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文档简介

1、第十二章 拉普拉斯变换及逆变换拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法,而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用。我们经常应用拉普拉斯变换进行电路的复频域分析。本章将扼要地介绍拉普拉斯变换(以下简称拉氏变换)的基本概念、主要性质、逆 变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用。第一节拉普拉斯变换在代数中,直接计算 3N =6.28咒寸5202 x(i.i64)5 是很复杂的,而引用对数后,可先把上式变换为13lg N = lg 6.28 (lg 5781 - lg 9.82 lg 20) lg 1.16435然后通过查常用对数表和反对数表,就可算得原来

2、要求的数N。这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法,而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法。、拉氏变换的基本概念定义12.1设函数f(t)当t_0时有定义,若广义积分 f(t)edt在P的某一区域内 弋0收敛,则此积分就确定了一个参量为 P的函数,记作F(P),即boF(P)二 f(t)edt0 ( 12.1) 称(12.1 )式为函数f(t)的拉氏变换式,用记号Lf(t)二F(P)表示。函数F(P)称为f(t) 的拉氏变换(Laplace)(或称为f (t)的象函数)。函数f (t)称为F(P)的拉氏逆变换(或称为F(P)象原函数),记作LF(P) = f(t),即 f(t) = LF(P)。关

3、于拉氏变换的定义,在这里做两点说明:(1) 在定义中,只要求f (t)在t_0时有定义。为了研究拉氏变换性质的方便,以后 总假定在t 0时,f(t) =0。(2) 在较为深入的讨论中,拉氏变换式中的参数P是在复数范围内取值。为了方便起 见,本章我们把 P作为实数来讨论,这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用。(3) 拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数,它是一种积分变换。 一般来说,在科学技术中遇到的函数,它的拉氏变换总是存在的。例12.1求斜坡函数f(t)二at ( t -0,a为常数)的拉氏变换。beta 忖t解:Lat atedttd(eT)=-0p0a_pLdt =2e

4、p丄a :P0、,旦eb:空/dt0pp 0 pta - ptao e dt =2e 02 (p 0)、单位脉冲函数及其拉氏变换在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时,要涉及到我们要介绍的脉冲函数,在原来电流为零的电路中,某一瞬时(设为t =0)进入一单位电量的脉冲,现要确定电路t - 0,t = 0.上的电流i(t),以Q(t)表示上述电路中的电量,则Q(t) = 0由于电流强度是电量对时间的变化率,即i(t) =dQ(t)dtJim Q(t TQ0.寸所以,当t = 0时,i(t) =0 ;当 t = 0时,Q(0 :t) -Q(0) / 1、i(0) = limlim () 口2

5、Z it At 。上式说明,在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示上述电路的电流强 度为此,引进一个新的函数,这个函数称为狄拉克函数。定义12.20, t c01设(t), 0 _t _ ;,当二一; 0时,(t)的极限、=lim、(t)-;-;刃,0, t ;称为狄拉克(Dirac )函数,简称为 函数。t = 0t =0当t=0时,、:(t)的值为0 ;当t=0时,:(t)的值为无穷大,即:二0,显然,对任何;0,有:;(t)dt = . St =1,所以._(t)dt0-函数用一个长度 :.-函数的强度。工程技术中,常将.-函数称为单位脉冲函数,有些工程书上,将 等于1的有向线

6、段来表示,这个线段的长度表示-函数的积分,叫做例12.2求单位脉冲信号(t)的拉氏变换。解:根据拉氏变换的定义,有-beL卜(t)二 、(t)edt -0g1咼z 1(lim)etdt lim 0 edt = limetdt工10. -0 ;11-e;limp;二丄 limP 川(;)T-0 0:1peP ;lim1p ;0 1L、(t) =1。0,tcO例12.3现有一单位阶跃输入 u(t),求其拉氏变换。11,让0一 u(t)edt 1edt 二-丄00p0(a为常数)的拉氏变换。ePdt -, (p a),1p _a解:Lu(t)-(p 0)。例12.4求指数函数f(t)=eat. -b

7、e .-解:LU.。eaLedt0Leat,()- -p类似可得 Lsin t 2 (p 0) ; Lcos,t22 ( p 0)。p +p +三、拉氏变换的性质a2是常数,且 Lf1(t)二 Fp) , Lf2(t)HF2(p),则拉氏变换有以下几个主要性质,利用这些性质,可以求一些较为复杂的函数的拉氏变换。 性质12.1 (线性性质)若a1,(12.2)LHt) a2f2(t) “丄戸a2Lf2(t) yFjP)飞2卩2(卩) 证明:4=ct4=ctLa1f1(t) a2f2(t)& fdt) a? f2(t) e dt 二 a1f1(t)e_pdta?0 f 0=&丄(圳a2Lf2(t)

8、二 aF(p)a2F2(p)1例12.5求函数f (t)(1 - et)的拉氏变换a-pt-pt4=ctf2(t)edt o解:11L(1-e )=L1aa性质12.2 (平移性质) 丄.1 Liea若 Lf(t)二 Fp,则Leat f (t)二 F( p -a) ( a为常数)p( P a)(12.3)证明:Leatf(t)二-borate 0 0 at象原函数乘以e等于其象函数左右平移sin t和 Let cos t。co2, Lcos tp - f(t)edt = .f (t)ep3dt二F(p_a)位移性质表明:例 12.6 求 Lteat,Let1解 因为 Lt 2,Lsin t-

9、pLteat,(Pa)|a|个单位。2 p 2,由位移性质即得 p Letsin tH(p a)22,Le-at cos t:(p+a) +性质12.3 (滞后性质)若L f (t)HFp,则(12.4)Lf(t -a)弋刊F(p) (a 0)证明:亠.a亠.Lf(t-a)二 f(ta)edtf (ta)eptdt 亠丨 f(ta)edt0_0a一 ?在拉氏变换的定义说明中已指出,当t :0时,f(t) =0。因此,对于函数 f(t-a),当t-a :0 (即t 0f (0), f,乍0)2由(12.6 )式,得2 2 L 一 sin t二 L f (t) = p L f (t) - pf (

10、0) - f (0),即2 2-/: Lsin t = p Lsin -1 7:移项化简得Lsin ,t =2p +1利用上述结果,cos;:;t(sin ;::t)及(12.5)式,可得Lcos,t = L (sin ,t)二丄 L(sin ,t)=丄 pLsin t - sin 0cooco1 p p 22-022p +国p性质12.5(积分性质)若Lf (t)H F(p) (p=0),且设f(t)连续,则Lf (x)dxH0 p ( 12.8)t证明:令(t o f (x)dt,显见(00,且因:(t) = f(t),由微分性质,得L(t) =pL(t)申(0),而 LA(t) = Lf

11、(t) =F(p),所以有tt1F(p) = pL (t)H pL 0 f(x)dx,即 L 0 f (x)dx F(p)。00p积分性质表明:一个函数积分后再取拉氏变换,等于这个函数的象函数除以参数p。例12.11求Ltn (n是正整数)。解:因为tt 二1dx,tt2 = j 2xdx,t3t=f3x2dx000所以由(12.8)式即得Lt二tL1丄1!L 1dx二一 2,0pppt2Lt2!tntn xndx 02Lt = L2 xdx二Lt373.x2dx二23Lt 般地,有Ltnn 4x dt叫严n!性质12.6若Lf(t):=Fp,则 a0时1pLf(at)F (上)aa性质12.

12、7若Lf(t):= Fp,则Ltnf(t)二(-1)nF(n)(p)性质12.8若Lf(t):=F p,且 limf(t)存在,则T t f(t)屮F(p)dp t例 12.12 求 Ltsin t。(12.9)(12.10)(12.11)解:因为Lsin,t =22,由(12.1)式可得d 2poLtsin g(1)dP(L7?例12.13求L竺、。t1sin t解:因为Lsint 2 ,而且lim1,所以由(12.11)式可得忧1咼兀 dp 二 arctg p |/arctg pp 12因此,当P = 0时,得到一个广义积分的值l【T =(即;:号edt-arctgp。t:si nt _

13、二dt : t 2这个结果用原来的广义积分的计算方法是得不到的。现将拉氏变换的八个性质和在实际应用中常用的一些函数的象函数分别列表如下:表12.1拉氏变换的性质序号设 Lf(t)=F(p)1La1f1(ta2f2(t)a1Lf1(t)pa2Lf2(t)2atLe f(t)=F(pa)3Lf (t a)u(t a) =epF(p)(a0)4Lf(t) = pF(p) f(0)L f(n)(t) = pnF( p) pZf (0) + pnf (0)十.十 f z (0)5/F(p)LJ f(x)dx 刃 0p6Lf(ai)=-F()a a( ao7Ltnf(t)=(_1)nF(n)(p)8f (

14、t)说L = i F(p)dp t1 p表12.2常用函数的拉斯变换表序号f(t)F(p)16(t)12u(t)1 p3t12 p4tn( n =1,2,)n!n卅 p5at e1P a61 eaP( P + a)7teat1(P-a)28tneat( n = 1,2,)n!/n41(P-a)9sincotcoP2 + J10costP2 2P +国11si n(叭+申)psin申+国cos申2 + J P十12COS(GOt +申)pcos co sin p求下列函数的拉氏变换(1) f(t)=e4t2(2) f(t)=t(3) f(t)=teat(4) f (t) =si n(t )( 是

15、常数) 求下列题中函数的拉氏变换(1) 3e4t-1,0 兰t 兰 4 + 时 213tsi n 麒2cop(p2g2)214sin cct ot cosot2国(3) f(t)二I 1,4/2丄2、2(p + )15t cost2 2 p -co#2丄22(p + )16et sin cotco(p+a)2 +时 217p + aet cosct(p+ a)2 +时 2181p(1 cosat)1a2 2p(p +a )19atbta be - e(p-a)(p-b)202瞪1pj p2111J p(2) 5sin 2t - 3cost工sint,0玄t必叮(4) f(t)二I t, t习题

16、12.1(5)0,f(t) 1,.0,(6) f(t)=tneat第二节拉普拉斯逆变换前面我们主要讨论了怎样由已知函数f(t)求它的象函数F(p)的问题.运算法的另一面是已知象函数F(p)要求它的象原函数 f (t),这就是拉斯逆变换问题.在控制工程中,求拉氏反变换的简便方法是利用拉氏变换表。同时把常用的拉氏变换的性质用逆变换形式一一列出.性质12.9 (先行性质)1 1 1L aF(p) a2F2(p)二 a“L ( p) a?L F?( p)二印 f“(t) *2彳2化)。性质 12.10 (平移性质)LF(p-a) =e LF(p)=e f (t)。1ap性质 12.11 (滞后性质)L

17、 e F(p) = f (t-a) u(t-a)。例12.14求F(p)二22p 3的逆变换。pP +3_ 44p3 4p2 4P p p 2于是 _2p+5解:的亠存上込片p -2p +5( p -1) +4= 2LJ吟5L务(p -1)2 +42 (p 1)2 +4t p 5 t -12= 2eL 飞2eL 二 p 42 p 455=2et cos2tet sin 2 et2cos2tsin 2t2 2在运用拉氏变换解决工程技术中的应有问题时,通常遇到的象函数常常是有理分式,对于有理分式一般可采用部分分式方法将它分解为较为简单的分式之和,然后再利用拉氏变换F(p)二2(p 2)2 ,4 3

18、 1f(t) = LF(p沪L 石324 p 22 (p 2)表求出象原函数。例12.15求F(pU的逆变换。解:先将F p分解为几个简单分式之和:p 3p 3A . B.Cp3 4p2 4PP(p 2)2p p 2(p 2)2 ,3用待定系数法求得 A = , B =3 C 1 C =所以442331W 3p3 _2te4-恥丄一丄1 J4 p 22 (p 2)-itet2习题13.2求下列题中函数的拉氏逆变换1.F(P)2.F(p)二4pp2 163.F(p)2p -8 p2364.F(P)=1p(p 1)(p 2)5.F(p)2Pp3 6p2 9p6.F(p)=p21P(p-1)2第三节

19、 拉氏变换在电学中的应用、求解常微分方程例12.16求微分方程x(t)2x(t) =0满足初值条件x(0) =3的解。解:第一步 对方程两边取拉氏变换,并设Lx(t)=X(p):Lx(t) 2x(t)HL0,Lx(t) 2Lx(t)H0,pX(p)-x(0)+2X(p)=0。将初始条件x(0) =3代入上式,得(p+2)X(p)=3这样,原来的微分方程经过拉氏变换后,就得到了一个象函数的代数方程。3第二步解出X(p) : X(p): p+23第三步 求象函数的拉氏逆变换:x(t)二L,x(p)二L =3etp + 2这样就得到了微分方程的解 x(t) = 3et。例12.17有一个二阶动态电路

20、满足微分方程y -3y+2y = 2e,并且其初值条件y(0) = 2,y (0) = T,求其解。解:对所给微分方程的两边分别作拉氏变换.设Ly(t) =Y(p) =Y,则得p2Y -py(0) -y(0) -3pY-y(0) 2Y将初值条件y(0) =2 , y(0) = 1,代入,得到 Y的代数方程2 2(p 0 2)Y/ *722p2-5p-5(p2-3p 2)丫二p +1解出丫,得丫2p2-5p-5_(p 1)(p-2)(p-1)将上式分解为部分分式17Y= 3 . 4 _ 3p+1p_1p_2再取拉氏逆变换,就得到满足所给初值条件的方程的特解为1 -tt 7 2ty(t) e 4e e3 3用拉氏变换还可以解常系数线性微分方程组。、电学应用举例例12.18求图示电路的输入运算阻抗乙n(s)解:由串并联关系得2 s21乙n(S)=1s 12K1K2I(S)=6 s10 s 1 s2

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