . 坐标曲线网是正交网的充要条件是 F 0，这里 F 是第一基本量 . 高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面 . 连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一 定是最短的 . 球面上的圆一定是测地线 . 23.球面上经线一定是测地线 . 24. 测地曲率是曲面的内蕴量 . 四、计算题1求旋轮线 x a(t sin t), y a(1 cost) 的 0 t 2 一段的弧长解 旋轮线 r (t) a(t sint),a(1 cost) 的切向量为 r (t) a a cost, asin t ，则在 0 t 2 2

17、2段的弧长为： s r (t) dt 2a 1 costdt 8a 002由题意知求曲线 x tsint,y tcost,z tet在原点的切向量、主法向量、副法向量 r (t) sint t cost ,cost tsint,et tet ， r (t) 2cost tsint, 2sint t cost ,2et tet ，在原点，有所以有 (0r (0) (0,1,1), r (0) (2,0,2) ，(r r )r (r r )r ， r r r r r ， r r2* 2 , 22),( 363, 3) .3 , 3 ) .3圆柱螺线为 r(t) a cost, a sin t ,b

18、t ，求基本向量 , , ； 求曲率 k 和挠率 .r (t)a sint , a cost, b ， r (t) acost, a sin t,0 ，又由公式rr ,(r r )r (r r )r , r r ,1bsint, bcost,a a2 b2由一般参数的曲率公式 k(t)rrr3及挠率公式 (t)(r ,r ,r )ab 有k a2 b2 ，a2 b2 .4u sin v,u cosv, b ，切平面方程为求正螺面 r(u,v) u cosv,u sin v, bv 的切平面和法线方程 ru cosv,sin v,0 ，x ucosvcosvusinvy usinvsinvuco

19、svz bv0b0，bsinv x bcosu y uz buv 0, 法线方程为 x ucosv y usinv z bvbsinv bcosv u5求球面 r( , ) acos cos ,acos sin ,asin 上任一点处的切平面与法线方程解 r asin cos , asin sin ,acos ， r acos sin ,a cos cos ,0 ，e1e2e3a sin cos a sin sina cosa cos sin a cos cos 0a 2 2 2 2 2 2I(dx,dy) (1 4a2x2)dx2 8a2xydxdy (1 4a2y2)dy2 8求正螺面 r

20、 (u,v) u cosv,u sinv, bv 的第一基本形式解 ru cosv,sin v,0 ， rvusin v,ucosv,b ，2 2 2 2 2 2Eruru1， Frurv0，Grvrvu2b2，I (du,dv)du2(u2b2)dv29计算正螺面 r (u,v) u cosv,u sin v, bv 的第一、第二基本量解 ru cosv,sin v,0 ， rvusin v,ucosv, b，ruu 0,0,0 ， ruvsinv,cosv,0 ， rvvu cosv, usinv,0 ， coscos cos , cos sin , sin球面上任意点的切平面方程为x a

21、cos cos ,y acos sin ,z asin a2 coscos cos , cos sin , sin 0,即 cos cos x cos sin y sin z a 0 ，法线方程为cos cos cos sin sin( x a cos cos , y a cos sin , z a sin )a2 cos ( cos cos , cos sin , sin ),6求圆柱螺线 x acost,y asint,z t在点(a,0,0) 处的密切平面 .解 r ( t ) a s i nt a, c ot sr ,( t ) a c o ts , a s it n , 所以曲线在原

22、点的密切平面的方程为x a y 0 z 0asin t acost 1 = 0，a cost a sin t 0即( sin t)x (cost)y az asin t 0.7求旋转抛物面 z a(x2 y2) 的第一基本形式解 参数表示为 r (x, y) x, y, a( x2 y2) ，rx 1,0,2 ax ，ry 0,1,2 ay ，2 2 2 2 2Erxrx1 4a x， Frx ry4a xy， Gryry1 4a y ，cosvksin vsin v, b cos v, u ，u sin vu cos vnru rvbsinv, bcosv,uru rvb2 u2E ru r

23、u 1 ，F ru rv 0 ，v rv u2 b2 ，L ruu n 0 ，Mruv nb2 u2N rvvn010计算抛物面z x2 y2 的高斯曲率和平均曲率解 设抛物面的参数表示为 r (x,y) x, y, x2 y2 ，则1,0,2 x ，0,1,2 y ， rxx 0,0,2 ，ryx0,0,0 ， ryy 0，0，2 ，rx ry2x2x, 2y,1 ，2yrx ryn |rx ry |2x, 2y,14x2 4y2 1E rx rx 1 4x2 ， F rx ry24xy ， G ry ry 1 4y2Lrxx n4x2 4y2 1rxy n 0 ， N ryy n4x2 4

24、y2 1LN M 2224x2 4y2 1KEG F 2 (1 4x2)(1 4y2) (4xy)2 (4x2 4y2 1)21 GL 2FM EN 4x2 4y2 2H 2 EG F 2(4x2 4y2 1)211. 计算正螺面 r(u,v)u cosv, u sin v, av 的高斯曲率 .解 直接计算知E 1， F 0 ，u2 a2 ，L 0， Mu2 a2， N 0，K LN M 2a2EG F 22 2 2 (u a )12. 求曲面 z xy2的渐近线 .解 z xy2 ，则 pz2yxyz 2xy ，y2zs x y 2y ，zt 2 2xy2所以， L=0，2y1 y4 4x

25、 2y 22x1 y4 4x2 y2渐近线微分方程为4y1 y4 4x2 y2dxdy2xy4 4x2y2 dy2 0， y 4x yd y 0或 2 y dx xd y0化简得 dy (2 ydx xdy) 0， 渐近线为 y=C1，x 2 , M n ruv 0, N 4u2 4v2 1 4u2 4v2 du 1 4u2 4v2 dv ，y=C213. 求螺旋面 r u cosv,u sin v, bv 上的曲率线 .解 ru cos v,sin v,0, rv usin v, ucosv, bE ur 1, F u r v r 0, Gv r u b ,ru rvbsin v, bcos

26、 v,u bsin v, bcos v,uru rvbsin v, bcos v,ub2 u2bruu= 0,0,0 , ruv= sin v,cos v,0 ,rvvucos v, usin v,0 ，L 0,M ,N 0u2 b2 曲率线的微分方程为 :dv210dudv0bu2 b2du2u2 b2 =00或 dv1u2 b2du积分得两族曲率线方程 :v ln(u u2 b2 ) c1和v ln( u2 b2 u) c2.14. 求马鞍面 r u,v,u2 v2 在原点处沿任意方向的法曲率 .解ru 1,0,2u, rv 0,1, 2v ，E ru2 1 4u2, F ru rv 4u

27、v, G 1 4v2 (1 4u2)du2 8uvdudv (1 4v2)dv2n2u,2v,14u2 4v 2L n ruun rvv 4u2 4v2 1221 4u 2 4v 2 du dv )k n= 2 2 2 2 n (1 4u2 )du 2 8uvdudv (1 4v 2)dv 215. 求抛物面 z a(x2 y2 )在(0,0)点的主曲率 .解 曲面方程即 r x, y,a( x2 y2),rx 1,0, 2ax, ry 0,1, 2ay, E(0,0) =1, F(0,0) =0, G(0,0) =1,rxx 0,0, 2a, rxy 0,0,0, ryy 0,0, 2a ，

28、 L(0,0) =2a, M(0,0) =0, N(0,0) =2a,2a k 0代入主曲率公式， N0 ，所以两主曲率分别为 k1 k2 2a .0 2a k N 1 216. 求曲面 r u,v,u2 v2 在点(1,1)的主方向 .解 ru = 1, 0,2u rv,= 0,1, v2, E 1 4u2, F 4uv, G 1 4v2E(1,1)=5, F (1,1)=4, G(1,1)=5;L4u2+4v2+1M 0,N4u2+4v2+1L(1,1) N(1,1) 23M (1,1) 0, 代入主方向方程，得 (du dv)(du dv) 0,即在点 (1,1)主方向 du:dv 1:

29、1; u: v 1:1.17. 求曲面 r (u,v) u,v,u2 v3 上的椭圆点，双曲点和抛物点 解 由 r u,v,u2 v3, 得 ru= 1,0 ,2u , rv= 0,1,3 v2 ,ruu= 0,0,2 ,ruv= 0,0,0 , rvv= 0,0 , 6v , L 22 4 , M 0, N26v 44u2+9v4+14u2+9v4+1LN M12v4u2+9v 4+112uvEG-F2v0时，是椭圆点； v 0时，是双曲点； v=0时，是抛物点 . 18. 求曲面r (u, v) v3,u2,u v 上的抛物点的轨迹方程 解 由r(u,v) v3,u2,u v,得ru= 0

30、,2 u,1 ,rv= 3v2 , 0,1 ,M 0,ruu= 0,2,0 , ruv= 0,0,0 , rvv= 6v,0 ,0 , L 6v 2 EG-F2令 LN M272uv =0. 得 u=0 或 v=0EG-F2所以抛物点的轨迹方程为 r= v , 0, v 或 r= 0, u , u .19.求圆柱螺线 r(t) acost, asint, bt 自然参数表示 .解 由r(t) acost, asint, bt,得 r -asint,acost, b， r (t)a2+b2,弧长 s(t)a2 +b2dt= a2 +b2t, ts ,0a2+b2曲线的自然参数表示为 r (s)

31、acos s , asin s , b s . 2 2 2 2 2 2 a +b a +b a +b20. 求挠曲线的主法线曲面的腰曲线 .解 设挠曲线为 a=a( s), 则主法线曲面为： r=a( s)+ v (s),则 a=a= , b= =-k , a b= k,b 2=k 2+ 2,所以腰曲线是 r=a ( s)-k(s)=a(s)+ k2k+ 2 (s)21求位于正螺面 x ucosv,y usinv,z av上的圆柱螺线 x u0cosv,y u0sinv,z av( u0=常数)的测地曲率u0u02 a解 因为正螺面的第一基本形式为 du2 (u2 a2)dv2，螺旋线是正螺面

32、的 v-曲线 u u0，由2 得 dds 0由正交网的坐标曲线的测地曲率得 kg 2GGuE五、证明题1. 设曲线： r r(s), 证明： k - ; (r,r,r )=k 2 . 证明 由伏雷内公式，得 =k ， =- ,两式作点积，得 =- k =- k,k =- . r= ，r= =k , r=k +k =k +k(-k + )= -k2 +k +k (r,r,r )=( ,k , -k2 +k +k )=( ,k , k )=k 2 .2. 设曲线： r r(s), 证明： (r,r ,r )=k 3(k - k).证明 由伏雷内公式，得r= =k ， r=k +k =k +k(-k

33、 + )=-k 2 +k +kr =- 3kk + (-k 3+k-k 2) +(2k +k )(r,r ,r )=(k (-k2 +k +k ) (-3kk + (-k 3+k-k 2) +(2k +k ) )=(k3 +k 2 ) (-3kk +(-k3+k-k 2) +(2k +k ) ) =-3k3k +2k3k +k 4 =k 3(k - k)3. 曲线 r r (s)是一般螺线，证明 :r1 R ds也是一般螺线(R是曲线 的曲率半径)证明 r1 Rds，两边关于 s 微商，得1 ds1 R R R R 1R ，1 ds R1 ，由于是一般螺线，所以 也是一般螺线 .4. 证明曲线

34、 r (t) a sin (t)dt, a cos (t)dt, bt (a,b 是常数)是一般螺线 证明 r (t) asin (t), acos (t), b,r (t) a (t)cos (t), a (t )sin (t), 0,r (t) a (t)cos (t), sin (t), 0 a (t)2 sin (t )，cos (t), 0r r a (t) a2 b2, (r ,r , r ) a2b (t) 3，kab5曲面 S上一条曲线 (C), P是曲线 (C)上的正常点， k ,kn ,kg分别是曲线 (C)在点 P 的曲率、法 曲率与测地曲率，证明 k2=kn2+kg2

35、证明 测地曲率 kg k k (n ) k( , ,n) k n ksin . ( 是主法向量 与法向量 n 的夹角 )法曲率 kn k n kcos ， k2=k n2+k g2.6. 证明曲线 r et cost, et sint, 0 的切向量与曲线的位置向量成定角证明 对曲线上任意一点， 曲线的位置向量为 r et cost, et sint, 0 ，该点切线的切向量为： r et (cost sin t), et (sin t cost),0 ，则有：r re2t 2cos r ret t 2 ，故夹角为 .r r2et et 2 4由所取点的任意性可知，该曲线与曲线的切向量成定角7

36、证明：若 r 和r 对一切 t线性相关，则曲线是直线证明 若r 和r 对一切t线性相关，则存在不同时为 0的 f(t), g(t)使f(t)r (t) g(t)r (t) 0，则 t, r (t) r (t) 0,又 k(t) r 3r ，故 t 有 k(t) 0 . 于是该曲线是直线r8 证明圆柱螺线 x acost,y asint,z bt 的主法线和 z轴垂直相交证明 由题意有r (t) asint,acost,b , r (t)a cost , a sin t,0 ，由 (r rr)r r (rr r )r 知 cost, sint,0 .另一方面 z轴的方向向量为 a 0,0,1 ，

37、而 a0，故 a，即主法线与 z轴垂直9证明曲线 x asin2t,y asintcost,z acost 的所有法平面皆通过坐标原点证明 由题意可得 r (t) asin2t,acos2t, asint ，则任意点的法平面为2asin2t0(x asin2t0) acos2t0(y asint0 cost0) asint0(z acost0) 0将点(0,0,0 )代入上述 方程有2左边 asin2t0(0 asin2 t0) acos2t0(0 asint0 cost0) asint0(0 acost0) 0 右边，故结论成立10证明曲线 x 1 3t+ 2t 2 , y 2 2t 5t2

38、, z 1 t2为平面曲线，并求出它所在的平面方程 证明 r 1 3t+ 2t2 , 2 2t 5t2, 1 t2 ， r 3+4t, 2 10t, 2t ，r4, 10, 2 ， r0, 0, 0 (r ,r ,r ) 0,0 ，所以曲线是平面曲线 . 它所在的平面就是密切平面r (0) 3, 2, 0 ， r (0) 4, 10, 2x1 y2 z1密切平面方程为 320 0 ，4102化简得其所在的平面方程是 2x+3y+19z 270.11. 证明如果曲线的所有切线都经过一个定点，那么它是直线 证明 设曲线方程 r r(s) ，定点的向径为 R0，则r(s) R0 (s)1 0 k 0

39、两边求微商，得 (s) (s) (s) (s)k(1 (s) (s)k 0 由于 , 线性无关， k 0 曲线是直线 .12. 证明如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，那么它是平面曲线 . 证明 取定点为坐标原点，曲线的方程为 r r(t) ， 则曲面在任一点的密切平面方程为 ( r(t),r (t),r (t) 0 因任一点的密切平面过定点，所以(o r(t),r (t),r (t) 0, 即 (r (t ),r (t )r, t( )所以 r r (t)平行于固定平面， 所以 r r (t)是平面曲线 .13. 若一条曲线的所有法平面包含非零常向量 e ，证明曲线是直线或平面曲线 . 证

40、明 根据已知条件，得 e 0 ，两边求导，得 e 0，由伏雷内公式得 k e 0 ， )k 0，则曲线是直线； ) e 0 又有可知 e 因 e 是常向量，所以 是常向量，于是 | | | | 0,所以 0 ，所以曲线为平面曲线 .14. 设在两条挠曲线 , 的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应的点的副法线互相平 行，证明它们在对应点的切线和主法线也分别平行 .证明 , ds2ds1由伏雷内公式得 1 ds2 1= 2 进而 1 2ds115. 证明挠曲线( 0 )的主法线曲面是不可展曲面 .证明 设挠曲线为 r r(s) ，则挠率0 ，其主法线曲面的方程是： r(s) t (s) 取 a

41、 r(s),b (s)，则a (s), b (s) k 所以, (a ,b,b ) ( (s), (s), k ) ( (s), (s), k )( (s), (s), ) 0 所以挠曲线的主法线曲面不是可展曲面 .16. 证明挠曲线(0 )的副法线曲面是不可展曲面 .证明 设挠曲线为 r r(s) ，则挠率0，其副法线曲面的方程是： r(s) t (s)取a r(s),b (s) ，则a (s), b (s)所以, (a,b,b) ( (s), (s), )0 ，所以挠曲线的副法线曲面不是可展曲面17. 证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线 .rs= +(v -k n= rs rv证明

42、设曲线 r r(s),则曲线的主法线曲面为 r=r(s)+v (s)=(1- vk) v ,rv= (s),( 1- vk)2 ( v )2= (1- vk)2 -v , 沿曲线( v0)n= ，所以主法向量与曲面的法向量夹角, kn kcos 0,2所以曲线是它的主法线曲面上的渐近线 .18. 证明二次锥面 r au cos , bu sin ,cu 沿每一条直母线只有一个切平面 .证明 r au cos , bu sin ,cu uacos ,bsin ,c 0 u ( )为直纹面(0, ( ), ( ) 0,所以，曲面可展，即沿每一条直母线只有一个切平面 .也可以用高斯曲率 K=0 证明

43、.19. 给出曲面上一条曲率线 ，设 上每一处的副法向量和曲面在该点处的法向量成定角， 求 证 是一平面曲线 .证明 设副法向量和曲面在该点处的法向量成定角 0 ，则 cos 0两边求微商，得 0由于曲线 是曲率线，所以 ， 进而 0 ， 由伏雷内公式得 0 0 时， 是一平面曲线 n 0，即 n，kn kcos =0 ，又因为 是曲率线，所以 dn kndr 0即n是常向量，所以 是平面曲线 .20 求证正螺面上的坐标曲线(即 u 曲线族 v 曲线族)互相垂直证明 设正螺面的参数表示是 r(u,v) u cosv,u sin v, bv ，则ru cosv,sin v,0 ， rvu sin

44、 v, u cosv, b ，ru rv cosv,sin v,0 u sin v, u cosv, b 0 ，故正螺面上的坐标曲线互相垂直21. 证明在曲面上的给定点处 , 沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数 .证明 由欧拉公式 kn k1 cos2 k2 sin2k*n k1cos2 （ 2 ）2+k2sin2 （ 2 ）22 k1sin +k2 cos所以 kn k*n k1 k2常数 .22. 如果曲面上非直线的测地线 均为平面曲线，则 必是曲率线 . 证明 因为曲线 是非直线的测地线，所以沿此曲线有 n ,从而 n ( ), 又因为曲线是平面曲线，所以 0,进一步 n.由罗德里格斯定

45、理可知曲线的切线方向为主方向，故所给曲线为曲率线23. 证明在曲面 z f (x) f(y) 上曲线族 x=常数， y =常数构成共轭网 . 证明 曲面的向量表示为 r(x,y) x,y,f (x) f(y) , x=常数, y=常数是两族坐标曲线 .rx 1,0, f , ry 0,1, g .rxx 0,0, f , rxy 0,0,0, ryy 0,0, g ,rr因为 M rxy rx ry 2 0, 所以坐标曲线构成共轭网，EG F 2即曲线族 x=常数 , y=常数构成共轭网 .24证明马鞍面 z xy 上所有点都是双曲点证明 参数表示为 r (x, y) x,y,xy ，则rx

46、1,0,y ， ry 0,1,x ， rxx 0,0,0 ， rxy 0,0,1 ， ryy 0,0,0 ，rry, x,1 ， nrx ryy, x,1 ，rx ryy, x,1 ， nrx ry |x2 y2 11L rxxn 0 ， M rxyn2 1 2 ， N ryy n 0 ，x2 y2 1LN M 2 0 0 2 1 22 20 ，x2 y2 1 x2 y2 1故马鞍面 z xy 上所有点都是双曲点25如果曲面上某点的第一与第二基本形式成比例，即 II (du,dv) 与方向无关，则称该点是曲 I(du,dv)面的脐点；如果曲面上所有点都是脐点，则称曲面是全脐的试证球面是全脐的 证明 设球面的参数表示为r (u,v) R cosvcosu , R cosv sin u, R sin v ，则ruRcosvsinu,Rcosvcosu,0 ， rvR sin vcosu, Rsin v sinu, R cosv ，ruuRcosv cosu, Rcosvsinu,0 ， ruv rvu Rsinvsinu, R sin v cosu,0 ，rvvRcosv cosu, Rcosvsinu, Rsinv ，2 2 2E ru ru