圆锥曲线解答题的策略

1、攻克圆锥曲线解答题的策略1. 直线方程的形式(1 )直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。(2 )与直线相关的重要内容倾斜角与斜率k tan ,0,)精选点到直线的距离dAXo By。CA2 B2夹角公式：tank2人1k?ki(3 )弦长公式y2直线 y kx b上两点 A(X|, yj, B(x2, y2)间的距离：AB x/1 k2 为 x2、(1 k2)(x x2)2 4X2或 AB(4)两条直线的位置关系 h l2k,k2=-1 hl2k,k2且db22、圆锥曲线方程及性质(1) 、椭圆的方程的形式有几种？(三种形式)2 2标准方程： 1(m 0,n0且 m

2、n)m n距离式方程：.(x c)2 y2. (x c)2 y2 2a参数方程：x a cos , y bsi n(2) 、双曲线的方程的形式有两种2 2标准方程：1(m n 0) m n距离式方程：|：(x c)2 y2, (x c)2 y2 | 2a(3) 、三种圆锥曲线的通径你记得吗？2 2椭圆：生；双曲线：也；抛物线：2p、圆锥曲线的定义你记清楚了吗?2 2如：已知F2是椭圆 亍 刍 1的两个焦点，平面内一个动点M满足MFMF? 2则动点M的轨迹是（A、双曲线；B、双曲线的一支；C、两条射线；D、一条射线、焦点三角形面积公式：P在椭圆上时，S f1pf2 b2tan?F1PF2P在双曲

3、线上时，S F1 pf2b2 cot -I pf |2 | pf |2 4c2 uur uuun lot uujir|PFi| | PF2 |(其中 F1PF2,cos 12,PF1?PF2 |PF1|PF2|cos )、记住焦半径公式：（1）椭圆焦点在x轴上时为a ex（）;焦点在y轴上时为a ey0，可简记为“左加右减，上加下减”。（2）双曲线焦点在x轴上时为e| Xo | a（3）抛物线焦点在x轴上时为|X11号,焦点在y轴上时为呵号、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗?第二、方法储备1、点差法（中点弦问题）设 A x1, y1、B X2, y2 ，M a,b为椭圆1的弦AB中点则有X1

4、X2X-I22X2y2431 ;两式相减得2X12X24X2y1y2 y1 y233a4b2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式0,以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点 代心力）,B（X2,y2），将这两点代入曲线方程得到幔两个式子，然后整体消元若有两个字母未知数，则要找到它们的联若有向量的关系,系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点 A、B、F共线解决之。则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为ykx b，就意味着

5、k存在。A是椭圆短轴的一个端点（点 A在y轴正例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆 4x2 5y2 80上，且点半轴上）.（1 ）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程；（2）若角A为90，AD垂直BC于D,试求点D的轨迹方程.分析：第一问抓住重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率,从而写出直线 BC的方程。第二问抓住角A为90可得出AB丄AC,从而得x1x2 y1 y2 14（ y1然后利用联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方程;解：(1 )设 B ( Xi, yi ),C(X2,y2 ),BC 中点为(x,y),F(2,0)2则有生202里162匹116两

6、式作差有(X1 X2)(X1 X2)(y1 y2)(y1 y2)XF（2,0）为三角形重心,直线BC的方程为6x2)由 AB丄 AC得 x1 x2设直线BC方程为yX110kb4 5k2y18ky24 5k9b24 5k232b162016y0k40 (1)所以由竺X235y 2802，得X03，由y1 y243y。代入（1 ）得k 6y”2 14(y1 y2) 160(2)kxx1x20，解得b,代入 4x2 5y280，得（45k2)x2 10bkx5b2805b2804 5k2心翌代入（2）式得4 5kb 4(舍)或 b -9直线过定点（0，1，即 9y2 9x232y所以所求点D的轨迹

7、方程是x2 (y I6)2(却)2(丫 4)。994、设而不求法例2、如图，已知梯形ABCD中AB 2CD，点E分有向线段AC所成的比为,双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当I4时，求双曲线离心率e的取值范围。分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综c合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系xOy，如图，若设C 2,h，代入2 2求得h L，进而求得xE L ,yE L ,再代入 笃 与1，建立目标函数f (a,b,c, a b0,整理f (e, ) 0，此运算量可见是难上加难.我们对h可米取设而不求的解题策略，建立目标函数f(a,b,c,

8、 )0，整理f(e, )0 ,化繁为简.解法一：如图，以AB为垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，贝U CD丄y轴因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知 C、D关于y轴对称依题意，记A c, 0，C |,h ，E X0, y0，其中1c -| AB|为双曲线的半焦距，h是梯形的高,由定比分点坐标公式得cc -x2X012设双曲线的方程为与a2古1，则离心率e fX由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和C代入双曲线方程得a由式得e2 h2er J，h2b2h2b21141，4精选将式代入式，整理得2e4 412,4e22313e22故2由题设23解得所

9、以双曲线的离心率的取值范围为.7 , J0分析：考虑AE , AC为焦半径，可用焦半径公式,AE , AC用E,C的横坐标表示，回避h的计算,达到设而不求的解题策略.解法二：建系同解法一， AEa exE , AC a exC ,Xecc -212 clAE厂,又治，代入整理精选2 331 23 e2 2 4解得所以双曲线的离心率的取值范围为. 7 , 105、判别式法例3已知双曲线c 匸 兰1，直线I过点A .2,0，斜率为k，当0 k 1时，双曲线的上支上2 2有且仅有一点B到直线I的距离为2，试求k的值及此时点B的坐标。分析1:解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合

10、必然是研究解析 几何问题的重要手段.从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B作与I平行的直线，必与双曲线 C相切.而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式0.由此出发，可设计如下解题思路：I : y k(x 坛 0 k 1直线I在I的上方且到直线I的距离为12把直线I的方程代入双曲线方程，消去y，令判别式I: y kx 2k22 2k解得k的值解题过程略.分析2 :如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线I的距离为J2 ”，相当于化归的方程有唯一解.据此设计出如下解题思路：简解：设点M(x, . 2 x2)为双曲线C上支上任一点，则点M至

11、U直线I的距离为:kx 2 x22k于是，问题即可转化为如上关于 x的方程.由于0 k 1，所以 2 x2x kx，从而有kx V2 x22kkx V2 x2 V2k.于是关于x的方程kx 2 x2、2k2(k2 1) 2 2 2 x2( 2(k2 1).2k kx)2,.2( k21) 2k kx 0k21 x2 2k 2( k21) 2kx 2(k21) 2k 20,2( k21) 2k kx 0.由0 k 1可知：厂_2方程k2 1 x22k . 2(k2 1). 2k x . 2(k2 1),2k 2 0 的二根同正，故.2(k21).2k $20.；2(k21),2k kx 0恒成立

12、，于是 等价于k21 x2 2k . 2(k21).2k x由如上关于x的方程有唯一解，得其判别式0 ,点评：上述解法紧扣解题目标,不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性例4已知椭圆C:x2 2y2 8和点P( 4，1)，过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上AP取点Q，使 pbAQ_D，求动点Q的轨迹所在曲线的方程QB分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解.因此，首先是选定参数，然后想方设法将点 Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的由于点Q(x,y)的变化是由直线AB的变化引起的，

13、自然可选择直线 AB的斜率k作为参数，如何将x,y与k联系起来？ 一方面利用点 Q在直线AB上；另一方面就是运用题目条件:APPBAQQB来转化由A、B、P、Q四点共线，不难得到x 4(xa xb) 2xaxb，要建立x与k的关系，只需将直线 8 (Xa Xb)AB的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可.通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数.在得到x f k之后,程(不含k)，则可由化消去参的过程。简解：设A Xi , yi解之得：x4(xi程:AP AQPB QBx 4(Xa Xb) 2XaXb8(XaXb )将直线方程代入椭圆方程，消去y

14、,利用韦达定理x f k利用点Q满足直线AB的方程：y = k (x 4)+1，消去参数k点Q的轨迹方程如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参,目的不过是得到关于x,y的方y k(x 4)1解得k 丄,x 4AP,b(X2, y2),Q(x,y)，则由丘X2) 2XiX28(XiX2)直接代入xQi可得:CD设直线AB的方程为:y k(x 4)1，代入椭圆C的方程,f k即可得到轨迹方程。从而简4 x1 x24x x1 x2 x消去y得出关于x的一元二次方2 k21 x24k(14k)x 2(14k)2804k(4k 1)X1 X22,2k2 1X1X22(1 4k)2 822k 1代入（1

15、），化简得：x4k 3k 2与y k(x 4) 1联立,消去k得：2xy 4 (x 4)0.在（2 ）中，由264 k 64 k 240 ,解得210，结合（3）可求得4162 10 x 16 2 1099故知点Q的轨迹方程为：2x y 40(16 2.10916 x9点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定 理模块思维易于想到.这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参 .，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道.6、求根公式法22Ap例5设直线I过点P（ 0，3），和椭圆 J 1顺次交于A、B两点，试求一一的取值

16、范围. 9 4PB分析：本题中，绝大多数同学不难得到：竺=土，但从此后却一筹莫展，问题的根源在于对PBXb题目的整体把握不够.事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或 某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的 一个不等关系.AP x分析1：从第一条想法入手， = 仏已经是一个关系式，但由于有两个变量 Xa,Xb，同时这PBXB两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第 3个变量一一直线 AB的斜率k.问题就转化为如 何将Xa,Xb转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去 y得出关于x的一 元二次方程，

17、其求根公式呼之欲出.简解1 :当直线I垂直于x轴时，可求得APPB当I与x轴不垂直时，设Axi,yi ,B(X2, y2)，直线I的方程为：y kx 3，代入椭圆方程，消去 y 得 9k 4 x 54kx 45027k6 9k259k24因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑k0的情形.所以0时,APPBxixiX2254k)227k6 9k 5，X29k249k 2.9k25 彳一 =159k 2.9k22180 9k27k 6 9k2 59 k2418k189k 2 9k2595k2精选所以综上1 APPB182 95k2分析2:如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式

18、往往是产生不等的根源判别式值的非负性可以很快确定 k的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k联系起来.一般APx来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于-1不PB x2是关于XX2的对称关系式原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于XX2 的对称关系式.简解2 :设直线I的方程为：y kx 3，代入椭圆方程，消去y得2 29k 4 x54kx 45 0(*)令生X2，则，丄2324 k245k220.在（*）中，由判别式0,可得k2从而有324 k236，所以54245k2054kXi X2则9k445 X1X22.9k 459，1 361

19、4- 2 36，解得-5.55结合01 得11.5综上，彳 AP11 .PB5点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法, 函数的性质法，数形结合法等等本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部 所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能 决胜千里.第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解 的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达 到解题目标，

20、得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系 (充分性、必要性、充要性等)，做到思考缜密、推理严密。通过编写思维流程图来锤炼自己的大 脑，快速提高解题能力。例6椭圆长轴端点为A,B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且AF FB 1 , |of 1.(I)求椭圆的标准方程；(U)记椭圆的上顶点为M，直线I交椭圆于P,Q两点，问：是否存在直线I，使点F恰为PQM,PQ MF,MP FQ k PQ 1的垂心？若存在，求出直线I的方程;若不存在，请说明理由 思维流程：两根之和，得出关于两根之积uuir uuir MP ? FQ 0m的方程解出m(I)uur uuuuiur

21、由 AF ? FB 1，OF1a 2,b 14 写出椭圆方程(a c)(a c) 1，c 1yxm消元2 23x 4mx 2m 20x22 y 22由F为PQM的重心解题过程:(I)如图建系，设椭圆方程为2 x2 a2y21(a bb20),则 c 1又 v AF FB 1 即(a c) (ac)221 a c a222故椭圆方程为Xy2 12(U)假设存在直线|交椭圆于P,Q两点，且F恰为PQM的垂心，则设 P(xi,yi),Q(X2,y2)，v M (0,1),F(1,0)，故 kpQ 1 ,于是设直线l为y x m，由 2 X 2 m 得，3x2 4mx 2m220x2 2y22uur

22、uuuv MP FQ 0 xx2 1) y2(y1 1)又 y 为 m(i 1,2)得 x1(x2 1) (x2 m)(x-i m 1)0 即2x1x2 (x1 x2)(m 1) m2 m 0 由韦达定理得22m 2 4m22 (m 1) m m 03 34 4解得m -或m 1 (舍) 经检验m-符合条件.33点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两向量乘积为零.3 例7、已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A( 2,0)、B(2,0)、C占八、(I)求椭圆E的方程:(U)若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，F( 1,0), H (1,0)，当 DFH内

23、切圆的面积最大时，求 DFH内心的坐标;设方程为mx2 ny21得到m, n的方程思维流程：由椭圆经过 A、B、C三点(I)解出m, n(u) 由 DFH内切圆面积最大* 转化为 DFH面积最大得出D点坐标为0,转化为点D的纵坐标的绝对值最大最大一D为椭圆短轴端点J34DFH面积最大值为1S DFH周长r内切圆-r内切圆-2L解题过程：(I)设椭圆方程为 mx2 ny21 m 0,n 0 将 A( 2,0)、B(2,0)、C(1?)代， 2入椭圆E的方程，得討椭圆E的方程234m 1,9 解得m m n 141(U) | FH | 2，设 DFH 边上的高为 Sdfh - 2 h h当点D在椭

24、圆的上顶点时，h最大为，所以S dfh的最大值为3 .1&ADFH的内切圆的半径为R，因为 DFH的周长为定值6 所以，S dfh 一 R 62所以R的最大值为五.所以内切圆圆心的坐标为(0逅)33S的内切圆2的周长的内切圆例8、已知定点C( 1,)及椭圆x2 3y25 ,过点C的动直线与椭圆相交于 A, B两点.1(I)若线段AB中点的横坐标是 -,2求直线AB的方程;(U)在x轴上是否存在点 M，使MAMB为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在,请说明理由.思维流程:(I)解：依题意，直线 AB的斜率存在，设直线AB的方程为y k(x 1),将 y k(x 1)代入 x2 3y2消去y整

25、理得(3k2 1)x26k2x 3k250.设 A(x!，%)，B(x2，y2)，36k4 4(3k2 1)(3k2则6k2x1 x 2.13k2 15)0,(1)由线段AB中点的横坐标是3k23k2 112，解得k扌，符合题意。所以直线AB的方程为xGy(U)解：假设在x轴上存在点(m,0)，使 MAMB为常数.当直线AB与x轴不垂直时，由(I)知Xi3k2x1x23k253k2 1uu 所以MAuurMB (x1 m)(x2 m) y1y2 (x1 m)(x2m) k2(x11)(X21)(k2彷必(k2 m)(x.| x2) k2m2.整理得UULT UULTMA MB2(6m 1)k5

26、 m23k2 11214(2 m -)(3k2 1) 2m - 333k2 12m6m23(3k141)注意到MA MB是与k无关的常数,从而有6m 14 0,UUT此时MAujirMB 当直线AB与x轴垂直时，此时点A, B的坐标分别为，当7时，亦UJU UUT 4 有 MA MB - 9综上，在x轴上存在定点M- ,03，使MA MB为常数.出壮(6m 1)k2 52点石成金：MA MB2m3k2 1(2 m1214)(3k2 1) 2m -332 m3k2 1m2 2m16m 1432 3(3k1)例9、已知椭圆的中心在原点，焦点在 x轴上，长轴长疋短轴长的2倍且经过点M （2, 1），

27、平的直线I在y轴上的截距为m （m工0）, l交椭圆于A、行于0MB两个不同点。求椭圆的方程;求m的取值范围;(K)求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.思维流程:解：（1）设椭圆方程为2 y b21(a b 0)a 2b则41 解得飞J 1 a b2 ab22椭圆方程为8（n）v直线I平行于om ,且在y轴上的截距为m1y 2x由 22x y8 2I的方程为:1又 Kom =2m2 2x 2mx 2m 40直线I与椭圆交于A、B两个不同点,(2m)2解得2 m4(2m22,且m4) 0,0（E）设直线MA、MB的斜率分别为ki,k2，只需证明ki+k2=0即可则kiyi ,k2y2

28、1x12X22由x2mx 2m240可得XiX22m, x1x22m2 4设 A(xi, yi), B(X2, y2),且Xix22m,x1x22m2 4而 k1 k2y1 1y2 1 (y11) (X22) (y2 1)(X12)x12X22(X12)(X22)J(x1 m21)(X22)(x2 m21)(X12)(Xi2)(X22)x1x2 (m 2)( x1 x2) 4(m 1)(X12)(X22)2 m24 (m 2)( 2m) 4(m 1)(X12)(X2 2)2 m224 2m 4m 4m 40(X1 2)(X22)0故直线MA -、MB与x轴始终围成一个等腰三角形点石成金：直线M

29、A、MB与x轴始终围成一个等腰三角形ki k2 02X例10、已知双曲线飞a2b)的直线到原点的距离是.2古1的离心率e -3-，过A(a,0),B(0,(1)求双曲线的方程;的值)已知直线kx5(k0)交双曲线于不同的点C，D且C,D都在以B为圆心的圆上，求k思维流程:解：t(1)2,原点到直线AB:仝的距离dab一 a 21, ab2.3故所求双曲线方程为(2 )把y kx 5代入x 23y23中消去y,整理得(12 23k )x30kx设 C(X1, yj, D(X2, y2),CD 的中点是 E(Xo,y。)，则Xok BEX1X22y1X015 k3k 21k .y 0 kx 055

30、-13 kXokyo0,15 k即厂訐5k1 3k 2k 0,又 k 0,故所求k= 土，. 7 .点石成金：C , D都在以B为圆心的圆上BC=BD BE丄CD;例11、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为 3 , 最小值为1 .(I)求椭圆C的标准方程；(II)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点(A、B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证：直线l过定点,并求出该定点的坐标.思维流程:2xac 3, a c 1,解：(I)由题意设椭圆的标准方程为2y_b21(a0),a1,2 2a c设 A(X1,y kx2 2x y43得(3 4k2)x2由已知得:a 2, cb2(II)联立3%), BE y2).m,椭圆的标准方程为2y_31.8mkx24( m 3)0 ,2 264m k 16(38mkX1 X23 4k4( m23)X1X22 .3 4k2 24k )(m3)0,即 3 4k2又 y1y2 (kNm)(kx22m) kmk(x1 x2)m23(m2 4k2)3 4k2因为以AB为直径的圆