回归直线方程的三种推导方法

1、回归直线方程的三种推导方法巴州二中母润萍回归直线方程是新课改新增内容之一，在 必修数学3中对两个具有线性相关关系的变量 利用回归分析的方法进行了研究，书中直接给 出了回归直线方程系数的公式，在选修 2-3中 给出了回归直线方程的截距和斜率的最小二乘 法估计公式的另一种形式的推导方法，根据所 学知识，我总结了 3种推导回归直线方程的方 法：设x与y是具有线性相关关系的两个变量， 且相应于样本的一组观测值的n个点的坐标分别是： （知y2）,（x3, ya）,L ,（Xn, yj， 设所求的回归方程为$i bx a，（i 1,2,3,L,n）.显然，上面的各个偏差的符号 有正、有负，如果将他们相加会

2、相互抵消一部 分，因此他们的和不能代表n个点与回归直线的 整体上的接近程度，因而采用n个偏差的平方和 Q来表示n个点与相应直线（回归直线）在整体 上的接近程度，即求出当Q取最小值时的的值，就求出了回归方 程.F面给出回归方程的推导方法一：一、 先证明两个在变形中用到的公式公式（一）证明:2Xi2X22Xn(Xii 1X)n2Xii 1-2nx其中xx1x2LXn(Xii 1X)2 2(为 x)(X2x) L2nX(Xi X2 L Xn)-2nx(XnX)Xn )-22nx-2nx2 2(xiX2L2Xn )n2Xii 1-2nx(Xii 1X)22nx公式（二）证明:(M% X22 LXi y

3、ii 1nXi yi(Xii 1Xnyn)(X1 X2 L(XiX)(yi 1y)x yii 1nx yx)(yiy)(X1x)(y1y)(X2x)(y2y) L(Xnx)(yn y)(Xy1X X2y y2X LXn)y (y1 y2 L门(X1X2 LXn)-Xn y yn x) nx yyn)x nxy(y1 y2 lyn)入nx yi 1nn2X yi 2nxy nxyXi yi nxyi 1i 1(Xi X)(y y) xy nxyi 1i 12na (y bx)n(Xi x)2 b推导：将Q的表达式的各项先展开，再(X x)(yiy)i 1n2(Xi X)i 1(yii 19y)2

4、L l配方合并、变形2 2 2 2Q(y1bx1 a)(y2bx?a)(y3bx3a) L(ynbXna)2n a (y bx)n(X x)2 b(Xi x)(yiy)i 1n(为 X)2i 1(Xii 12x)(yiy)(Xii 1X)2(yii 1y)2L l(y； y； Lyi) 2y1 (bx1a) 2y2(bx2 a)2L L 展;nnnyi 2b x yi 2a yii 1i 1nb2i 12Xin22ab Xi na L Li 1合并同类项2 nanyii 1,2nabnXii 1nnn.2 2b Xii 1nn22b Xi yiyii 1i 1以a b的次数为标准整2 nan_

5、 _ 2 22na(y bx) bXii 1n2bi 1Xinyi y2 L Li 1转化为平均数-na(ybx)n(y bx)n2bi 1Xinn2 2i 2b1Xiyi i1yiLL配方法na(ybx)2 2 n一2 2一2 2 2ny 2nbxy nb x bxii 1nn22bi1Xiyi i1yiLL 展开方法在上式中，共有四项，后两项与 a, b无关，为 常数；前两项是两个非负数的和，因此要使得 取得最小值，当且仅当前两项的值都为 0.所以II(xj-x)(yi-y)i = 1_ 一 一b = a =y - bxI“Y (xi - x)2;=1na(ybx)n2 2 b (Xii

6、1nn N2 Nnx ) 2b ( Xi yi n xy) ( yi ny )L L理nX yi nxy 口L Ln 2 2Xi nxi 1na(ybx)nb2 (xi 1x)n_n_ 22b(Xix)(yiy)(yiy) L L 用公式(一)用公式()、(二)变形得(二)变形上述推导过程是围绕着待定参数 ab进行的，只 含有X，y的部分是常数或系数，用到的方法有： 配方法，有两次配方，分别是a的二次三项 式和b的二次三项式；Q =斗=Jys - bx；(y - bx)2 十 n(y - bx - a)2n 形时，用到公式(一)、(二)和整体思想； 用平方的非负性求最小值. 实际计算时，通常是

7、分步计算：先求出 xy,nnnn 2 2 2再分别计算 / x)(yi y), i1(xi x) 或 i1xiyi nxy, i1x nx 的值，最后就可以计算出ab的值.推导方法二:nn_ 2 p= (xi-x)2-2bg(xi-x)(yi-y) + (yi-y)2yO =bXia2 = l-yi_bXi_“Uy i=1i=1nA di - x) (yi - y)丫 Ixj - x)2i=li=ii=(y-bx-a)2 + (Xi-x)2=yyi - bxi - (y - bx)2 + 2y； - bxi - (y - bx) * ；=i= nitni=l注意到=A ybxi - (y -

8、bx)2 + 2yi - bxi - (y - bx)1-bxi - (y - bx)J * (y - bx) - a = (y - bx - a)i = 1在上式中，后面两项和a,b无关，前两项为非负 数，因此，要使 Q达到最小值，当且仅当前两 文均为b 0，即)nY (xi - x) (y； - y) i = 1ny(xi-x)2若两边对b求导得2：=(yibxi-dxi=-2(yi bxt a)xi + (y2 bx2 a)x2 + ? + (yn bi总结：这种方法难想到为什么要这样处理，并 且计算量很大。还有不足之处是它与必修三给 出的公式形式上还是有所区别，还要对形式进 行转化。推导方法三：=-2(xiyi + X2Y2 + ? + xnyn) - b(xj2 + x22 + ? + xni = 1i=l/2氐=-2令将（ i）式带入上式得2 anx)= 0nnQ = 2j(yi-yi)2 = 2(yi- bxi - a)2 )=1 1 = 1两边对;1求导得nyXjyi - nxy”nSXi2-nX总结