必修二立体几何较难题汇总情况

1、标准实用1.四面体ABCD四个面的重心分别为E、F、G H,则四面体EFGH勺表面积与四 面体ABCD的表面积的比值是（）A)丄B)1C)127169D)文案大全如图，连接AF AG并延长与BC CD相交于M N, 由于F、G分别是三角形的重心， 所以M N分别是BC CD的中点，且 AF: AM=AG AN=2 3，所以 FG MN=2 3，又 MN BD=1 2,所以 FG BD=1 3，即两个四面体的相似比是1 : 3， 所以两个四面体的表面积的比是1: 9;故选C.如图，平面a/平面B/平面丫，两条直线 I，m分别与平面a，3，丫相交于点A，B，C和点 D, E，F.已知 AC= 15

2、cm, DE= 5cm, AB： BC= 1 : 3，求 AB, BC, EF的长设平面 allB ,A、Ca ,B、DB 直线 AB与 CD交于 S,若 AS=18,BS=9,CD=34, 则 CS=08/3 或 68与空间四边形ABCD四个顶点距离相等的平面共有多少个 七个你可以把它想象成一个三棱锥四个顶点各对应一个有四个，两条相对棱对应一个共三组相对棱因此有三个总共有七个如图，在四棱锥 P-ABCD中，平面 PADL平面 ABCD AB/ DC PAD是等边三角形,已知 BD=2AD=8 AB=2DC=。(1) 设M是PC上的一点，证明：平面MBDL平面PAD；(2) 求四棱锥P-ABC

3、D的体积解：(1)证明：在二上_中，由于，匸_ _ ：,二所以：5 .一 ，：故J_ 丄又平面PMD丄平面，平面广止门门平面= 4D ，J 1 平面丨-二所以?5_平面匸E，又阳平面，故平面二一平面汽 。(2)过作二-交二于0,由于平面U平面上因此为四棱锥-：的高,又二是边长为4的等边三角形在底面四边形中，,匸二-：所以四边形-匸是梯形，4x8 _ 8在?：CS中，斜边亠边上的高为,此即为梯形-匕的高，2昉+4厉汽&24x2書皿故。(2008福建)(6)如图，在长方体 ABCDAiBCD中，AE=BC=2, AA=1,则BC与平面BBDD所成角的正弦值为 同理：.ADC, =45 二.CDC,

4、 =90 ,A.B.2、6C.155D.10(15)如图，二面角-1 - -的大小是60，线段AB : . B l，AB与l所成的角为30 .则AB与平面：所成的角的正弦值是19.(本小题满分12分)如图，直三棱柱 ABC- ABC中，AC=BCAA, D是棱AA的中点，DC丄BD。 2(1)证明：DC丄BC(2 )求二面角A BD C的大小。【解析】(1)在Rt DAC中，AD =AC ,得：.ADC =45 ,得：DC, _ DC。又 DC 丄 BD DC BD =D ,所以DC平面BCD。而BC二平面BCD，所以DC, _ BC。(2)解法一：(几何法)由 DC, _ BC,CC, _

5、BC 二 BC _ 面 ACC1A1= BC _ AC o取A,Bi的中点O,连接CiO , OD o因为 ACi =BiG，所以 GO _ AB , 因为面A1B1C 面A1BD，所以CQ _面A,BD，从而C1O _ BD , 又DC丄BD所以BD丄面DC1O，因为OD u平面DC1O，所以BD丄OD。 由BD _OD , BC丄DC,所以.C1 DO为二面角A BD-G的平面角。设 AA( = 2a , AC = BC = a,上,GD-Wa,在直角 C1OD , CQ _ OD , C1OC1D ,2所以.C1 DO =30 o因此二面角宀- BD -G的大小为30。(2007)2、(

6、北京市西城区2012年4月高三抽样测试)下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点， M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB/平面MNP的图形的序号是()3、(吉林省吉林市2012 届上期末)三棱锥 P ABC的高 PO=8 AC=BC=3 / ACB=30 , M N分别在BC和PO上，且CM=x PN=2CM试问下面的四个图像中哪个图像大致描绘了三棱锥N AMC的体积V与x的变化关系(X，(0,3)()ABCD答案：AABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点，在DM上取一点G, 过G和AP作平面交平面 BDMT GH求证:AP / GH.平面a过正方形ABCD

7、A1BCD的三个顶点B,D, A1, a与底面ABCD的交线为L, 则L与BD的位置关系？如图，正方形ABCD正方形ABEF所在平面相交于 AB,在AE, BD上各有一点P,Q,且 AP=DQ 求证：PQ/ 面 BCE4下列各图是正方体或正四面体, 共面的一个图是（）.P, Q, R, S分别是所在棱的中点，贝U四个点不空间二条直线，其中一条和其他两条都相交，那这二条直线中的两条能确定的 平面个数是多少1、若三条直线只有一个交点，则可以确定一个或三个平面；2、若这三条直线有两个不同的交点，则可以确定一个或三个平面。3、若这三条直线有三个不同的交点，则可确定以一个平面。答案：一个或三个线面平行的

8、判定定理证明线面平行的判定定理是：若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。线面平行的定义是：若直线与平面没有公共点，则称此直线与该平面平行。证明：设直线a II直线b, a不在平面a内，b在平面a内。用反证法证明alia。 假设直线a与平面a不平行，则由于a不在平面a内，有a与a相交，设ana =A。则点A不在直线b上，否则an b=A与a I b矛盾。 过点A在平面a内作直线c II b，由a I b得a I c。 而A a，且 A c， 即卩a n c=A，这与a II c相矛盾。于是假设错误，故原命题正确。（反证法）k条，使得其中任意两条线段所例题2从正方体

9、的棱和各个面上的对角线中选出 在直线都是异面直线，求k的最大值.解答 考察如图所示的正方体上的四条线段 AC BC, DBi, AD,它们所在直线两两都是异面直线.又若有 5条或5条以上两两异面的直线，则它们的端点相异 且个数不少于10，与正方体只有8个顶点矛盾.故K 的最大值是4.练习1在正方体的8个顶点、12条棱的中点、6个面的中心及正方体的中心共 计27个点中，问共线的三点组的个数是多少 解答 两端点都为顶点的共线三点组共有 山=28个；两端点都为面的中心共线2三点组共有 匚=3个;两端点都为各棱中点的共线三点组共有 =18个,且2 2没有别的类型的共线三点组，所以总共有 28 3 14

10、9个.例题3在单位正方体ABCDABCD的面对角线AB上存在一点P使得ARDP最短，求AF+DP的最小值.解答 将等腰直角三角形AAB沿AB折起至AAB，使三角形AAB与四边形ABCD 共面，联结AD1，则A D1的长即为AP+ D1P的最小值，所以，AD -12 12 -2 1 1 cos135 = 2 2 标准实用练习3已知单位正方体ABCDAiBiCD的对棱BB、D上有两个动点E、F, BE=DF=h1（0扎兰）.设EF与AB所成的角为a ,与BC所成的角为B ,求a +P的最小2 值.-TT-解答 当=时，不难证明：二f（）是单调减函数因此:的最小值为一.2例十七、（2000年全国联赛

11、一试）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是 .分析：由正四面体的图象的对称性可知， 内切球的球心必为正四面体的中心， 球与各棱相切，其切点必为各棱中点，考查三组对棱中点的连线交于一点， 即为内切球的球心，所以每组对棱间的距离即为内切球的直径，于是有：2r 2 aPCDAEORr2苦 23 a练习：同样可用体积法求出棱长为a的正四面体的外24接球和内切球的半径.分析可知，正四面体的内切球与外接球球心相同，将球心与正四面体的个顶点相连, 可将正四面体划分为四个全等的正三棱锥，于是可知内切球的半径即为正 高度的四分之一，外接球半径即为高度的四分之三.故只要求出正四面

12、体的高度即可.又：h二二 一a ,-a，所以，R二至 a,r 6a .3412I3例二十三、（1991年全国联赛一试）设正三棱锥 P-ABC的高为PO M为PO的中点，过AM作与棱BC平行的平面，将三棱锥截为上、下两个部分，试求此两部分 的体积比.分析：取BC的中点D,连接PD交AM于 G,设所作的平行于BC的平面交平面PBC于 EF,由 直线与平面平行的性质定理得：EF/ BC,连接AE, AF,则平面AEF为合乎要求的截面. 作 OH/ PG 交 AG于点 H,贝U: OH=PG文案大全B标准实用匹二PD=PG宜=1昱=1旦=1=5EF PG PGPG OH AO 2故:Va _PEFVa

13、 _PBC2 ；于是:VA_PEF4Va _efbc21例5 已知正三陵傩SABC的高SO =3*底面边长为6.过点A向它所对的侧面 SBC作垂线，垂足为OS在AOf上取一点P, 使需 =8求经过点F仇平行于底面的截面 的面积.（1989,全国高中联赛）解；如图5,因为SABC是正三棱钳,所以点O 足 ABC 的頂心. 连结AO 并延忙交 BC 于 D, 因为点D 是BC的 中点* BC 丄平曲SzUJ,而 AOiiC.所以 AO在平面SAD上从而，点O必在CS上.于足,= 6x= 3/3,OZ =文案大全SO=Vp + (/3)2 =12 = 2/3,而祜d皺则-AD = -|/3 ”设过点

14、P且平行于底面的載面与的 交点为O* *则告寻=容务=鲁，即OF =scr= so - cTq =V3.4 = 4 +故所求截面的面积为8、如果空间三条直线a, b, c两两成异面直线，那么与a, b, c都相交的直线有（1997,全国高中联赛）（A） 0条 （B） 1条 （C）多于1的有限条 （D）无穷多条解：在a、b、c上取三条线段 AB CC、AD，作一个平行六面体 ABCAB CD， 在c上取线段A D上一点P,过a、P作一个平面，与DD交于Q与CC交于R, 则QR/ a,于是PR不与a平行，但PR与a共面故PR与a相交由于可以取 无穷多个点P故选D.3. 设四棱锥P-ABCD的底面不

15、是平行四边形,用平面去截此四棱锥,使得 截面四边形是平行四边形，则这样的平面（）（A）不存在（B）只有1个（C） 恰有4个（D）有无数多个例一、（1991年全国联赛一试）由一个正方体的三个顶点所能构成的正三角形的个数为(A) 4;(B) 8;(C) 12;(D) 24.分析：一个正方体一共有8个顶点，根据正方体的结构特征可知，构成正三角形 的边必须是正方体的面对角线考虑正方体的12条面对角线，从中任取一条可与其他面对角线构成两个等边三角形，即每一条边要在构成的等边三角形中出现 两次，故所有边共出现2Ci； =24次，而每一个三角形由三边构成，故一共可构成 的等边三角形个数为24 =8个.3例1

16、在桌面上放着四个两两相切、半 径均为r的球，试确定其顶端离桌面的高度；并求夹在这四个球所组成图形空隙中与四个球均相切的小球的半径.分析如图 h可将四个球的球 心提炼出一个正四 面休，其棱长恰为 两球半径之和，即 为2r因此只要求出这个正四面体的高，再加上上、下两个半 径，即得所求的高度而所求的小球半径应是 正四面体的外接球半径与厂的差.解如图2, 设四个球的球心分 别为 0：, Or * 0$, O百，则0-0” 0沙6 04构成棱长为2r 为正四面体设E, G分别为 0,0.0.与0QQ的中心，0掐与0】G相交于F, OG与0】E相交于J仁则H也是此正四面体的中心*由勾股定理可得:0】E =

17、丿0严一 ；产=2r,故顶端离桌面的高度为（迸 + 2加由 GF = yO,F = jOF , A sin ZGO.F 1_ 3，从而 0山E ,0心=0启+HG = 4HE、而 02 = 0/ = ；he=孚“3b从而夹在这四个球所组成图形空隙中与四个球均相切的小球的半径为（讨一1）匚 说明（】）本例能够解决的关键是将四 个球的球心提炼岀了一个正四面体，从而我 们可以将有关计算转移到该正四面体内进 行*（2）正四面体的外接球半径是内切球半 径的M倍，它们分别是高的四分之三与四分 之一*（2012重庆）9.设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，-、2和a，且长为a的棱与长为 J的棱异面，贝

18、U a的取值范围是（A ）a.（0, J2）b. （o,、3） C. （1八2） d. （1八3）（2010 全国）（6）直三棱柱 ABC-AjBjG 中，若 BAC=90 , AB = AC = AA , 则异面直线BA与AG所成的角等于（C ）（A）30 （B）45 （C）60 （D）90 6.C【命题意图】本小题主要考查直三棱柱ABC - AB.G的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法.【解析】延长CA到D,使得AD二AC，贝U ADACi为平行四边形，.DAB就是异面直线BA与ACi所成的角，又三角形AiDB为等边三角形，.DAi B= 600过正方体ABCDABiCD的顶点A作直线a,使a与棱AE, A