弹性力学简明复习题提示和参考答案

1、题提示和答案弹性力学简明教程习题提示和参考答案第二章 习题的提示与答案2 1 是2 2 是23 按习题 21分析。24 按习题 22分析。25 在的条件中，将出现 2、 3阶微量。当略去 3阶微量后，得出 的切应力互等定理完全相同。26 同上题。在平面问题中，考虑到 3阶微量的精度时，所得出 的平衡微分方程都相同。其区别只是在 3阶微量（即更高阶微量）上， 可以略去不计。2 7 应用的基本假定是：平衡微分方程和几何方程连续性和小 变形，物理方程理想弹性体。2 8 在大边界上，应分别列出两个精确的边界条件； 在小边界（即 次要边界）上，按照圣维南原理可列出 3个积分的近似边界条件来代替。29 在

2、小边界 OA边上，对于图 215（ a）、（b）问题的三个积分边界条件相同，因此，这两个问题为静力等效。210参见本章小结。211参见本章小结。212参见本章小结。213注意按应力求解时，在单连体中应力分量必须满足1）平衡微分方程，2）相容方程，3）应力边界条件（假设 ）214见教科书。215见教科书。216见教科书。217取它们均满足平衡微分方程，相容方程及 x=0和的应力边界条件，因此， 它们是该问题的正确解答。2 18 见教科书。2 19 提示：求出任一点的位移分量和，及转动量，再令 , 便可得 出。第三章 习题的提示与答案31 本题属于逆解法，已经给出了应力函数，可按逆解法步骤求 解：

3、1）校核相容条件是否满足，（2）求应力，（3）推求出每一边上的面力从而得出这个应力函数所能解决的问 题。32 用逆解法求解。由于本题中 l h, x=0,l 属于次要边界 （小边界），可将小边界上的面力化为主矢量和主矩表示。33 见3-1 例题。3 4 本题也属于逆解法的问题。首先校核是否满足相容方程。再 由求出应力后，并求对应的面力。本题的应力解答如习题 3-10 所示。应 力对应的面力是： 主要边界：所以在 边界上无剪切面力作用。下边界无法向面力； 上边界有向下的 法向面力 q。次要边界：x=0面上无剪切面力作用； 但其主矢量和主矩在 x=0 面上均为零。 因此，本题可解决如习题 3-10

4、 所示的问题。35 按半逆解法步骤求解。（1）可假设（2）可推出（3）代入相容方程可解出 f 、，得到（ 4）由 求应力。5）主要边界 x=0,b 上的条件为 次要边界 y=0上，可应用圣维南原理，三个积分边界条件为 读者也可以按或的假设进行计算。36 本题已给出了应力函数，应首先校核相容方程是否满足，然 后再求应力，并考察边界条件。在各有两个应精确满足的边界条件，即 而在次要边界 y=0 上，已满足，而的条件不可能精确满足(否则只有A=B=0，使本题无解)，可用积分条件代替：37 见例题 2。38 同样，在的边界上， 应考虑应用一般的应力边界条件 (2-15)3 9 本题也应先考虑对称性条件

5、进行简化。310 应力函数中的多项式超过四次幂时，为满足相容方程，系 数之间必须满足一定的条件。311 见例题 3。3 12 见圣维南原理。313 m 个主要边界上，每边有两个精确的应力边界条件，如式(2-15) 所示。 n 个次要边界上，每边可以用三个积分的条件代替。3 14 见教科书。3 15 严格地说，不成立。第四章 习题的提示和答案41 参见4-1 ，4-2 。42 参见图 4-3。43 采用按位移求解的方法，可设代入几何方程得形变分量，然 后再代入物理方程得出用位移表示的应力分量。 将此应力公式代入平衡 微分方程，其中第二式自然满足，而由第一式得出求的基本方程。4 4 按应力求解的方

6、法，是取应力为基本未知函数。在轴对称情 况下，只有为基本未知函数，且它们仅为的函数。求解应力的基本方 程是： (1) 平衡微分方程 (其中第二式自然满足 )，(2) 相容方程。相容方 程可以这样导出：从几何方程中消去位移，得 再将形变通过物理方程用应力表示，得到用应力表示的相容方程。45 参见4-3 。46 参见4-3 。47 参见4-7 。4 8 见例题 1。4 9 见例题 2。4 10 见答案。4 11 由应力求出位移，再考虑边界上的约束条件。4 12 见提示。4 13 外半径的改变分别为两者之差为圆筒厚度的改变。4 14 为位移边界条件。415 求出两个主应力后，再应用单向应力场下圆孔的

7、解答。4 16 求出小圆孔附近的主应力场后，再应用单向应力场下圆孔 的解答。4 17 求出小圆孔附近的主应力场后，再应用单向应力场下圆孔的解答418 见例题 3。4 19 见例题 4。第五章 习题提示和答案5 1 参见书中由低阶导数推出高阶导数的方法。52 参见书中的方程。53 注意对称性的利用，取基点 A 如图。答案见书中。54 注意对称性的利用 , 并相应选取基点 A。答案见书中。5 5 注意对称性的利用，本题有一个对称轴。5 6 注意对称性的利用，本题有二个对称轴。5 7 按位移求微分方程的解法中，位移应满足： (1) 上的位移边 界条件， (2) 上的应力边界条件， (3) 区域 A

8、中的平衡微分方程。用瑞 利- 里茨变分法求解时，设定的位移试函数应预先满足 (1) 上的位移边界 条件，而 (2) 和(3) 的静力条件由瑞利 - 里茨变分法来代替。58 在拉伸和弯曲情况下，引用的表达式，再代入书中的公式。 在扭转和弯曲情况下，引用的表达式，再代入书中的公式。59 对于书中图 5-15 的问题，可假设 对于书中图 5-16 的问题中， y 轴是其对称轴， x 轴是其反对称轴，在设 定 u、v 试函数时，为满足全部约束边界条件，应包含公共因子。此外， 其余的乘积项中，应考虑： u 应为 x 和 y 的奇函数， v 应为 x 和 y 的偶 函数。5 10 答案见书中。并设时, 用

9、瑞利 -里茨法得出求解的方5 11 在 u, v 中各取一项 程是代入后, 上两式方程是解出位移分量的解答为应力分量为第六章 习题的提示和答案61 提示：分别代入的公式进行运算62 （ 3）中的位移，一为刚体平移，另一为刚体转动，均不会产生应力。其余见书中答案6 3 求 i 结点的连杆反力时，可应用公式为对围绕 i 结点的单元求和。64 求支座反力的方法同上题。65 单元的劲度矩阵 k，可采用书中 P.124 式（ g）的结果，并应 用公式求 出整体劲度矩阵的子矩阵。66 求劲度矩阵元素同上题。应力转换矩阵可采用书中 P.127的67 求劲度矩阵元素可参见 P.124 式（g）的结果，再求出整

10、体劲 度矩阵元素 答案见书中。6 8 当单元的形状和局部编号与书中图 6 10相同时，可采用 P.124式（ g）的单元劲度矩阵。答案：中心线上的上结点位移下结点位移6 9 能满足收敛性条件，即位移模式不仅反映了单元的刚度位移 和常量应变，还在单元的边界上，保持了相邻单元的位移连续性。 第七章 习题的提示和答案7 1 答案：7 2 提示：原（ x, y, z）的点移动到 （ x+u, y+v, z+w）位置，将新位置位置代入有关 平面、直线、平行六面体和椭球面方程。7 3 见本书的叙述。7 4 空间轴对称问题比平面轴对称问题增加了一些应力、形变和 位移，应考虑它们在导出方程时的贡献。7 5 对

11、于一般的空间问题，柱坐标中的全部应力、形变和位移分 量都存在，且它们均为 的函数。在列方程时应考虑它们的贡献。 第八章 习题的提示和答案81 提示：应力应满足平衡微分方程、相容方程及应力边界条件 （设） 。柱体的侧面，在（x, y）平面上应考虑为任意形状的边界 （n=0,l , m 为任意的），并应用一般的应力边界条件。82 提示：同上题。应力应满足平衡微分方程、相容方程及应力 边界条件（设 若为多连体，还应满足位移单值条件。 由于空间体为任意形状，因此，应考虑一般的应力边界条件（ 7-5 ）：法 线的方向余弦为 l , m, n，边界面为任意斜面，受到法向压力 q作用。为 了考虑多连体中的位

12、移单值条件，应由应力求出对应的位移，然后再检 查是否满足单值条件。83 见8-2 的讨论。84 从书中式（ 8-2 ）和（ 8-12 ）可以导出。由结论可以看出位 移分量和应力分量等的特性。85 为了求 o 点以下 h 处的位移，取出书中式（ 8-6 ）的，并作 如下代换然后从 o a 对积分。8 6 引用布西斯克解答，在 z=0的表面上的沉陷是1）求矩形中心点的沉陷，采用图 8-9 （a）的坐标系， 代入并积分，再应用部分积分得到，2）求矩形角点处的沉陷，采用图 8-9（b） 的坐标系，87 题中已满足边界条件再由便可求出切应力及扭角等。88 题中能满足两个圆弧处的边界条件然后，相似于上题进

13、行求 式解为的两倍。8 9 分别从椭圆截面杆导出圆截面杆的解答，和从矩形截面杆导 出正方形截面杆的解答；并由，得出代入后进行比较即可得出。810 参见8-8 的讨论。 第九章 习题提示和答案91 挠度 w 应满足弹性曲面的微分方程， x=0的简支边条件，以 及椭圆边界上的固定边条件， 。校核椭圆边界的固定边条件时，可参见 例题 4。 求挠度及弯矩等的最大值时，应考虑函数的极值点（其导数为0）和边界点，从中找出其最大值。9 2 在重三角级数中只取一项可以满足 的弹性曲 面微分方程，并可以求出系数 m。而四个简支边的条件已经满足。关于角点反力的方向、符号的规定，可参见 94中的图 95。93 本题

14、中无横向荷载， q= 0，只有在角点 B有集中力 F 的作用。 注意 w =mxy应满足：弹性曲面的微分方程， x =0和 y =0的简支边条件 , x =a和 y = b的自由边条件，以及角点的条件（见图 95中关于角点反 力的符号规定）。在应用莱维解法求解各种边界条件的矩形板时，这个解答可以用来 处理有两个自由边相交的问题，以满足角点的条件。因此，常应用这个 解答于上述这类问题， 作为其解答的一部分。 读者可参考 96中图 9-9 的例题。x=9 4 本题中也无横向荷载， q= 0，但在边界上均有弯矩作用 0,a 是广义的简支边，其边界条件是 而 y= 0, b 为广义的自由边，其边界条件是将 w=f( x)代入弹性曲面微分方程，求出 f ( x) 。再校核上述边界条件并 求出其中的待定系数。95 参见 97及例题 1，2。96 应用纳维解法，取 w为重三角级数，可以满足四边简支的条 件。在求重三角级数的系数中，其中对荷载的积分只有在的区域有均布荷载作用，应进行积分；而其余区域，积分必然为 零。97 对于无孔圆板，由的挠度和力的有限值条件，得出书中9 9 式(d) 的解中，然后