循环卷积与圆周卷积

1、循环卷积与圆周性卷积的实现、实验目的1)进一步理解并掌握循环卷积与线性卷积和圆周卷积和的概念2)理解掌握三者的关系。、 实验原理两个序列的 N 点循环卷积定义为(0 n N)9-16)N1h(n) x(n) N h(m)x(n m)Nk0从定义中可以看到， 循环卷积和线性卷积的不同之处在于： 两个 N点循环卷 积的结果仍为 N 点序列，而它们的线性卷积的结果的长度则为 2N-1；循环卷积 对序列的移位采取循环移位，而线性卷积对序列采取线性移位。正是这些不同， 导致了线性卷积和循环卷积有不同的结果和性质。循环卷积和线性卷积虽然是不同的概念， 但它们之间由一个有意义的公式联 系在一起N1y(n)

2、h(n) x(n) N ( y(n rN )GN(n)(9-17 )k0其中 y(n) h(n)* x(n)也就是说，两个序列 N点循环卷积是它们的线性卷积以 N为周期的周期延拓， 设序列 h(n)的长度为 N1 ，序列 x(n)的长度为 N 2 ，此时，线性卷积结果的 序列的点数为 N N1 N2 1，因此如果循环卷积的点数 N 小于 N1 N2 1 ，那 么上述周期延拓的结果就会产生混叠，从而两种卷积会有不同的结果。而如果 N 满足 N N的条件，就会有1 / 10y(n) y(n) (0 n N)(9-18)这就意味着在时域不会产生混叠。 因此， 我们得出结论： 若通过在序列的末 尾充填

3、适当的零值，使得 x（ n）和 h（n）成为 N1 N2 1点序列，并作出这两个 序列的 N1 N 1循环卷积，那么循环卷积与线性卷积的结果在 0 n N 范围内 相同。根据 DFT循环卷积性质中的卷积定理DFT h（n） x（n）N DFT x（n） DFTh（n）（9-19） 便可通过两种方法求两个序列的循环卷积： 一是直接根据定义计算， 二是根 据性质线分别求两个序列的 N点 DFT，并相乘，然后取 IDFT以得到循环卷积。 第二种方法看起来要经过若干过程，但由于序列的 DFT和 IDFT 都有快速算法， 因此它的效率比第一种方法高得多。同样，根据线性卷积和循环卷积的关系， 可以通过计算

4、循环卷积以求得线性 卷积，提高计算序列线性卷积的效率。三、例题及理论计算已知有限长序列 x（ n）与 h（n）如图试画出：（ 1） x （n）与 h（ n）的线卷积（2） x （n）与 h（n）的 7 点圆卷积（3） x （n）与 h（n）的 5 点圆卷积五点卷积图2 / 10四、 matlab 仿真用 matlab 仿真，方法一：function y=circonv1(x1,x2,N)%realize circular convolution use dft methodif length(x1)N3 / 10error(N must not be less than length of x

5、1) endif length(x2)Nerror(N must not be less than length of x2) endX1k=x1,zeros(1,N-length(x1);X2k=x2,zeros(1,N-length(x2);n=0:1:N-1x2=x2(mod(-n,N)+1);H=zeros(N,N);for n=1:1:N;H(n,:)=cirshifted(x2,n-1,N);endy1=x1*H;function y=cirshifted(x,m,N)if length(x)Nerror(N 必须大于等于 x 的长度 ) endx=x,zeros(1,N-leng

6、th(x);n=0:1:N-1;n=mod(n-m,N);y=x(n+1);方法二：function y=circonv2(x1,x2,N)4 / 10%realize circular convolution use dft methodif length(x1)Nerror(N must not be less than length of x1)endif length(x2)Nerror(N must not be less than length of x2)endX1k=fft(x1,N);X2k=fft(x2,N);Yk=X1k.*X2k;Y=ifft(Yk);If(all(im

7、ag(x1)=0)&(all(imag(x2)=0)Y=real(y);end运行程序：n=0:1:4;m=0:1:4;N1=length(n);N2=length(m);xn=ones(1,N1);hn=m;y1n=conv(xn,hn);y2n=circonv1(xn,hn,N1+N2-1);y3n=circonv2(xn,hn,N1);ny1=0:1:length(y1n)-1;ny2=0:1:length(y3n)-1;5 / 10 subplot(3,1,1); stem(ny1,y1n); subplot(3,1,2); stem(ny1,y2n); subplot(3,1,3);

8、 stem(ny2,y3n); axis0,25,0,6;仿真图像为：圆周卷积题： 计算两序列 X1(n)=1,2,3,4,5,X2(n)=1,2,3,4,5,4,3,2,16 / 10的圆周卷积。function y=circonv2(x1,x2,N)%realize circularconvolutioniflength(x1)Nerror(Nmustnot beendiflength(x2)Nerror(Nmustnot beuse dft methodless than length of x1)less than length of x2)endX1k=fft(x1,N);Yk=X1

9、k.*X2k;Y=ifft(Yk);if(all(imag(x1)=0)&(all(imag(x2)=0) y=real(Y);endX2k=fft(x2,N);Yk=X1k.*X2k;Y=ifft(Yk); if(all(imag(x1)=0)&(all(imag(x2)=0) y=real(Y);end%n de hangxiangliang%k de hangxiangliangfunctionXk=dft(xn,N) %计算离散付利叶变换 %Xk=dft(xn,N) %Xk=在 0=k=N-1 间的 DFT系数数组 %xn=N 点有限长度序列 %N=DFT 的长度 n=0:1:N-1;

10、k=0:1:N-1;WN=exp(-j*2*pi/N); nk=n*k;WNnk=WN.nk;Xk=xn*WNnk; end function xn=idft(Xk,N)%计算离散傅里叶变换 n=0:1:N-1;k=0:1:N-1;7 / 10WN=exp(-j*2*pi/N);nk=n*k;WNnk=WN.(-nk);xn=(Xk*WNnk)/N;endclear allclose allclcx1=1,2,3,4,5;x2=1,2,3,4,5,4,3,2,1;N=length(x1)+length(x2);n=0:N-1;n1=0:N-2;n2=0:N-3;y1=circonvt(x1,x

11、2,N);y2=circonvt(x1,x2,N-1);y3=circonvt(x1,x2,N-2);x1=x1 zeros(1,N-length(x1);x2=x2 zeros(1,N-length(x2);Xf1=dft(x1,N);Xf2=dft(x2,N);Xf=Xf1.*Xf2;x=idft(Xf,N)x=real(x);8 / 10subplot(231)stem(n,x1);title(x1(n)subplot(232);stem(n,x2);title(x2(n)subplot(233);stem(n,x);title(x(n)=IDFT(X(k)subplot(234)stem(n,y1);title(N 点圆周卷积 )su