弹性力学模拟练习题

1、)、判断题1、连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任2、如果某一问题中，zx zy 0 ，只存在平面应力分量 xy，xy ，且它们不沿 z 方向变化，仅为x，y 的函数，此问题是平面应力问题)3、如果某一问题中，zx zy 0，只存在平面应变分量 x ，xy ，且它们不沿 z 方向变化，仅为 x， y 的函数，此问题是平面应变问题。)4、当物体的形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。5、当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。)6、在有限单元法中，结点力是指结点对单元的作用力。7、在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。)10、体力作用于

2、物体部的各个质点上，所以它属于力。解答：外力。它是质量力。)11、在弹性力学和材料力学里关于应力的正负规定是一样的。)解答：两者正应力的规定相同，剪应力的正负号规定不同。12、当问题可当作平面应力问题来处理时，总有xz yz)解答：平面应力问题，总有z xzyz 013、当物体可当作平面应变问题来处理时，总有xz yz)解答：平面应变问题，总有xzyz 014、已知位移分量函数 uk1 x 2k2xy ， k1, k2 为常数，由它们所求得形变分量不一定能满足相容方程。)解答：由连续可导的位移分量按几何方程求得的形变分量也一定能满足相容方程。因为几何方程和相容方程是等价的。15、形变状态 x

3、k x2y 2 , y ky 2, xy 2kxy, k 0 是不可能存在的。)解答：所给形变分量能满足相容方程，所以该形变分量是可能存在的16、在 y 为常数的直线上，如 u 0 ，则沿该线必有 x 0)何空隙。2 2 217、应变状态 x k（x y ）, y ky , xy 2kxy, （k 0） 是不可能存在的。 （） 改：所给应变分量满足相容方程，所以该应变状态是可能存在的。18、图示工字形截面梁，在平衡力偶系的作用下，只在右端局部区域产生应力。 （）改：对于一些薄壁杆件和薄壳等物体在应用圣维南原理时， 必须满足下述必要条 件，即力系作用区域的尺寸与该区域物体的最小尺寸相当。 在本例

4、中， 力系作用 区域的尺寸 （是工字形截面高和宽） 远远大于该区域物体的最小尺寸 （腹板和翼 缘的厚度）。19、物体变形连续的充分和必要条件是几何方程（或应变相容方程） 。 （） 改：（一）：物体（当是单连体时） ； 改：（二）：对于多连体，还有位移单值条件。20、对于应力边界问题， 满足平衡微分方程和应力边界的应力， 必为正确的应力 分布。 （） 改：应力还要满足相容方程，对于多连体，还要看它是否满足位移单值条件。21、在体力是常数的情况下， 应力解答将与弹性常数无关。（）改：如果弹性体是多连体或有位移边界， 需要通过虎克定理由应力求出应变， 再 对几何方程积分求出位移， 将其代入位移边界和

5、位移单值条件， 并由此确定待定常数时，将与弹性常数有关。22、xy改：23、,且 在体力不是常量情况下， 引入了应力函数2x y 平衡微分方程可以自动满足。在常体力情况下，,且Xx,在常体力下，引入了应力函数22 Xx, y22 Yy,xxy22 Yy x，）xy，）平衡微分方程可以自动满足。24、某一应力函数所能解决的问题与坐标系的选择无关。改：三次及三次以上的应力函数所能解答的问题与坐标系的选取有关。25、三次或三次以下的多项式总能满足相容方程。）答：相容方程中的每一项都是四阶导数。26、对于纯弯曲的细长的梁，由材料力学得到的挠曲线是它的精确解。 （）解：对于纯弯曲的细长的梁，材力和弹力得

6、到的挠曲线方程是一样的。27、对承受端荷载的悬臂梁来说， 弹性力学和材料力学得到的应力解答是相同的。（） 解答：端部切向面力必须按抛物线规律分布于端部，否则得到的是圣维南近似解。二、填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的 应力、形变和位移。2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号 规定相适应。3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正 负号规定相适应。4、物体受外力以后，其部将发生力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料 强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就 是正应力和

7、切应力。应力及其分量的量纲是 L-1MT-2。5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。7、已知一点处的应力分量 x 100 MPa， y 50 MPa， xy 10 50 MPa，则主应力 1 150MPa， 2 0MPa， 1 35 16 。8、已知一点处的应力分量，x 200 MPa， y 0MPa， xy 400 MPa，则主应力 1 512 MPa， 2 -312 MPa， 1 -37 57。9、已知一点处的应力分量， x 2000 MPa， y 1000 MPa， xy 400 MPa，则 主应力 1 1052 MPa，

8、 2 -2052 MPa， 1 -82 32。10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别 建立三套方程。11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。12、边界条件表示边界上位移与约束， 或应力与面力之间的关系式。 分为位移边 界条件、应力边界条件和混合边界条件。13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构， 然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的， 另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。16

9、、每个单元的应变一般总是包含着两部分： 一部分是与该单元中各点的位置坐 标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关 的，是各点相同的，即所谓常量应变。17、为了能从有限单元法得出正确的解答， 位移模式必须能反映单元的刚体位移 和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。18、为了使得单元部的位移保持连续， 必须把位移模式取为坐标的单值连续函数， 为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同 的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。19、在有限单元法中，单元的形函数 Ni在 i结点 Ni=1；在其他结点 Ni=0及 Ni=1。20、为了提

10、高有限单元法分析的精度， 一般可以采用两种方法： 一是将单元的尺 寸减小，以便较好地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位 移模式，使位移和应力的精度提高。、简答题1试写出弹性力学平面问题的基本方程，它们揭示的是那些物理量之间的相互关系？ 在应用这些方程时，应注意些什么问题？ 答：平面问题中的平衡微分方程：揭示的是应力分量与体力分量间的相互关系。应注意 两个微分方程中包含着三个未知函数x、 y、 xy= yx ，因此，决定应力分量的问题是超静定的，还必须考虑形变和位移，才能解决问题。平面问题的几何方程 : 揭示的是形变分量与位移分量间的相互关系。 应注意当物体的位 移分量完全确定时，

11、形变量即完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不 能完全确定。平面问题中的物理方程：揭示的是形变分量与应力分量间的相互关系。应注意平面应力 问题和平面应变问题物理方程的转换关系。2按照边界条件的不同，弹性力学问题分为那几类边界问题？试作简要说明。答：按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和 混合边界问题。位移边界问题是指物体在全部边界上的位移分量是已知的，也就是位移的边界值是边 界上坐标的已知函数。应力边界问题中，物体在全部边界上所受的面力是已知的，即面力分量在边界上所有 各点都是坐标的已知函数。混合边界问题中，物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条

12、件; 另一部分边界则具有应力边界条件。3弹性体任意一点的应力状态由几个应力分量决定？试将它们写出。如何确定它们的正负 号？答：弹性体任意一点的应力状态由 6 个应力分量决定， 它们是：y、z 、xy、yz、zx。正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。负面上的应力以沿坐 标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。4在推导弹性力学基本方程时，采用了那些基本假定？什么是“理想弹性体”？试举例 说明。答：答：在推导弹性力学基本方程时，采用了以下基本假定：（ 1）假定物体是连续的。（ 2）假定物体是完全弹性的。（ 3）假定物体是均匀的。（ 4）假定物体是各向同性的。（ 5）假定位移和变形是微小

13、的。符合（ 1）（ 4）条假定的物体称为“理想弹性体” 。一般混凝土构件、一般土质地基可近 似视为“理想弹性体” 。5 什么叫平面应力问题？什么叫平面应变问题？各举一个工程中的实例。答：平面应力问题是指很薄的等厚度薄板只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的 面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。如工程中的深梁以及平板坝的平板 支墩就属于此类。平面应变问题是指很长的柱型体，它的横截面在柱面上受有平行于横截面而且不沿长 度变化的面力，同时体力也平行于横截面而且也不沿长度变化，即在因素和外来作 用都不沿长度而变化。6在弹性力学里分析问题，要从几方面考虑？各方面反映的是那些变量间的关系？答：

14、在弹性力学利分析问题， 要从 3方面来考虑： 静力学方面、几何学方面、 物理学方面。 平面问题的静力学方面主要考虑的是应力分量和体力分量之间的关系也就是平面问 题的平衡微分方程。 平面问题的几何学方面主要考虑的是形变分量与位移分量之间的 关系， 也就是平面问题中的几何方程。 平面问题的物理学方面主要反映的是形变分量 与应力分量之间的关系，也就是平面问题中的物理方程。7按照边界条件的不同，弹性力学平面问题分为那几类？试作简要说明答：按照边界条件的不同，弹性力学平面问题可分为两类： （1）平面应力问题 ： 很薄的等厚度板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的 面力。 这一类问题可以简化为平面

15、应力问题。 例如深梁在横向力作用下的受力分析问题。 在 该种问题中只存在 x 、 y、 xy yx 三个应力分量。（2）平面应变问题 ： 很长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面 力，而且体力也平行于横截面且不沿长度变化。 这一类问题可以简化为平面应变问题。 例如 挡土墙和重力坝的受力分析。该种问题xzzx0; yzzy0而一般 z并不等于零8什么是圣维南原理？其在弹性力学的问题求解中有什么实际意义？圣维南原理可表述为： 如果把物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力 （主矢量相同， 对 于同一点的主矩也相同） ，那麽近处的应力分布将有显著的改变，但远处所受的

16、影响可以不 计弹性力学的问题求解中可利用圣维南原理将面力分布不明确的情况转化为静力等效但分 布表达明确的情况而将问题解决。还可解决边界条件不完全满足的问题的求解。9 什么是平面应力问题？其受力特点如何，试举例予以说明。答：平面应力问题 是指很薄的等厚度板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变 化的面力，这一类问题可以简化为平面应力问题。 例如深梁在横向力作用下的受力分析问题。 在该种问题中只存在 x、 y、 xy yx 三个应力分量。10什么是“差分法”？试写出基本差分公式。答；所谓差分法，是把基本方程和边界条件（一般为微分方程）近似地改用差分方程（代数方程）下：来表示， 把求解微分方程的问

17、题改换成为求解代数方程的问题。基本差分公式如ff1 f 3x02h2ff1 f3 2f02x0h2ff2 f 4y02h2ff2 f 4 2f 02y2 0h211、 弹性力学中引用了哪五个基本假定 ？ 五个基本假定在建立弹性力学基本 方程时有什么用途 ？答 ： 弹性力学中主要引用的五个基本假定及各假定用途为 ：（ 答出标注的容 即可给满分 ）1 ） 连续性假定 ： 引用这一假定后 ， 物体中的应力 、 应变和位移等物理 量就可看成是连续的 ， 因此 ，建立弹性力学的基本方程时就可以 用坐标的连续函数来表示 他们的变化规律2 ） 完全弹性假定 ： 这一假定包含应力与应变成正比的含义 ， 亦即二

18、者呈 线性关系 ， 复合胡克定律 ，从而 使物理方程成为线性的方程 。3 ） 均匀性假定 ： 在该假定下 ， 所研究的物体部各点的物理性质显然都是 相同的 。 因此 ， 反应这些物理性质的 弹性常数 （ 如弹性模量 E 和泊松比 等 ） 就不随位置坐标 而变化 。4 ）各向同性假定 ： 各向同性是指物体的物理性质在各个方向上都是相同的 也就是说 ， 物体的 弹性 常数也不随方向变化 。5 ） 小变形假定 ： 研究物体受力后的平衡问题时 ， 不用考虑物体尺寸的改 变 ， 而仍然按照原来的尺寸和形状进行计算 。 同时 ， 在研究物体的变形和位移时 ， 可以将它们的二次 幂或乘积略去不计 ， 使 得

19、弹性力学的微分方程都简化为线性微分方程四、分析计算题1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面 问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。（1） x Ax By， y Cx Dy， xy Ex Fy ；（2） x A（x2 y2） ， y B（x2 y2）， xy Cxy；其中， A，B，C，D，E，F为常数解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件： （ 1）在区域的平衡微分方程yxy0；（2）在区域的相容方程0；（3）在边界上的xyxl x m yx f x s应力边界条件 x yx s x；（ 4）对于多连体的位移单值条件。m y l xy s f y s（1）

20、此组应力分量满足相容方程。 为了满足平衡微分方程， 必须 A=-F，D=-E。 此外还应满足应力边界条件。（2）为了满足相容方程， 其系数必须满足 A+B=0；为了满足平衡微分方程， 其系数必须满足 A=B=-C/2 。上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。2、已知应力分量 x Qxy2 C1x3， y 32C2xy2 ， xy C2 y3 C3x 2 y ，体力不计， Q 为常数。试利用平衡微分方程求系数 C1，C2，C3。解：将所给应力分量代入平衡微分方程yxyxy3C12C 3 x2 Q3C2 y2 03C22C3 xy 0由 x， y 的任意性，得3C1 C30Q 3C203C

21、2 2C30由此解得， C1 Q ， C2Q，CQ31 6 23322 2 2 2 Qy 3C1x 3C2 y C3 x 0 3C2 xy 2C3xy 03、已知应力分量xyq，q，xy 0 ，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。解：将已知应力分量q，q ， xy 0 ，代入平衡微分方程yxx X 0 xyxyy Y 0 yx可知，已知应力分量q，y q ， xy0一般不满足平衡微分方程，只有体2xy) 2(1 ) x y将已知应力分量x q， y q ， xy0代入上式，可知满足相容方程。按应力求解平面应变问题的相容方程：222 ( x y) 2 ( yy 1 x 1x)2xy将已

22、知应力分量x q， y q ， xy0 代入上式，可知满足相容方程。力忽略不计时才满足按应力求解平面应力问题的相容方程：222 ( x y) 2 ( y y 2x24、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分 量是否可能存在。（1）x Axy ，32y By3 ， xy C Dy 2 ；（2）x Ay2 ，y Bx2y ， xy Cxy ；（3）x 0 ， y0， xy Cxy ；其中，A，B，C，D 为常数。解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即2y2x2xyxy将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知： （1）相容。B=0，2A=C。（2）2A 2By

23、 C （1 分）；这组应力分量若存在，则须满足：3）0=C；这组应力分量若存在，则须满足： C=0，则 x 0， y 0 ， xy 01 分）5、证明应力函数 by2 能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系 中能解决什么问题（体力不计， b 0 ）。Oh/2xh/2l/2l/2y解：将应力函数 by2 代入相容方程4 4 424 2 2x x y可知，所给应力函数 by2 能满足相容方程。由于不计体力，对应的应力分量为2xy当板发生上述应力时， 根据边界条件， 上下左x 2 2b ， y对于图示的矩形板和坐标系， 右四个边上的面力分别为：上边，h，l 0， m 1， fx (2xy

24、)0， fyy )hy20；下边，hh2，l 0，m 1， fx (xy )0，y)0；左边，l2l ，l 1，m 0， fxx)2b，( xy )xx右边，l2l ，l 1，m 0， fx (x)xxl 2b ，2y(xy) x l 0 。2可见，上下两边没有面力， 而左右两边分别受有向左和向右的均布面力 2b。 因此，应力函数 by2 能解决矩形板在 x方向受均布拉力（ b0）和均布压力（b0） 的问题。6、证明应力函数 axy 能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计， a 0 ）解：将应力函数 axy 代入相容方程440 y4424 2 2x x y可

25、知，所给应力函数 axy 能满足相容方程。由于不计体力，对应的应力分量为2x 2 0 ， y2对于图示的矩形板和坐标系，右四个边上的面力分别为：xyxy当板发生上述应力时，根据边界条件， 上下左上边，hh2 ， l 0， m 1， fx (xy ) h a ， y2( y) y 2h 0；下边，h，l 0， m 1， fx ( xy )2hy2y)y h2 0 ；左边，l ， l 1， m 0， f0， f yxy ) x l a ；x2右边，l，2，l 1，m 0 ， fx ( x) lx20 ， fy (xy )x l2a。可见，在左右两边分别受有向下和向上的均布面力a，而在上下两边分别受

26、axy 能解决矩形板受均布剪力的有向右和向左的均布面力 a。因此，应力函数 问题。7、如图所示的矩形截面的长坚柱，密度为，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分量。解：根据结构的特点和受力情况， 可以假定纵向纤维互不挤压，即设 x 0 。由此可知将上式对 y 积分两次，可得如下应力函数表达式x,y f1(x)y f2 (x)将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得44d4 f1(x) d4 f2(x)dxdx这是 y的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解 (全柱的 y 值都应该满足它)， 可见它的系数和自由项都应该等于零，即4d4 f1(x)dx40，4d4 f 2(x)dx4这两个方程要求对

27、应应力分量为3 2 3 2 y( Ax3 Bx2 Cx) Dx 3 Ex22x 2 0y32f 1 ( x) Ax 3 Bx 2 Cx I ，32f2(x) Dx 3 Ex2 Jx K代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后，便得22 y( 6Ax 2B ) 6Dx 2E gy x22xy 3Ax 2 2Bx Cxy以上常数可以根据边界条件确定。左边， x 0，l 1，m 0，沿 y 方向无面力，所以有( xy ) x 0 C 0右边， x b，l 1， m 0，沿 y方向的面力为 q，所以有2( xy ) x b 3Ab2 2Bb q上边， y 0， l 0， m 1，没

28、有水平面力，这就要求 xy在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即b0( xy) y 0dx 0将 xy 的表达式代入，并考虑到 C=0，则有b( 3Ax2 2Bx)dx Ax3 Bx2 0b Ab3 Bb2 0b而 0 ( xy )y 0 0dx 0自然满足。又由于在这部分边界上没有垂直面力， 这就要求 y 在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即bb0( y)y 0dx 0，0( y)y 0 xdx 0将 y 的表达式代入，则有(6Dx 2E)dx 3Dx2 2Ex 0b 3Db2 2Eb 0(6Dx 2E)xdx 2Dx3 Ex2 b0 2Db3 Eb2 0 由此可得A q2 ，B

29、q ，C 0，D 0， E 0b2b应力分量为x 0, y 2qy 1 3x gy, xy qx 3x 2b b b b虽然上述结果并不严格满足上端面处( y=0)的边界条件，但按照圣维南原理， 在稍远离 y=0 处这一结果应是适用的。8、证明：如果体力分量虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以表示为 fx V ， f y V ，其中 V 是势函数，则应力分量亦可用应力函数表示 xy2为， x 2 V ，y2y 2 V ， xy x2证明：在体力为有势力的情况下，按应力求解应力边界问题时， 应力分量xy，试导出相应的相容方程。 xyxy应当满足平衡微分方程xyxV0xyx(1 分)yxy

30、V0yxy还应满足相容方程222 2 x y xy1fxxfy y（对于平面应力问题）222 2 x y1fxfy（对于平面应变问题）xy1xy并在边界上满足应力边界条件（1 分）。对于多连体，有时还必须考虑位移单值条件。首先考察平衡微分方程。将其改写为xVyx0xyyVxy0yx这是一个齐次微分方程组。为了求得通解，将其中第一个方程改写为xVyxxyy），使得根据微分方程理论，一定存在某一函数A（x，AAxVyxyx同样，将第二个方程改写为yVyx (1 分）yx可见也一定存在某一函数 B（x，y），使得B，ByVyxxy由此得ABxy因而又一定存在某一函数 x,y，使得AByx代入以上各式，得应力分量222x 2 V ，y2V， xyyxxy为了使上述应力分量能同量满足相容方程， 应力函数 x,y 必须满足一定的方程，将上述应力分量代入平面应力问题的相容方程，得222222222V 2 V 12 2 Vxy2y2x2x2 y222222