高中数学《生活中的优化问题举例》学案1新人教A版选修1-1

1、3.4生活中的优化问题举例【成功细节】本节主要研究导数在实际生活中的应用，在学习时，我认为应该注意以下几个方面的细节：（1）要细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y 与自变量 x ，把实际问题转化为数学问题，即列出函数解析式yf ( x) ，根据实际问题确定函数yf (x) 的定义域；（ 2 要熟练掌握应用导数法求函数最值的步骤，细心运算，正确合理地做答；（3）求实际问题的最值时，一定要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的理论值应予舍去；（4）在实际问题中，有f ( x)0 常常仅解到一个根，若能判断函数的最大（小）值在x 的变化区间内部得到，则这个根处的函

2、数值就是所求的最大（小）值。如，本题主要考查长方体体积的计算以及用导数解决最值问题，可设长方体的宽为x（m），则长为 2x(m) ，高为1812x（2007 年重庆市文科20 题） 用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，h4.5 3x要求长方体的长与宽之4比为 2： 1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？.故长方体的体积为 v ( x)2 x2 (4.5 3x)9 x 26 x3 (m 3 )(0 x 3).2从而v(x)18x18x2 (4.5 3x) 18(1x).x令 v（ x） 0，解得 x=0（舍去）或x=1，因此 x=1.当 0x 1 时，

3、 v（ x） 0；当 1 x 2 时， v（ x） 0， 3故在 x=1 处 v（x）取得极大值，并且这个极大值就是v（ x）的最大值。从而最大体积 v v（ x） 9 12-6 13（ m3），此时长方体的长为 2 m，高为 1.5 m. 答：当长方体的长为 2 m 时，宽为 1 m，高为 1.5 m 时，体积最大，最大体积为 3 m3。【高效预习】（核心栏目）【粗读概括】【关注 .思考】, 从中提1. 认真阅读教材中的例题1.了解优化问题的类型；炼解答优化问题的解题步骤 .2.实际问题中为什么极值点一般就是最值点 .【学习细节】（核心栏目）a基础知识一、 利用导数解决生活中的优化问题【情景

4、引入】生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问用心爱心专心1题通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题【例题 1】 海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为 128dm2, 上、下两边各空 2dm,左、右两边各空 1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？【引导】先建立目标函数，然后利用导数求最值.解：设版心的高为 xdm，则版心的宽为128 dm,此时四周空白面积为xs(x) (x4)(1282) 1282

5、x5128, x 0 。xx求导数，得s ( x) 2512 。x2令 s ( x)25120 ，解得 x16(x16 舍去）。x2于是宽为 1281288 。x16当 x (0,16) 时， s ( x) 0.因此， x16是函数 s( x) 的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为 8dm时，能使四周空白面积最小。答：当版心高为16dm，宽为 8dm时，海报四周空白面积最小。【思考】 在课本例1 中，“ x16 是函数 s x 的极小值点， 也是最小值点。 ”为什么？是否还有别的解法？【探究】 在实际问题中，由于f x =0 常常只有一个根，因此若能判断该函数的最大（小）值在

6、x 的变化区间内部得到，则这个根处的极大（小）值就是所求函数的最大（小）值。由课本例 1 可得， s( x)4x2568 2 4x2568 2 328 72 。xx当且仅当 4x2568( x0)时 s取最小值12816。,即 x， 此时 y=x8【例题 2】饮料瓶大小对饮料公司利润的影响（ 1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？（ 2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？【背景知识】 某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料瓶子的制造成本是0.8 r 2 分，其中r 是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 ml的饮料，制造商可获利0.2 分 , 且制造商能制作的瓶子的

7、最大半径为 6cm问题：（）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？（）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？【引导】 先建立目标函数，转化为函数的最值问题，然后利用导数求最值.解：由于瓶子的半径为 r ，所以每瓶饮料的利润是用心爱心专心2yf r0.2 4 r 30.8 r 20.8r 3r 2 , 0 r 633令 fr0.8 ( r 22r )0 解得r2 （ r0 舍去）当 r0, 2时， f r0 ；当 r2, 6时， f r 0 当半径 r2时， fr0它表示 fr单调递增，即半径越大，利润越高；当半径 r2时， fr0它表示 fr单调递减，即半径越大，利润越低（ 1）半径为2 cm

8、 时，利润最小，这时f20，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值（ 2）半径为 6 cm时，利润最大【引导】 我们已经求出利润和瓶子半径之间的关系式：f r 0.8r 2r 2 ,0 r 6 。图象如图，3能否根据它的图象说出其实际意义？【探究】 当 r0, 2 时， f r为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于 2cm 时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为2 cm 时，利润最小；当 r2,6 时， fr 为增函数，其实际意义为：瓶子的半径大于2cm时，瓶子的半径越大，利润越大。特别的，当 r 3时， f30，即瓶子的半径为 3cm 时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等，r

9、3时，利润才为正值当r2时，f 2 0 ，即瓶子的半径为2cm 时，饮料的利润最小，饮料利润还不够饮料瓶子的成本，此时利润是负值。【例题 2】 磁盘的最大存储量问题计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0 或 1，这个基本单元通常被称为比特（bit ）。为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于m ，每比特所占用的磁道长度不得小于n 。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。问题：现有一张

10、半径为r 的磁盘，它的存储区是半径介于r 与 r 之间的环形区域（ 1） 是不是 r 越小，磁盘的存储量越大？（ 2） r 为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？解：由题意知：存储量 =磁道数每磁道的比特数。设存储区的半径介于 r 与 r 之间，由于磁道之间的宽度必需大于 m ，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达 r r 。由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满，m即每条磁道上的比特数可达2 r 。所以，磁盘总存储量n用心爱心专心3f (r )r r 2 r2r (r r )mnmn（ 1）它是一个关于 r 的二次函数，从函数解析式

11、上可以判断，不是r 越小，磁盘的存储量越大（ 2）为求 f ( r ) 的最大值，计算f ( r ) 0 2r2rf ( r )mn令 f (r )r0 ，解得 r2当 rr时， f ( r ) 0 ；当 rr时， f (r )0 22因此 rr2r2时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为mn 42【思考】 根据以上三个例题，总结用导数求解优化问题的基本步骤.【总结】（ 1）认真分析问题中各个变量之间的关系，正确设定最值变量y 与自变量 x ，把实际问题转化为数学问题，列出适当的函数关系式yfx ，并确定函数的定义区间；（ 2）求 f x ，解方程 f x 0 ，得出所有实数根；（ 3）比较

12、函数在各个根和端点处的函数值的大小，根据问题的实际意义确定函数的最大值或最小值。关键细节 由问题的实际意义来判断函数最值时， 如果函数在此区间上只有一个极值点， 那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较用心爱心专心4思维拓展：1导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几种类型：（ 1）与几何（长度、面积、体积等）有关的最值问题；（ 2）与物理学有关的最值问题；（ 3）与利润及其成本（效益最大、费用最小等）有关的最值问题；（ 4）效率最值问题。2. 利用导数解决优化问题的基本思路：建立数学模型优化问题用函数表示数学问题解决数学模型优化问题的答案作答用导数解

13、决数学问题【例 4】 10. 某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法：达到100 人的团体，每人收费1000 元。如果团体的人数超过 100 人，那么每超过 1 人，每人平均收费降低5 元，但团体人数不能超过180 人，如何组团可使旅行社的收费最多 ? (不到 100 人不组团 )【解析】先列出问题的文字模型( 标准收费数 - 降低的收费数 ),再转化为数学模型 .【答案】设参加旅游的人数为x，旅游团收费为 y则依题意有f (x) =1000 x -5 （ x -100 ） x （ 100 x 180），令 f (x) 150010 x0 得 x =150。又f (100)100000， f

14、 (150)112500 ， f (180)108000所以当参加人数为150 人时，旅游团的收费最高，可达112500 元。b综合拓展例 1 某工厂生产某种产品, 已知该产品的月生产量(t)与每吨产品的价格p( 元 /t)之间的关系式x为 : p=24200 1 x2 , 且生产 x t 的成本为 : r=50000+200x( 元 ). 问该产品每月生产多少吨才能使利润达到最大?5最大利润是多少?解析：利润 =收入成本，列出利润的函数关系式，利用导数解决优化问题.答案 :每月生产 x 吨时的利润为f ( x)(242001 x2 )x(50000 200 x)1 x324000x 5000

15、0(x 0)55由 f ( x)3x2240000 解得： x200 或 x200（舍去）因为 f (x) 在 0,) 内只有一个点 x 2005使得 f ( x)0，故它就是最大值点，且最大值为：因 f(x)在 0,)内只有一个点 x200使 f (x) 0 ， 故 它 就 是 最 大 值 点 ， 且 最 大 值 为 ：f (200)1 (200)324000 200 50000 3150000 （元）5答：每月生产 200吨产品时利润达到最大，最大利润为315 万元 .用心爱心专心5例 2已知某商品生产成本c 与产量 q 的函数关系式为c=100+4q，价格 p 与产量 q 的函数关系式为

16、1p 25q 求产量 q 为何值时，利润 l 最大？8分析：利润 l 等于收入 r减去成本 c，而收入 r等于产量乘价格由此可得出利润l 与产量 q 的函数关系式，再用导数求最大利润解：收入 rqp q 251 q25q1 q2 ，88利润 lrc25q1 q2(1004q)1 q2 21q 100 (0 q 100)88l121q41令 l0，即0，求得唯一的极值点q84q 214答：产量为84 时，利润 l 最大例 3甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边a 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km 的 b 处，乙厂到河岸的垂足d与 a 相距 50 km，两厂要在此岸边合建一个

17、供水站c，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3 a 元和 5 a 元，问供水站c建在岸边何处才能使水管费用最省？解析：根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变元，构造相应的函数关系，通过求导的方法或其他方法求出函数的最小值，可确定点c的位置答案 :解法一 根据题意知，只有点c 在线段 ad上某一适当位置，acd才能使总运费最省，设c点距d点xkm, 则 =40,ac=50 x , bdbc= bd 2cd 2x240 2又设总的水管费用为y 元，依题意有：by =3 a (50 x)+5 ax 2402(0x50)y =3

18、 a +5ax, 令 y =0, 解得 x =30x2402在 (0,50) 上， y 只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在 x =30(km) 处取得最小值，此时ac=50 x =20(km)供水站建在、之间距甲厂20 km 处，a d可使水管费用最省 .解法二：设=, 则=40, = 40 cot , (0),ac 5040cotbcdbcsincd2设总的水管费用为f ( ), 依题意，有f ( )=3 a(50 40 cot )+5 a40=150 a +40 a 5 3cossinsin f ( )=40 a(53cos) sin(53cos ) (sin)40a 35coss

19、in2sin2令 f ( )=0, 得 cos = 3 5根据问题的实际意义，当cos = 3 时，函数取得最小值，此时sin = 4 , cot = 3 ,554用心爱心专心6 ac=50 40cot =20(km), 即供水站建在、d之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省 .a例 4在边长为 60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起( 如图 ) ，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？解析：先建立起目标函数，再求最值.答案解法一：设箱底边长为xcm，则箱xxx60x60x高 hcm，得箱子容积2v ( x) x2 h60

20、 x2x3260(0 x 60) v ( x)3x2(0x60)60 x2令 v ( x)60x3x20，解得 x=0（舍去）， x=40，2并求得 v(40)=16 000由题意可知， 当 x 过小（接近0）或过大 （接近 60）时，60-2x箱子容积很小，因此，16 000是最大值x答：当 x=40cm 时，箱子容积最大， 最大容积是 16 000cm360-2x解法二：设箱高为cm，则箱底长为 (60-2x)cm，则得60-2xx箱子容积6060-2xxv ( x) (602x) 2 x (0x30) （后面同解法一，略）由题意可知， 当 x 过小或过大时箱子容积很小， 所以最60大值出

21、现在极值点处事实上，可导函数 v (x)x 2h60 x2x3、v (x)(602x) 2 x 在各自的定义域中都只有一个极值2点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值例 5 圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解析：转化为数学问题就是，圆柱的体积是一个定值时，求表面积最小时，高与半径的比值。答案 : 设圆柱的高为 h，底半径为 r，则表面积s=2 rh+2 r2由 v= r2h，得 hv 2 ，则rs(r)= 2 r v 2+ 2 r2= 2v +2 r2rr用心爱心专心7令 s ( r)2v+4

22、r=0r2解得， r= 3 v，从而 h=v2=v= 3 4v=2 3 v2r( 3 v ) 22即 h=2r因为 s(r) 只有一个极值，所以它是最小值答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省思考： 当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值s 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？22s2 r提示： s=2 rh + 2 rh=v( r)=s2 r 2r2 = 1 ( s 2 r2 )r1 sr r 32 r22v ( r) )=0s 6 r 26 r22 rh2 r 2h2r 例 6已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线y 4 x2 在 x 轴上方的曲线上， 求这种矩形

23、中面积最大者的边长解：设位于抛物线上的矩形的一个顶点为（x， y），且 x 0，y 0，则另一个在抛物线上的顶点为（x， y），在 x 轴上的两个顶点为（ x， 0）、（x， 0），其中 0 x 2设矩形的面积为 s，则 s 2 x（ 4x2）， 0 x 2由 s（ x） 8 6 x2 0，得 x 23 ，易知3x 4 是 s 在（ 0， 2）上的极值点，3即是最大值点，所以这种矩形中面积最大者的边长为23 和 833例 7 要建一个圆柱形无盖的粮仓，要求它的容积为500m3 ，问如何选择它的直径和高，才能使所用材料最省？解析：欲使材料最省，实际上是使表面积最小。d22000答案： 设直径为d

24、，高为h，表面积为s，由h，得2500hd2 d2d 220002000又 s dh，而 sd224d2d令 s0 ，即 d20000 ，得 d350035002，此时h2d 2 0d23 500 时， s0 ； d23 500时， s0 ，用心爱心专心8所以，当 d23 500 ， d3 500 ，用料最省点评：用料最省、造价最低一般都是与表面积有关，此类问题的求解思路是找到变量之间的关系，再借助关系列出函数式，然后通过导数予以求解例 8用宽为 a、长为 b 的三块木板，做成一个断面为梯形的水槽（如图 2），问斜角 多大时，槽的流量最大？最大流量是多少？解析：槽的流量与槽的横截面面积有关，横

25、截面面积越大，槽的流量就越大，因此，求槽的流量最大，其实就是求横截面面积的最大值设横截面面积为 ，则1( abed )cd ss2答案：由于 ab a2a cos ， cdasin，因此 s1 a( a2a cos )a sina2 sin(1cos ) 0 22又 sa2 (2cos2cos1) ，令 s0，即 a2 (2cos 2cos 1)0 ，得 cos1 或 cos1 2由于 0，得 cos1 ，2那么 cos1 ，此时23 当 0时， s0；当 时， s0 ，332所以，当时，横截面的面积最大；此时，槽的流量最大3点评：流量最大、横梁的强度最大等都与横截面的面积有关，而面积又往往与

26、三角联系在一起，根据题目条件找出各量之间的关系是求解此类问题的关键例 9 一书店预计一年内要销售某种书 15 万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费 30 元，每千册书存放一年要耗库费 40 元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？解：设每次进书x 千册 (0x 150) ，手续费与库存费之和为y 元，由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即x ，故有2x(0,15)15(15,150)yy极小值15030x40， y450020( x15)( x15)y22202，令 y 0，得 x 15，列表如右：xxx所以当 x 15

27、时， y 取得极小值，且极小值唯一，故当 x 15 时， y 取得最小值，此时进货次数为150（次）1015用心爱心专心9即该书店分10 次进货，每次进15000 册书，所付手续费与库存费之和最少【作业】 课堂作业1 ( 知识点 1)一质点做直线运动, 由始点起经过 ts 后的距离为 s= 1 t 45 t33t 2, 则速度为零的时刻是43（）a. 0s 与 2s末b.3s末c.0s与 3s 末 d.0s,2s,3s末2（知识点 1）用边长为 48cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起， 就能焊接成铁盒， 所做铁盒容积最大时， 在四角截

28、去的正方形的边长为（）a 6cmb 8cm c 10cmd 12cm3 ( 知识点 1) 要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则其高应为（）a 203 cmb 100cmc 20cmd20 cm334. 若一球的半径为 r , 作内接于球的圆柱 , 则其侧面积最大为a.2 r 2b. r 2c.4 r 2d. 1 r 225. 以长为 10 的线段 ab为直径作半圆 , 则它的内接矩形面积的最大值为a.10b.15c.25d.506.( 知识点 1) 如图 , 将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形, 再沿虚线折起 , 做成一个无盖的正六棱柱容器当这个正

29、六棱柱容器的底面边长为_ 时, 其容积最大7. (知识点 1) 一面靠墙三面用栏杆，围成一个矩形场地，如果栏杆长40cm，要使围成的场地面积最大，靠墙的边应该为cm8 ( 知识点 1)某商场从生产厂家以每件 20元购进一批商品 , 若该商品的零售价定为p 元，则销售量 q（单位：件）与零售价（单位：元）有如下关系2pq 8300 170 p p 问该商品零售价定为多少元时，毛利润 l 最大，并求出最大毛利润 课后作业9. 当室内的有毒细菌开始增加时 , 就要使用杀菌剂 . 刚开始使用的时候 , 细菌数量还会继续增加 , 随着时间的增加 , 它增加幅度逐渐变小 , 到一定时间 , 细菌数量开始减

30、少 . 如果使用杀菌剂 t 小时后的细菌数量为b(t)=105+104t-103t2.(1) 求细菌在 t=5 与 t=10 时的瞬时速度；(2) 细菌在哪段时间增加 , 在哪段时间减少 ?为什么 ?10. 一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在aed断面 abcd的面积为定值 s 时，使得湿周 l =ab+bc+cd最小，这样可使水流h阻力小，渗透少，求此时的高h 和下底边长 b.60 0bc11. 有甲、乙两城，甲城位于一直线形河岸，乙城离岸40 千米，乙城到岸b的垂足与甲城相距50 千米，两城在此河边合设一水厂取水，从水厂到甲用心爱心专心10城和乙城的水管费用分别为

31、每千米500 元和 700 元，问水厂应设在河边的何处，才能使水管费用最省？ 家庭作业12. 请你的父母与你一起围建一个面积为512 平方米的矩形堆料场 , 为充分利用已有资源，可以利用原有的墙壁作为一边，其他三边需要砌新的墙壁. 如何设才能使砌壁所用的材料最省？【作业参考答案】 课堂作业1.dst35t26t t (t2)( t3) ，令 s0，得 t0,2,3 .2.a设箱底边长为xcm，则箱高 h48 x cm，得箱子容积 v ( x) x2h48 x2x3(0x48) 则22v ( x)48x3x2(0 x48)，令 v ( x) 0，解得 x32 ， x0 （删掉） ，所以当x32 ，即2h4832时，体积取得最大值 .26 cm3.a设母线和底面所成的角等于(0,) ，1218000则 r20cos， h20sin， vr 2 h(20