弹性力学--纳维解法板壳理论

1、板壳理论课程设计 对工科各专业说来，弹性力学的任务和材料力学、结构力学的任务一样，是 分析各种结构或其构件在弹性阶段的应力和位移， 校核它们是否具有所需的强度 和刚度，并寻求或改进它们的计算方法。然而，它们之间还存在着一些不同。材 力中，基本上只研究杆状结构， 即长度远大于高度和宽度的构件。 而材料力学中 主要研究的是这种构件在拉压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力和位移。结构力 学中，主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构， 即杆件系统。 至 于非杆状结构， 则是弹性力学的主要研究内容。 在弹性力学中， 研究杆状结构一 般都不用诸如一些关于构建的形变状态或应力分布的假定， 因而得到的结

2、果就比 较精确。从 8 个方程 8 个未知量，到圣维南原理、相容方程；从逆解法、半逆解法到 差分法、变分法，邱老师的课讲的十分生动，同学们也听得十分认真。到弹性力 学下册，也就是板壳理论，主要是研究薄板的小挠度变形及其应力、应变。求解 四边简支矩形薄板在载荷下的挠度， 以及矩形薄板的莱维法解及一般解法。 另外， 变厚度矩形和圆形薄板的挠度求解问题。 差分法中引进了较为精确的边界条件以 及在均布载荷和集中载荷下的不同解法。在课程设计的过程中，在自学 Matlab 的过程中完成了纳维解法中挠度表达式 的表示和循环收敛过程， 并且完成了差分法中不同网格划分下的差分方程化为矩 阵形式后的求解过程。除此

3、之外，还学会了使用 ABAQUS创建板并定义厚度以减 少同等情况下创建实体添加边界条件不准确对计算结果产生的影响。 尽管和差分 法与精确解的误差分析相比， 误差还是比较大， 但相比于创建三维实体并在底边 添加约束条件相比，误差还是减少了很多。在计算过程中，先是采用厚度 0.2m 薄板，有限元方法的误差过大，而当把 薄板的厚度改为 0.1m 时，误差变小。两种厚度的薄板都进行了同样的计算。四边简支的薄板在均布载荷作用下位移的最大值，薄板的尺寸为长宽高：1 1 0.1 ，均布载荷为 q 1000N /m2 ，弹性模量 E=205GPa ，泊松比 =0.3， 分别用：纳维法、差分法以及有限元方法进行

4、求解并比较求得的结果。得到结果如下：纳维解法四边简支的正方形薄板，四边无支座沉陷时，边界条件为w x 0 0, w x a 0, w y 0 0, w y b 0,2wx2x x 02w20,w2y2 y 00,0,把挠度表示为如下的重三角级数：2w2y y b0.wAmn sinm 1 n 1mxsinnyb代入弹性曲面的微分方程，得2m2an2 2 b2m x n yA mn sinsin qabmn为求出系数 Amn ，须将式子右边展为与左边同样的重三角，即q C sinmnm 1n 1m xsin n yab得到与 (b) 式对比，得a0 qsinmxdxab0 0 qsina2 n

5、1 Cin sinnybm x sinn ydxdy abCija b 4m x n y4 q sin sin dxdy A 0 0 a b Amn2 2 2m2 n222 a2 b2ab4abD当薄板受到均布载荷时， q成为q0 ，则式(d) 积分成为a b m x0 0 q0 sin anysin dxdybaq0 0 sinmxb n y dx 0 sin dy a 0 bq0ab2mn1 cosm 1 cosn16q0w 166q0D m 1,3,5, n 1,3,5,mnm x n y sin sin ab m2 n2 m bn2则得到：对挠度表达式的后部运用到：Matlab 进行编

6、程迭代，在确定收敛之后，可以得厚度为 0.2m 时：厚度为 0.1m 时：w 2.7053e-08w 2.1642e-07厚度为 0.05m 时：w 1.7310 e 6厚度为 0.01m 时：w 2.1638e-042 a差分法4*4 网格划分 ：差分方程：20w1 8(4w2) 2(4w3) 0 qD0 (a4)420w2 8(2w3 w1) 2(2w2) (w2 w2) qD0 (4a)420w3 8(2w2) 2(w1) (w3 w3 w3 w3) qD0 (a4)4 化简后得：20w1 32w2 8w3 qD0 ( 4a )48w1 24w2 16w3 qD0 ( a4)4 2w1

7、16w2 20w3 qD0 (4a)4 其中，E3化为矩阵形式：20 328 242 16得到结果：D 12 1 28 w116 w2 D0 420厚度为 0.2m 时：厚度为 0.1m 时：厚度为 0.05m 时：厚度为 0.01m 时：8*8 网格划分： 差分方程：41w11w2 1.0e-07w30.26820.19510.1422w10.2146w2 1.0e-06 0.1561w30.1138w1w2 1.0e-05w30.17170.12480.0910w10.2146w2 1.0e-03 0.1561w30.113820w1 8(4w2) 2(4w3) 4w4 qD0 a8q0

8、a 20w2 8(2w3 w1 w4 ) 2(2w2 2w5) ( w2 2w5 w7)4 20w38(2w22w5)2(w1w62w4 )(2w32w8)q0a20w4 8(2w5 w2 w7 ) 2(2w3 2w8) (w1 2w6 0)D8 q0 a 4 D8q0 a20w5 8(w3 w4 w8 w6) 2(w2 w5 w7 w9 ) (w2 w5 w9 0)D820w6 8(2w5 2w9) 2(w3 2w8 w10) (2w4 ) 0 q0 aD8 q0 a20w7 8(2w8 w4 ) 2(2w5 ) (w2 2w9 w7) 0D8q0 a 20w88(w5w9w7)2(w4 w

9、6) (w3 w8w10 w8 )q0 a 20w98(w6w8w100) 2(w5 w9) (w5w7 w9)D820w10 8(2w9 ) 2(w6) (2w8 2w10) q0 aD8化简后得a420 w132 w28w34w40 0 0 0 0 0 q 01 2 3 4 D88 w125 w 216 w 38 w 46 w 50 w 70 0 0 q 0a1 2 3 4 5 7 D8q a 42w116 w222 w34w416 w52w602w800q0a1234568D8w1 8w24w320 w416 w52w68w74w800q0a12345678D8a4 843w2 8w3

10、8w4 23 w5 8w6 2w7 8w8 3w9 0 q0 D0 2 w32 w416 w520 w60 4 w816 w90 q 0 a3 4 5 6 8 9 D 8 q a 4 w2 0 8w4 4w5 0 19 w7 16 w8 2w9 0 02 4 5 7 8 9 D 8 qa0w32w48w5 2w68w720 w88 w9w10qa345678910D8q a 4000 3w58w6w78w819w98w1005 678910D8q a 40 0 0 0 2w6 0 2w8 16w9 18w10 q0 a6 8 9 10 D 8改为矩阵形式，为：20-328400-825-16-

11、8602-16224-1621-8420-16203-8-823-80022-1620010-8400012-8200003-80000020 0 0 0w111 0 0 0w210 2 0 0w31-8 4 0 0w412 -8 3 0w5q0 a10 4 -16 2w6D8119 -16 2 0w71-8 20 -8 1w811 -8 21 -8w910 2 -16 18w101得到：厚度为 0.2m 时：w1w2w3w4w5 w6 w7 w8 w9 w10厚度为 0.1m 时：0.27000.25110.23350.19561.0e-070.18200.14210.10830.10090

12、.07900.04410.21600.20080.18680.15651.0e-060.14560.11370.08670.08070.06320.0353厚度为 0.05m 时：w10.1728w20.1607w30.1494w40.1252w551.0e-050.1165w60.0910w70.0693w80.0646w90.0506w100.0282w10.2160w20.2008w30.1868w40.1565w550.14561.0e-03w60.1137w70.0867w80.0807w90.0632w100.0353厚度为 0.01m 时：有限元法厚度为 0.2m 时： 创建壳实

13、体，在材料赋定时确定厚度，得到在中心点有最大位移wmax 3.678e 8创建 3D 实体，得到在中心点有最大位移：wmax 5.462e 8厚度为 0.1m 时： 创建壳实体，在材料赋定时确定厚度，得到在中心点有最大位移wmax 2.443e 7厚度为 0.05m 时： 创建壳实体，在材料赋定时确定厚度，得到在中心点有最大位移wmax 2.405e 4创建 3D 实体，得到在中心点有最大位移：wmax 2.166e 4 厚度为 0.01m 时： 创建壳实体，在材料赋定时确定厚度，得到在中心点有最大位移wmax 2.405e 4创建 3D 实体，得到在中心点有最大位移：wmax 2.166e 4结果对比厚度为 0.2m 时：纳维法/ 1.0e-08差分法 / 1.0e-08有限元法 / 1.0e-084488SolidShellwmax2.70532.6822.7005.4623.678误差分析00.84%0.18%101.9%35.98%厚度为 0.1m 时：纳维法/ 1.0e-07差分法 / 1.0e-07有限元法/1.0e-074488SolidShellwmax2.16422.1462.1602.443误差分析00.84%0.19%12.88%厚度为 0.05m 时：纳维法/ 1.0e-06