微分方程的基本概念

1、6.1微分方程的基本概念一、教学目标：通过本节内容的学习，达到以下教学目标与要求： 一级目标：掌握微分方程的定义；二级目标：理解微分方程的阶、通解、特解概念。二、教学内容和重、难点：1微分方程2微分方程的阶3微分方程的解4微分方程的通解及特解5微分方程的积分曲线族重点：微分方程的概念、微分方程的阶、微分方程的解。难点：微分方程的通解、积分曲线族三、教学方法和教具使用：讲授法。四、教学过程：6.1.1微分方程的基本概念例1放射性元素的质量随着时间的延长而逐步减少，这称为衰变现象由实验得知，在任一时刻t,镭的衰变速率与该时刻镭的质量（即所存量）成正比假定镭在初始时刻t =0的质量为a，试求镭的衰变

2、规律.解设镭在时刻t时的质量为y= y t，则业=-ky t k 0（ 1）dt因镭在初始时刻t = 0的质量为a，故y 0 -a，或写为y L出=a（2）（1）式改写为巴一kdty两边积分ln y =kt+G, y =Ce（C = e）又 y It 卫二 a，故 c 二 a, y 二 aet.例2列车在平直线路上以 20米/秒（相当于72公里/小时）的速度行驶；当制动时列车获得 加速度-0.4米/秒2.问开始制动后多少时间列车才能停住， 以及在这段时间里行驶了多少路 程？解 设列车开始制动后t秒内行驶了 S米根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数S=S t应满足方程d2sdt-0.4.(1

3、)112 / 4此外，未知函数S = S t还应满足下列条件:, c ds 心0,dt= 20.(2)把方程（1）两端积分一次，得（3）ds - -0.4t Gdt再积分一次，得s - -o.2t2 Gt C2.这里Ci,C2都是任意常数ds把条件竺dt=20代入（3 ）式，得20 =t =0把条件s|t = 0代入（4）式，得0二c2.把G,C2的值代入（3）及（4）式，得v0.4t20,（ 5）dt2s - -0.2t20t（ 6）在（5）式中令v = 0，得到过列车从开始到制动到完全停住所需的时间20 ,t50 （秒）.0.4再把t =50代入（6）式，得到列车在制动阶段行驶的路程2s

4、= -0.2 5020 50 =500 （米）.例3 一曲线通过原点，且在该曲线上任一点 M x,y处切线的斜率为2x，求这曲线的方程解根据导数的几何意义，可知所求曲线y = y x应满足虬2x.（ 1）dx此外，未知函数 y二y x还应满足下列条件：x =0 时，y =0.（即 y|x 尸 0.）（ 2）把方程（1）两端积分，得y = j2xdx，即 y =x2 C,（ 3）其中C是任意常数.把条件x = 0时，y = 0代入（3）式，得0 =02 C,由此定出C =0.把C =1代入（3）式，得所求曲线方程：y =x2.6.1.2基本概念1. 微分方程我们把表示自变量、未知函数及它的导数（

5、或微分）之间关系的方程叫做微分方程（注：微 知函数或未知函是的微分一定要出现）若未知函数是一元函数，则这种微分方程叫常微分方程.2. 微分方程的阶微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数叫做微分方程的阶3. 微分方程的解如果把一个函数代入微分方程，能使之成为恒等式，那么这个函数就称为这个微分方程的解4. 微分方程的通解对于一阶微分方程 F x,y, y =0 ,我们把含有一个任意常数的解，叫做这个微分方程的通解对于二阶微分方程 F x,y,y ,y：=0，我们把含有两个独立的任意常数的解，叫做这个微分方程的通解5. 微分方程的特解不含有任意常数的解，称为微分方程的特解6. 微分方程的初始条件象例1 3中（2）式那样的条件，称为微分方程