变量代换求解常微分方程

1、实用标准文档题目：变量代换求解常微分方程本问总结了变量代换在常微分方程中的应用，借助恰当的变量代换简化为可 解类型，求出其通解或特解，同时举出实例加以证明变量代换法不仅是一种重要的解题技巧，也是一种重要的数学思维方法。常 微分方程通解的求法具有多样性，不同类型的微分方程有不同的解。其中变量代 换法是求解常微分方程行之有效的方法，我们如果能通过适当的变量代换法将复 杂的微分方程化为可解类型，这样能使求解问题大为简化，进而求出通解。本文就 变量代换法在常微分方程课程中的应用展开探讨 ，给出各种类型常微分方程恰当 的变量代换求其通解或者特解。关键词：常微分方程、变量代换法、通解、特解文案大全目录一、

2、变量代换法求解一阶微分方程 3二、变量代换法求解二阶微分方程 6三、变量代换法求解三阶微分方程 7四、变量代换法求解n阶微分方程 7五、变量代换法求解Euler阶微分方程 9六、变量代换法在研究解或轨线性态中的应用 .10七、函数变换法求解常微分方程 11丿八、三角变换法求解常微分方程 13九、拉普拉斯变换求解常微分方程141变量代换法求解一阶微分方程1）对于齐次微分方程 包二g上，这里勺=aiX “y 是u的连续dxlx 丿dx a2x + b2y + C2函数，做变量代换u二/，使方程化为变量分离方程虫=g u _u，可求解。xdxx2）对于准齐次微分方程=盼 Fy y，这里ai，bi，c

3、i，32，b，C2均dx a2x+b2y+c2为常数。 当色二如=g=k （常数）时，方程直接化为 色二k，有通解:32 b2 C2dxy =kx c（c为常数）当旦 虹=k =仏时，做变量代换u = a2x b2 y，a2b2将方程化为变量分离方C2j七2如卫dxu C2由上式可求解。3 bj丨 X = x _a当匸j时，做变换其中为直线aix biy ci = OdYdx和直线a2x b2y cO在xoy平面的交点，将方程转化为齐次方程aiX bYYg a2X b2YX由上式可求解。pl3）对于更一般的类型丄=dxa|X + biy+C|、 x + by + Qbi ,C1 ,32 ,b2

4、 ,dydx二f（k），有通解C2均为常数当色（常数）时，方程直接转化为 a? b? C2y = f (k)x c ； 当3. bHknC时，做变量代换u = a? b?y，将方程化为变量分离方 a? b?C2程dpdxu c?由上式可求解。 当色 bi时，作变换X x 其中（：.，：）为直线a.x b.y c = 0 a? b?Y = y _ B和直线a?x b?y c0在xoy平面的交点，将方程化为齐次方程dY=fabY=fg（Y）dX+b?Y 丿V X ）由上式即可求解。4）对于方程dy - f （ax by c），这里a，b，c均为常数，作变量代换 dxax by c，将方程化为变量分

5、离方程誉a bf(u)由上式可求解。5）对于方程yf （mxygx+xgCnxdy =0，这里m，n，。均为常数，作变量变换u =x：y，将方程化为变量分离方程du : ug (nu)-uf(mu) dxxg(nu)由上式即可求解。6) 对于方程x3=f(xay)，这里为常数，作变量变换u二x：y，是方程 dx化为变量分离方程du _ 讥 f (u)dx x由上式即可求解。7) 对于方程 M (x, y)(xdx ydy) N(x, y)(xdy- ydx) =0，其中 M,N为关于 x，y的其次函数，做变量变换u =上，化为变量分离方程x2/xdu _ f(u)(u +1) f(uM(x,y

6、) idx 一 x 、 一 M (x, y)u+N(x, y)丿由上式即可求解。8) 对于Bernoulli方程史=P(x)y Q(x) yn，这里P(x)， Q(x)为连续函 dx数，n -0,1为常数。当y = 0时用y乘以原方程两边得y 晋二 y14qP(x) Q(x) dx作变量代换1-nz = y使方程化为线性微分方程 生=(1 -n)P(x)z (1 - n)Q(x)，可求解。dx9) 对于 Riccati 方程 业二 P(x)y2 Q(x)y R(x)，当 R(x)恒为零时，Riccati dx方程就是Bernoulli方程，可采用8)中的变换求解；当R(x)不为零时，若y(x)

7、为Riccati方程的一特解，作变量代换z = y - y(x)，使方程化为一个关于z的Bernoulli方程由上式即可求解。10) 对于一阶非齐次线性微分方程 3 =p(x)y Q(x)，若Q(X)=O，则方程 dx变为一阶齐次线性微分方程dy = P(x)y，有通解y二ce P(X)dX；dx若Q(x)=O对原方程作变量变换y =c(x)eP(x)dx，求得待定函数-P(x) dxc(x) = Q(x)e dx c，代会变换，即得方程的通解。2变量代换法求解二阶微分方程1) 对于二阶变系数齐次微分方程(1)d ydy设y = yi =0是方程(1)的一特解，变量变换y = % . tdx，

8、将方程化为一阶plx线性微分方程y1一 2 y1p(x)yjt =0，可求解。dx2) 对于二阶变系数线性非齐次微分方程弓 p(x)dy q(x)y = f(x)( 2)dxdxI当方程(2)满足9凶2p(3：)q(x)y( C1为常数)时，作自变量代换q(x)t = j：$C2q(x)dx ( C2 为常数)(3)则方程(3)可化为C2q(x)d2y .二aq(x)dt2i(2.qwp(x) ,aq(x)dydtq(x)y 二 f (x)(4)方程(4)两边乘除以c2q(x)，得2 (5)d y q (x) 2p(x)q(x) 巴.丄 y _ f(x)dt22C2q(x)f/2 dt c2g

9、q(x)由于q (x) 2p(x)q(x)二 ci所以 q (x)2p(x)q(x)(7).3d ydx3-ay =0,r评2-=C=常数，又2 为常数,2C2q(x)2 :C2c由此可知，方程(2)可化为二阶常系数线性微分方程葺 ”g(t)3变量代换发求解三阶微分方程1)考虑三阶变系数齐次微分方程6 d3y 5 d2y 4 dyx 3 a2x2 a/a0y 二 0dxdxdx( 6)1当a 6和a 2 = 6时，可作变换x =；，则方程(6)可化为d y2 dyd y3 (6 ai -2a2)x(6 -a2)x $ - ay = 0dxdtdt将a1 =6和a 2 = 6代入(7)得到常系数

10、齐次微分方程2)考虑三阶变系数线性非齐次微分方程dx3-2bG2+ 3GaG Gdx吐aG聖竺IL G dx23cG y = f (x)(8)其中G二G(x) ，f(x)都是x的已知连续函数，且G(x)二次可微,G(x)=0,a,b,c为常数。作自变量变换t二.G(x)dx，则方程可化为d3yaG3d2y心 cGSf(x)(9)方程（9）两边同时除以G3（x）得到三阶常系数线性微分方程兽 a b乎 c“g(t)dx dx dx4变量代换发求解n阶微分方程1）考虑n阶非齐次线性微分方程nd x+dtn印化）dn xdx亍川心)不an(t)X=f(t)(10)设方程（10）对应的n阶齐次微分方程通

11、解为ndtn印dn xdx耐川心q an(g。(11)X =&X1(t)C2X2(t) |l(CnXn(t)（作变量变换，令X =G(t)X1(t)C2(t)X2(t) |l( Cn(t)Xn(t)(13)为（10）的通解。求出特定函数Cj（t） =i Vi，i=1,2,H）n，代入（13），即得（10）的通解2）考虑常系数非齐次线性微分方程nnd xd xdx/、土Lx - - a1石a.anX=Pm(x)edtdtdt(14)这里a1.a2JH.an是常数，Pm（X）二创飞严bm4t bm。作变量变换, 令x=ek，则方程可化为实用标准文档nn 1A於川 7 Pm(X)(15)其中A,A2

12、,An都是常数。对于方程(15)可采用比较系数法求得一特解勺二tk(Btm BitmJ . BmJt Bm)故(14)有特解X二tk(Botm BitmJ . - Bmt Bm)e x,其中k为特征方程F(入)=0的根入的重数。3) 对于n阶微分方程F (t,x, x,x(n)=0 ,当方程不显含未知函数x ,或更一般地,设方程不含x, X,x(n),即方程：F(t,x(k),x(k 1),., x(n) =0 (1 k 汕)(16)作变量变换,令y = x(k),可将方程降为关于y的n-k阶方程F(t, y,y ,., y )=04) 对于n阶微分方程F(t,x(k),x(k1),.,x(n

13、)=0 ,当方程不显含自变量t , 即方程F(x(k),x(k1),.,x(n)0(17)作变量变换，令x =y ,采用数学归纳法不难证明，x(k)可用y , -dy ,dx.k 1J#表示出(k n),将这些表达式代入方程(17),可使方程化为关于x , ydx的n -1阶方程.2d y.k4dxdx5变量代换法求解Euler方程形如.n丄 nd _y alX FT -dx 一dX(18)的Euler方程,这里a1,an为常数对于Euler方程，我们可以采用变量代换法从两个不同角度来考虑得以求角度一：引进自变量的变换则t = lnx,通过直接计算及数学归纳法不难证明：对于一切自然数k均有关系

14、式dkydxk.k 1kJ . kJdt其中，：2，：k都是常数。于是有.k, k 1d y 卄+ +p dx1kjl. kJdtdtdtk(19)将(19)代入方程(18),就得到n阶常系数齐次线性微分方程xkdny dtnbidtn .1(20)其中b2.,bn都是常数。此方程可采用特征根法求得通解，再代回原来的变 量t = In x就可得欧拉方程(18)的通解角度二：由于n阶常系数齐次线性微分方程(20)有形如y二et的解，结合角 度一中的推演过程，从而方程(18)有形如y二x 的解，因此可直接求欧拉方程 形如y二x 的解，作变量变换y = xk ,代入方程(20),并约去因子xk,即可

15、得 到确定k的代数方程，也是方(20)的特征方程k(k -1).(k - n 1) a1k(k -1).(k - n 2). a 0 (21)因此，方程(21)的m重实根k =k,对应于方程(18)的m个解kgk k 2k m _1x 0, x 01n x , x 0 In x ,x Tn x而方程(21)的m重复根k H，对应于方程(18)的2m个实值解:xcose In x ), xWn x cos(P In xxWnm_l x cos(0 In x )xsin(B In x ), xWn x sin(P In x),., xWnmJ x sin(P In x )6变量代换法在研究解或轨线

16、性态中的应用1)考虑非线性常微分方程组d = (t; y), y Rn解的性态,我们通常将其与dx具有某些特殊性质的特解联系在一起考虑。为研究方程组的特解y = (t)邻近的解的性态，作变量变换x = y-F(t)使方程组化为dy = f (t; x),从而使问题dx转化为讨论方程组零解邻近的解的性态。2)考虑全相平面上的轨线性态时，常用极坐标变换引入周期解与极限环来刻划全相平面上的轨线性态，如研究平面一阶非线性驻定方程组dx. 22._ = x y _ x(x y ) dtd y22x y - y(x y ) dt的全相平面的轨线状态，做极坐标变换从而使方程组化为d = r (1 - r)(

17、1 r)经分析可知r =1是稳定的极限环7函数变换法求解常微分方程1)考虑函数变换法求解伯努利方程设dyn厂 P(x)y Q(x)y(23)文案大全这里n -0,1是常数。P(x)，Q(x)是x的连续函数。假设方程(23)有形如 y(x)二u(x)v(x)的解，则有(24)dyu (x)v(x) u(x)v (x) dx将上式代入方程(23)，整理可得u(x)(v(x - P(x)v(x)二Q(x)un(x)vn (x) - u (x)v(x)(25)若令v (x)二 P(x)v(x)，贝U Q(x)un(x)vn(x)-u (x)v(x)=O(26)用变量分离法可以求得fp(x)dxv(x)

18、二 ce若选取 c=1，则 v(x) =e Pxx将 v(x) =ePx)dx代入(26),求得(nV) P(x)dxu(x)二 1-n . Q(x)e(n) p(x)dx1/1 于是，方程(23)的解为|P(x)dx -y(x) =u(x)v(x) =e1 - n Q(x)epl特别的，当n =0时，得一阶线性非齐次方程 丄=P(x)y Q(x)的解为 dx|P(x)dx 一_JP(x)dxy(x)=e”Q(x)e+c 丨这与常数变易法求得的通解相一致2)考虑函数变换法求解Riccati方程的特解。设dy2i=P(x)y Q(x)y R(x)(27)其中P(x)、Q(x)、R(x)是其中某个

19、区间内的一阶可微函数，且P(x) = 0设方程(27)有形如y(x)二 u(x)v( x)( 28)的解，则方程(27)可化为u(x)(v(x)-P(x)v(x) =R(x) p(x)u2(x)v2(x)-u(x)v(x)( 29)令v(x)二 P(x)v(x)求得P(x)dxR(x)22v(x) =ce 及 u(x)p(x)u2(x)v2(x) -u(x)v(x)v(x)则上式化为p(x)v(x) =g(x),dy2dTg(x)u (x) h(x)此方程可通过公式法或者观察法求解 u(x)，则Riccati方程的特解可表示出 来。8三角变换法求解常微分方程在求积分时，当被积函数有形如_(a2

20、 x2) ,a2 _x2， . x2 _a2等形式时， 可通过三角变换法求解。在常微分方程中，遇到此类形式的问题时，我们也可以 考虑三角变换法。1)对于Chebyshev方程:d yx d yn(30)yy2。 x：1,n=0d 21 -x dx1 -xxX做三角变换x =sint，d d2并求得代入原方程，整理得dx dt2J n 2y =0，dx2由上式可解得y = G cos nt q sin nt所以Chebyshev方程的解为yFeos (n arcs in x) qsin(n ar s in x)2）对于三阶变系数微分方程2a2(x) d yai(x) dy-2.2 十2 - T3啤空啤巴y，1 x dx 1 x dx (1 x )dy(31)当原方程满足ai(