2020届高考数学(理)一轮复习讲练测专题10-5圆锥曲线的综合问题Word版含解析

1、123专题 10-5 圆锥曲线的综合问题1.【2017 课标 1，理 20】已知椭圆 c：x 2 y 2+ =1a 2 b 23（ab0），四点 p （1,1），p （0,1），p （1， ），2p （1，432）中恰有三点在椭圆 c 上.（1） 求 c 的方程；（2） 设直线 l 不经过 p 点且与 c 相交于 a，b 两点.若直线 p a 与直线 p b 的斜率的和为1，证明：l 过2 2 2定点.【解析】（2）设直线 p a 与直线 p b 的斜率分别为 k ，k ，2 2 1 2如果 l 与 x 轴垂直，设 l：x=t，由题设知 t 0 ，且 | t| b 0) a 2 b 21的左焦

2、点为 f ，右顶点为 a ，离心率为 .已知 a 是2抛物线y2=2 px ( p 0)的焦点， f 到抛物线的准线 l 的距离为12.（i）求椭圆的方程和抛物线的方程；（ii）设l上两点 p， q关于x轴对称，直线 ap与椭圆相交于点 b（ b异于点 a），直线 bq与x轴相交于点 d.若apd的面积为62，求直线 ap的方程.【答案】 （1）x2+4 y32=1 ， y2=4 x.（2）3 x + 6 y -3 =0 ，或 3 x - 6 y -3 =0.【解析】(【考点】直线与椭圆综合问题【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考都是较有难度的压轴题，不论第一步利用椭圆的离心率及椭圆与抛物线的位

3、置关系的特点，列方程组，求出椭圆和抛物线方程，还是第二步联立方程组求出点的坐标，写直线方程，利用面积求直线方程，都是一种思想，就是利用大熟地方法解决几何问题，坐标化，方程化，代 数化是解题的关键.3. 【2016 高考山东理数】（本小题满分 14 分）平面直角坐标系 xoy中，椭圆 c：x 2 y 2+ =1 ab0 a 2 b 2)3的离心率是 ，抛物线 e：2x 2 =2 y的焦点 f是 c 的一个顶点.（i）求椭圆 c 的方程；（ii）设 p 是 e 上的动点，且位于第一象限，e 在点 p 处的切线点为 d，直线 od 与过 p 且垂直于 x 轴的直线交于点 m. （i）求证：点 m 在

4、定直线上;l与 c 交与不同的两点 a，b，线段 ab 的中（ii）直线l与 y 轴交于点 g，记pfg的面积为s1， pdm的面积为s2，求s1s2的最大值及取得最大值时点 p 的坐标.【答案】（）x 2 +4 y 2 =1;（）（i）见解析；（ii）s1s29 2 1 的最大值为 ，此时点 p 的坐标为 ( , )4 2 4【解析】试题解析：（）由题意知a 2 -b 2 3 =a 2，可得：a =2b.因为抛物线 e的焦点为1f (0, )2，所以a =1, b =12，所以椭圆 c 的方程为x2 +4 y 2=1.（ii）由（i）知直线 l 方程为y =mx -m 22，令x =0得y

5、=-m 22，所以g (0, -m 22)，又p ( m,m 2 1 2 m 3 -m ), f (0, ), d ( ,2 2 4m 2 +1 2(4m 22+1)，20所以s =11 1| gf | m = m(m 2 42+1)，1 m(2m 2 +1) 2 s = | pm | |m -x |=2 8(4m 2 +1)，所以s 2(4m 2 +1)( m 2 1 =s (2m 2 +1) 2 2+1)，令t =2m2s (2t -1)(t +1) 1 1 +1，则 1 = =- + +2s t 2 t 2 t 2，当1 1 s 9 2= ，即 t =2 时， 1 取得最大值 ，此时 m

6、 = ，满足 d0 ， t 2 s 4 22所以点 p 的坐标为(2 1 s , ) ，因此 12 4 s29的最大值为 ，此时点 p 的坐标为 42 1( , )2 4.考点：1.椭圆、抛物线的标准方程及其几何性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系；3. 二次函数的图象和性质.【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用a, b, c, e的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数最值的方法-如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解.本题易错点是复杂式子的

7、变形能力不足，导致错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运 算求解能力、分析问题解决问题的能力等.考点圆锥曲线的综合问题了解 a掌握 bb灵活运用 c圆锥曲线是解析几何的核心内容，是高中数学的重点，也是历年高考命题的热点 。客观题 重点考查圆锥曲线的定义及应用；圆锥曲线的标准方程；圆锥曲线的基本量（a、b、c、e、p 等）还有离心率等问题。解答题考查的热点是：求圆锥曲线的方程和轨迹方程；圆锥曲线的 的几何性质；直线与圆锥曲线的位置关系；范围、最值问题。许多试题虽以圆锥曲线形式出 现，但要解决它，还需要涉及到函数、不等式、方程、三角、向量、导数等有关知识的综合 应用。1直线与圆锥曲线的位

8、置关系的判断22222 2将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于 x(或 y)的一元方程：ax bxc0(或 ay 0)(1)若 a0，可考虑一元二次方程的判别式 ，有1 0直线与圆锥曲线相交；2 0直线与圆锥曲线相切；3 0) 于点 p，m 关于点 p 的对称点为 n，连接 on 并延长交 c 于点 h.|oh |(1)求 ；|on|(2)除 h 以外，直线 mh 与 c 是否有其他公共点？说明理由|oh |【答案】（1） 2. （2）见解析|on|【解析】(1)由已知得 m(0，t)，p，又 n 为 m 关于点 p 的对称点，故 n2p，tp，on 的方程为 y x，代入 y

9、2px 整理得 pxt2tx0，解得2t 2tx 0，x ，因此 h ，2t 1 2 p.|oh |所以 n 为 oh 的中点，即 2.|on|(2)直线 mh 与 c 除 h 以外没有其他公共点，理由如下：p 2t直线 mh 的方程为 yt x，即 x (yt)2t p代入 y 2px 得 y 4ty4t 0，解得 y y 2t，即直线 mh 与 c 只有一个公共点，所以除 h 以外直线1 2222 22 2mh 与 c 没有其他公共点x y典例 2 (2016 全国甲卷)已知 a 是椭圆 e： 1 的左顶点，斜率为 k(k0)的直线交 e 于 a，m 两点，4 3点 n 在 e 上，man

10、a.(1) 当|am |an|时，求amn 的面积(2) 当 2|am|an|时，证明： 3kb0)的左，右焦点，过f 且斜率为 1 的直线 l 与 e 相交1 2 a b 1于 a，b 两点，且|af |，|ab|，|bf |成等差数列2 2(1) 求 e 的离心率；(2) 设点 p(0，1)满足|pa|pb|，求 e 的方程2 22 22 222222222222222 2y a 3 9 222 22 2 22 2 422242 2 2【答案】（1）2 x y . （2） 12 18 9x y典例 3 (1)已知椭圆 e： 1(ab0)的右焦点为 f(3,0)，过点 f 的直线交 e 于

11、a，b 两点若 ab 的中a b点坐标为(1，1)，则 e 的方程为( )x ya. 145 36x yc. 127 18x yb. 136 27x yd. 118 9x y(2)已知(4,2)是直线 l 被椭圆 1 所截得的线段的中点，则 l 的方程是_36 9【答案】 (1)d (2)x2y801 x【解析】 (1)因为直线 ab 过点 f(3,0)和点(1，1)，所以直线 ab 的方程为 y (x3)，代入椭圆方程 2 a2a1 消去 y，得 b x a x a a b 0，所以 ab 的中点的横坐标为 1，即 a 2b ，又 b 2 4 a2 ba b c ，所以 bc3，a3 2，选

12、 d.2 2221 12 21 21 21 222(2)设直线 l 与椭圆相交于 a(x ，y )，b(x ，y )，1 1 2 2x y x y则 1，且 1，36 9 36 9y y两式相减得 x x1 2x x1 2y y1 2.又 x x 8，y y 4，1 2 1 2y y 1所以 ，x x 21 21故直线 l 的方程为 y2 (x4)，2即 x2y80.解题技巧与方法总结处理中点弦问题常用的求解方法y y(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有 x x ，y y ，1 2 1 2 x x1 2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用

13、中点公式即可求得斜率(2) 根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系 求解(3) 解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意：如果点 a，b 关于直线 l 对称，则 l 垂直直线 ab 且 a，b 的中点在直线 l 上的应用【变式训练】设抛物线过定点 a(1,0)，且以直线 x1 为准线(1)求抛物线顶点的轨迹 c 的方程；1(2)若直线 l 与轨迹 c 交于不同的两点 m，n，且线段 mn 恰被直线 x 平分，设弦 mn 的垂直平分线的2方程为 ykxm，试求 m 的取值范围y 3 3 3 3【答案】（1）x 1. （2） m ，且

14、m0.4 4 42002224 42 22222 21将 x x 2 1，y y 2y ， m n m n 0y ym nx xm n1 y 代入上式得 k .k 21 又点 p ，y在弦 mn 的垂直平分线上，1所以 y km.0 21 3所以 my k y .0 2 4 01由点 p( ，y )在线段 bb上01(b，b 为直线 x 与椭圆的交点，如图所示)，所以 y y y ，也即 3y 3.b 0 b 03 3 3 3所以 mb0)与双曲线 y 1 的离心率互为倒数，且直线a b 3xy20 经过椭圆的右顶点(1) 求椭圆 c 的标准方程；(2) 设不过原点 o 的直线与椭圆 c 交于

15、 m，n 两点，且直线 om，mn，on 的斜率依次成等比数列，求omn 面积的取值范围【答案】见解析2 222omn22222216(4k m 1)0，得 0m 0)过点 f(0,1)，圆心 m 的轨迹为 c. (1)求轨迹 c 的方程；(2)设 p 为直线 l：xy20 上的点，过点 p 作曲线 c 的两条切线 pa，pb，当点 p(x ，y )为直线 l 上的定0 0222 2 点时，求直线 ab 的方程；(3)当点 p 在直线 l 上移动时，求|af|bf |的最小值 【答案】见解析题型三定点、定值、探索性问题x y典例 6 (2017 长沙联考)已知椭圆 1(a0，b0)过点(0,1

16、)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等a b差数列直线 l 与 x 轴正半轴和 y 轴分别交于点 q、p，与椭圆分别交于点 m、n，各点均不重合且满足pm mq，pn nq.1 2(1) 求椭圆的标准方程；(2) 若 3，试证明：直线 l 过定点并求此定点 1 2【答案】见解析解题技巧与方法总结圆锥曲线中定点问题的两种解法(1) 引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系， 找到定点(2) 特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关【变式训练】(2016 河北衡水中学调研)如图，已知椭圆 c 的中心在原点，焦点在 x

17、 轴上，离心率 e2是右焦点，a 是右顶点，b 是椭圆上一点，bfx 轴，|bf|.222，f2x22 222 2 22 2 22t 22 2t2tt2(1) 求椭圆 c 的方程；(2) 设直线 l：xty 是椭圆 c 的一条切线，点 m( 2，y )，点 n( 2，y )是切线 l 上两个点，证明：当 t，1 2 变化时，以 mn 为直径的圆过 x 轴上的定点，并求出定点坐标【答案】见解析 y21， (2)由xty得(2t )y 2ty 20.因为 l 为切线，所以 (2t) 4(t 2)( 2)0， 即 t 20.设圆与 x 轴的交点为 t(x 0)，0,则tm( 2x ，y )，tn(

18、2x ，y )0 1 0 2因为 mn 为圆的直径，故tm tnx 2y y 0.0 1 2当 t0 时，不符合题意，故 t0. 2 2因为 y ，y ，1 t 2 t 2所以 y y ，代入结合得1 2 2tm tnx 0t 2 2x022，要使上式为零，当且仅当 x 1，解得 x 1.0 0 所以 t 为定点，故动圆过 x 轴上的定点(1,0)与(1,0)，即椭圆的两个焦点例 7(2016 广西柳州铁路一中月考)椭圆有两顶点 a(1，0)，b(1,0)，过其焦点 f(0,1)的直线 l 与椭圆交于 c， d 两点，并与 x 轴交于点 p.直线 ac 与直线 bd 交于点 q.(1)当|cd

19、|322时，求直线 l 的方程；(2)当点 p 异于 a，b 两点时，求证：op oq为定值 【答案】见解析直线 l 的方程为 2xy10 或 2xy10.(2)证明 当直线 l 的斜率不存在时，与题意不符当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 ykx1(k0，k1)，c(x ，y )，d(x ，y )，1 1 2 21点 p 的坐标为( ，0)kk1 x1 k1与 y y 异号， 与 同号， k1 1 2 x1 k1x1 k1 ，解得 xk，x1 k1故点 q 的坐标为(k，y )，0 1op oq( ，0)(k，y )1，k 0 2 22 2故op oq为定值解题技巧与方法总结圆锥

20、曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值； (2)求点到直线的距离为定值利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求 得；(3)求某线段长度为定值利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得1 1【变式训练】(2016 珠海模拟)如图，在平面直角坐标系 xoy 中，点 f( ，0)，直线 l：x ，点 p 在直线2 2l 上移动，r 是线段 pf 与 y 轴的交点，rqfp，pql.(1) 求动点 q 的轨迹 c 的方程；(2) 设圆 m 过 a(1,0)，且圆心 m

21、 在曲线 c 上，ts 是圆 m 在 y 轴上截得的弦，当 m 运动时，弦长|ts|是否为 定值？请说明理由【答案】见解析x y 2例 3 (2015 四川)如图，椭圆 e： 1(ab0)的离心率是 ，过点 p(0,1)的动直线 l 与椭圆相交于 a，a b 2b 两点，当直线 l 平行于 x 轴时，直线 l 被椭圆 e 截得的线段长为 2 2.000(1)求椭圆 e 的方程；|qa | |pa|(2)在平面直角坐标系 xoy 中，是否存在与点 p 不同的定点 q，使得 恒成立？若存在，求出点 q|qb | |pb |的坐标；若不存在，请说明理由【答案】见解析(2)当直线 l 与 x 轴平行时

22、，设直线 l 与椭圆相交于 c，d 两点，|qc| |pc |如果存在定点 q 满足条件，则有 1，|qd | |pd |即|qc|qd|，所以 q 点在 y 轴上，可设 q 点的坐标为(0，y )0当直线 l 与 x 轴垂直时，设直线 l 与椭圆相交于 m，n 两点，则 m，n 的坐标分别为(0， 2)，(0， 2)，由|qm | |pm | |y 2| 21 ，有 ，解得 y 1 或 y 2， |qn| |pn | |y 2| 210所以，若存在不同于点 p 的定点 q 满足条件，则 q 点坐标只可能为(0,2)，|qa | |pa |下面证明：对任意直线 l，均有 ，|qb | |pb

23、|当直线 l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立，当直线 l 的斜率存在时，可设直线 l 的方程为 ykx1，a，b 的坐标分别为(x ，y )，(x ，y )，1 1 2 22 2联立2 222221 21122211x y 1， 4 2ykx1，得(2k 1)x 4kx20，其判别式 (4k) 8(2k 1)0，4k所以 x x ，1 2 2k 12x x ，1 2 2k 11 1 x x因此 2k，x x x x1 2 1 2易知，点 b 关于 y 轴对称的点 b的坐标为(x ，y )，2 2y 2 kx 1 1又 k k ，qa x x x1 1 1k qb y 2 kx 1 1 1

24、k k ，x x x x 2 2所以 k k ，即 q，a，b三点共线，qa qb|qa | |qa | |x | |pa |所以 ，|qb | |qb| |x | |pb |2|qa| |pa |故存在与 p 不同的定点 q(0,2)，使得 恒成立|qb| |pb |解题技巧与方法总结解决探索性问题的注意事项探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在(1) 当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2) 当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3) 当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法【变式训练】(201

25、5 湖北)一种作图工具如图 1 所示o 是滑槽 ab 的中点，短杆 on 可绕 o 转动，长杆 mn 通过 n 处铰链与 on 连接，mn 上的栓子 d 可沿滑槽 ab 滑动，且 dnon1，mn3，当栓子 d 在滑槽 ab 内作往复运动时，带动 n 绕 o 转动一周(d 不动时，n 也不动)，m 处的笔尖画出的曲线记为 c，以 o 为 原点，ab 所在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系(1) 求曲线 c 的方程；(2) 设动直线 l 与两定直线 l ：x2y0 和 l ：x2y0 分别交于 p，q 两点若直线 l 总与曲线 c 有且只1 2 2 22 2222222222 2

26、有一个公共点，试探究：opq 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由 【答案】见解析【解析】 (1)设点 d(t,0)(|t|2)，n(x ，y )，m(x，y)，依题意，md2dn，且|dn|on|1，0 0所以(tx，y)2(x t，y )，且0 0x t y 1， 0 0x y 1.0 0tx2x02t， 即y2y0，且 t(t2x )0. 0由于当点 d 不动时，点 n 也不动，所以 t 不恒等于 0，x y于是 t2x ，故 x ，y ，代入 x y 1，0 0 4 0 2 0 0x y x y可得 1，即所求曲线 c 的方程为 1.16 4 16 41(2)

27、当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 为 x4 或 x4，都有 s 448.opq 2由原点 o 到直线 pq 的距离为 d|m |1k1 1和|pq| 1k |x x |，可得 s |pq| d |m|x x |p q opq 2 2 p q12|m|2m 2m 2m 12k 12k 14k .(* )22 2822当 k 时， 1214k 4k2224214k 22222222将(* )式代入(* )式得，s 1 2 opq 2m |4k 1| 14k |4k21|.1 4k 1 2 8 84 opq 11当 0k 8；4k 1 s 8 8 opq21 14k .1 2因为 0k ，则 0

28、fm，由椭圆定义知，圆心 n 的轨迹为椭圆，且 2a =6, c =1 ，则 a2 =9, b 2=8，所以动圆圆心 n 的轨迹方程为s( )0 1 xx822100 1 0 1 1 001 .89x 2 y 2+ =19 8.(2)设p (x, y ),a(x,y ),s(x,0 ),t(x,0 )，则b (x,-y0 0 1 1 s t 1 1)，由题意知x x0 1.则 kapy -y= 1 0x -x1 0，直线ap方程为y -y =k (x-x1 ap 1)，令 y =0，得x y -x y x = 0 1 1 0y -y1 0，同理 x = tx (-y)-xy0 1 1 0-y

29、-y1 0x y +x y = 0 1 1 0y +y1 0，于是os ot = x x =s tx y -x y x y +x y x 2 y 2 -x 2 y 2 0 1 1 0 0 1 1 0 = 0 1 1 0y -y y +y y 2 -y 21 0 1 0 1 0，又p (x, y )和a(x,y0 0 1 1)在椭圆x 2 y 2+ =1 上，故 y 9 82 x 2 x 2 =8 1 - 0 , y 2 =8 1 - 19 9，则y 2 -y 2 = (x2-x 2 ),x2 y 2 -x 2 y 2 =8 x 2 1- 1 -8x 2 1- 0 9 9 9=8 (x2-x 2

30、0 1)所以os ot =x 2 y 2 -x 2 y 0 1 1 0y 2 -y 2 1 02=8 (x2-x 2 )0 1 (x2-x 2 )0 1=9.2（河北省邯郸市 2018 届高三上学期摸底考试）如图，设椭圆 c ：x 2 y 2+ =1(a b 0) a 2 b 21 的离心率为 ，2a, b 分别为椭圆 c 的左、右顶点， f 为右焦点，直线 y =6 x与 c 的交点到 y 轴的距离为27，过点 b 作 x轴的垂线l， d为l上异于点 b的一点，以 bd为直径作圆 e.（1） 求 c 的方程；（2） 若直线 ad 与 c 的另一个交点为 p ，证明：直线 pf 与圆 e 相切.【答案】(1)x 2 y 2+ =14 3；(2)证明见解析.试题解析：（1）解：由题可知，c 1=a 2，a =2c ， b 2 =3c 2，设椭圆c的方程为x 2 y 2+ =1 4c 2 3c 2，由x 2 y 2+ =1 4c 2 3c 2y =6 x2 c 2 ，得 x = =7 7，c =1，a =2， b 2 =3，故c的方程为x 2 y 2+ =14 3.3（河南省林州市第一中学 2018 届高三 8 月调研考试）已知椭圆c：x 2 y 2+ =1(a b 0) a 2 b 2的左