因式分解的常用方法

1、因式分解的常用方港LOGYOUR LO a2 -ab + ac-bc(二) 分组后能直接运用公式例3.分解因式:x2 -y2 +ax + ay分析若将第一.三项分为一组，第二.四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就 能继续分解，所以只能另外分组。解：原式二(%2 -y2) + (x + ay)= (x+y)(x_y) + o(x+y)= (x + y)(x_y + a)例4、分解因式：a2 - lab+ b2-c2解：原式=(/ 2ub + b) c= (-Z?)2 -c2=(d -Z?-c)(a-Z? + c)2.宀2/+/-94. 一 2xy 一 xz + yz + y2综合练习：1.

2、 a2 -6ab + i2b+9b2 -4a3.4a2 x-4a2y-h2x + b2y5. a2 -2ci + b2 - 2b + lab +16. y(y-2) (zw 1)(加+ 1)四、十字相乘法.(一) 二次项系数为1的二次三项式直接利用公式-V2 + ( + q)x + pq = (x+ p)(x + q)进行分解。特点：(1)二次项系数是1;(2) 常数项是两个数的乘积；(3) 一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律例.已知0 2x2 - 7xy + 6y2例10.心2_3心+ 2分析:X -23-5(-6) + (-5) = -11解：3x2 -11a +

3、 10 = (x-2)(3x-5)练习 7、分解因式：(1) 5x2+7%-6(2) 3x2-7x + 2(3) 10x2-17x + 3(4) -6y2+lly + 10(三) 二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：a2-3ab-128b2分析：将方看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。t8b1-16b8b+(-16b)= -8b解：a2 -Sab-2Sb2=a2 + 8/? + (-16/?) + 8Z?x(-16/?)=(a + 8Z?)( -16b)练习 8、分解因式 A-2 -3xy + 2y2 nr -6/?/? + 8/?2 a -ab-6b2(四

4、) 二次项系数不为1的齐次多项式把小看作一个冰1-12- 3y(-3y) + (-4y)= -7y解：原式=(x-2y)(2x_3y)练习9、分解因式：(1) 15x2+7xy-4y2综合练习 10、(1) 8x6-7x3-1(3) (x+y)2_3(x + y)_10(5) x2y2 -5x2y-6x2(7) x2 +4xy + 4y2 -2x-4y-3(9) 4x2 -4xy-6x + 3y + y2 -10(11. ) abcx1 +(a2b2 +c2)x + abc1- 2(-l) + (-2)= -3解：原式二(小-1)(小-2)(2) a2x2 -6 + 8(2) 12x2 -ll

5、xy-15y2(4) (d + b)24a-4b + 3(6) in2 -4/Z/7+ 4/?2 -3m + 6n + 2(8) 5(a + b)2 + 23(a2 -Z?2) -10( -b)2(10) 12(x + y)2+HGv2-y2) + 2(x-y)五、换元法。例 13、分解因式(1) 2005x2 -(20052 -1)x-2005(2) (x +1)(% + 2)(x + 3)(% + 6) + x2解： 设2005=a,则原式 (/一1)兀一。=(2005兀 + 1)(兀一2005)(2)型如abcd + e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式+7x + 6)

6、(x2 +5x + 6) +a2设x，+ 5x + 6 = A ,贝ix2 +7x + 6 = A + 2x；原式=(A + 2x)A + 2Ax+= (A + x)2 = (x2 +6x + 6)2练习 13、分解因式(1) (x2 +xy + y2)2 -4xy(x2 +y2)(2) (x2 + 3x + 2)(4x2 + 8x + 3) + 90(3) (/+1)，+(/+5)，-4(/+3)2六.添项.拆项.配方法，试根法，短除法。例15、分解因式（1）3，+4解法1一一拆项。解法2添项。原式一3, -4x + 4x + 4= (x + l)(x2 一 x +1) 一 3(x + l)

7、(x 一 1)= x(x2 一 3x-4) + (4x + 4)= (x + l)(x2 - x + l-3x + 3)=x(x + l)(x-4) + 4(x +1) =(x + l)(x2 -4x + 4)= (x + l)(x2 - 4x + 4)= (x + 1)(x 2)2=(x + 1Xx-2)2(2) x9+x6+x3-3解：原式=(* 一 1) +(X& -1) +(X3 1)=(牙3 _ 1XX6 + 尤3 + 1) + (x3 _ 1)(/3 + 1) + (牙3 _ )= (x3-l)(x6+x3+l + x3+l + l)=(x - l)(x2 +x+ l)(x6 +

8、2x3 + 3)练习15、分解因式(1) V-9x + 8(2) (x+l)4+(x2-l)2+(x-l)4(3) A：4-7x2 +(4) x4 +x2 +2ax+-a2(5) x4+y4+(x+y)4(6) 2crb2 +2a2c2 +2b2c2 -a4-b4 -c4七.待定系数法或双十字相乘法。例16、分解因式x2 +xy-6;y2 +x + 13y-6分析：原式的前3项*+小_6尸可以分为(x + 3y)(x-2刃，则原多项式必定可分为(x + 3y + m)(x 一 2y + /)解：设疋 +xy-6y2 + x + 13y -6 = (x + 3y + m)(x-2y + n) :

9、 (x + 3y + m)(x一 2y + n) = x2 +xy-6y2 + (m + n)x + (3/? - 2m)y - nut :.x2 + xy 一6y2 +x + 13y-6 = x2 + xy-6y2 + (？ + n)x + (3/z 一2m)y 一mnnt = -2n = 31H + /? = 1对比左右两边相同项的系数可得3h-2/h = 13,解得 inn = -6:.原式二(x + 3y 一 2)(x 一 2y + 3)练习 17、(1)分解因式x2 -3xy-10j2 +x + 9y-2(2)分解因式x2 +3xy + 2y2 +5x + 7y + 61 在 AABC 中,三边 a, b, c 满足a? - 16b2 -c2 +6ab + 10bc = 0求证：a + c = 2b2 已知：x +丄=2,则x3+-!- =XX3. 已知:x + y = 6, xy = -l,求:x3 +y3 的值。4. 求证：n3+5n是6的倍数。（其中n为整数）5. 已知：3、b、c为三角形的三边，比较