拉格朗日插值法理论及误差分析

1、浅析拉格朗日插值法目录：一、引言二、插值及多项式插值的介绍三、拉格朗日插值的理论及实验四、拉格朗日插值多项式的截断误差及实用估计式五、参考文献一、引言插值在数学发展史上是个古老问题。插值是和拉格朗日（Lagrange）、牛顿 （Newton）、高斯（GausS等著名数学家的名字连在一起的。在科学研究和日 常生活中，常常会遇到计算函数值等一类问题。插值法有很丰富的历史渊源，它 最初来源人们对天体研究一一有若干观测点（我们称为节点）计算任意时刻星球 的位置（插值点和插值）。现在，人们在诸如机械加工等工程技术和数据处理等 科研都有很好的应用，最常见的应用就是气象预报。插值理论和方法能解决在实 际中当

2、许多函数表达式未知或形式复杂，如何去构造近似表达式及求得在其他节 点处的值的问题。二、插值及多项式插值1、插值问题的描述设已知某函数关系y f （x）在某些离散点上的函数值：XX）X1LLXn 1X nyy。y1LLy n 1yn插值问题：根据这些已知数据来构造函数 y f （x）的一种简单的近似表达式, 以便于计算点X Xi，i 0,1,L ,n的函数值f （X），或计算函数的一阶、二阶导数 值。2、插值的几何意义插值的几何意义如图1所示:3、多项式插值3.1基本概念假设y f(x)是定义在区间a,b上的未知或复杂函数，但一直该函数在点a xo Xi LXn b处的函数值y,yi丄y“。找一

3、个简单的函数，例如函数P(x)，使之满足条件P(x) yi,i 0,1,2,L , n,(3.1)通常把上述XoX1 LXn称为插值节点，把P(x)称为f (x)的插值多项式，条件(3.1 )称为插值条件，并把求P(X)的过程称为插值法3.2插值多项式的存在性和唯一性如果插值函数是如下m次的多项式:Pm(x)mm 1aoxa1xL am 1Xam那么插值函数的构造就是要确定Pm(x)表达式中的m+1个系数ao,a1,L am1,am。由于插值条件包含n+1独立式，只要m=n就可证明插值函数多 项式是唯一存在。实际上，由n+1个插值条件可得naoXon 1axLan1X0anyonaxn 1La

4、n必any1Mnn 1LaXnaxan1Xnanyn这是一个关于ao,ai,L an的n+1阶线性方程组，且其系数矩阵对应的行列式是 线性代数中著名的范德蒙（Van demo nd行列式。该行列式得值为n iVn（Xo,Xi 丄 Xn）（为 Xj）i 1 j 0因为i j时，Xi Xj，所以Vn（X0,Xi,L Xn） 0。从而证明了上述线性方程组的阶是唯一存在的。既满足插值条件的多项式唯一存在。三、拉格朗日插值的理论及实验1、拉格朗日插值的理论拉格朗日（Lagrange）插值公式的基本思想是把 Pn（x）的构造问题转化为n+1个插值基函数h（x）（i0,1,L , n）。首先我们利用节点直接

5、构造如下多项式:其中n 1（X）（XXo)(X Xi)L (X Xn)，n 1（X）(XiXo)L (Xi X1)( XiXi1)L (Xi Xn)容易验证该多项式具有性质li0,1,因此，n次多项式nln(X)ynlk(x)ykk 0定具有性质nLn(xJlk(x)yk h(Xj)yi,i 0,1, L , n,k 0既满足插值条件。我们称Ln(X)为拉格朗日插值多项式，li(X)称为拉格朗日插值及函数。一次拉格朗日插值多项式又叫做线性插值多项式。二次拉格朗日插值多项式又叫做抛物线插值多项式。2、拉格朗日插值实验经过学习掌握拉格朗日插值的理论，学以致用，使学到的知识运用到现实生活中，并运用计

6、算机来解决我们在学习中遇到的一些问题。以下为运用MATLAB软件平台上计行拉格朗日插值问题：x02468101214161820 2224 262830y0.00 0.45 0.75 1.52 2.12 3.40 3 .724.17 5.12 5.45 5.67 6.74 7.31 7.85 8 .45 8.97例：已知在0,30内对应的节点x以及函数值y如表所示，利用拉格朗日插值多项式求在区间x=2.035,x=9.771,x=17.815,x=26.907所对应的函数值。在已知数表函数的条件下，拉格朗日插值多项式可用来计算复杂函数或未知函数的函数值，为此我们首先编写如下利用拉格朗日插值多项

7、式方法计算函数 值的程序：fun cti ony=lagra nge(x0,y0,x)n=le ngth(x0);m=le ngth(x);for i=1:mz=x(i);s=0.0;for k=1: np=1.0;for j=1: nif j=kp=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j);endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;end上述三重循环给出了拉格朗日插值计算多项式计算任何点x处的函数值的过程, 我们把它标记为lagrange.m文件，接下来我们在MATLA平台上进行上述例子中 的数值试验。在Comma nd Win do中输入的命令及结果如下所示： x=0:

8、2:30; y=0.0 0.45 0.75 1.52 2.12 3.40 3.72 4.17 5.12 5.45 5.67 6.74 7.31 7.858.45 8.97; lagra nge(x,y,2.035)ans =0.3290 lagra nge(x,y,9.771)ans =3.2975 lagra nge(x,y,17.815)ans =5.4483 lagra nge(x,y,26.907)ans =8.6519最后，我们根据拉格朗日插值结果，利用plot命令画出未知函数的图像，命令程序如下： x0=0:2:30; y0=lagra nge(x,y,x0); plot(x0,y

9、0)得到的未知函数图像为：四、拉格朗日插值多项式的截断误差及实用估计式1、截断误差在a,b区间上用Ln(x)近似未知或复杂函数f(x)，其截断误差是指Rn x f x Ln x( 4.1)通常称Rn x为拉格朗日插值余额。注意到利用公式(4.1)估计截断误差实际上非常困难。一是因为它要计算函数f (x)的高阶导数，当f(x)很复杂时，计算量很大，而当f(x)没有可用来计算的表达式时，导数无法准确计算；二是因为即使能得到高阶导数的解析式，但由于 的具体位置不知道，所以要估计高阶导数在插值区间上的界一般是非常困难的事情。因此，公式(4.1)并不实用。2、截断误差的实用估计式既然公式(4.1)估计误

10、差时不实用，那么实际中如何估计截断误差呢？假设插值条件中包含n+2组数据f (xj yi, i 0,1,L , n, n 1,那么利用n+1组数据我们可以构造一个n次拉格朗日插值多项式Ln(x)，利用后n+1组数据我们可以构造另一个n次拉格朗日插值多项式L；(x)。利用公式(4.1)知，他们各自的插值余项为f(x) Ln(x)1(n 1)!(n 1( )(xxo)(x XjL (x Xn),f(x) L*n(x)1(n 1)!(n 1( *)(xXj(X X2)L (x Xn 1),两式相减得Ln(x) Ln(x)1(n 1)!1()(xXjL (X Xn)(Xn 1Xo),并可写成1(n 1

11、)!(n 1( )(X M)L (X Xn)L；(x)Ln(x)Xn 1 Xo(4.2)注意到上式中利用fn1( ) fn1( *).该条件在很多情况下是成立的利用式（4.2）可得R(x) f(x) Ln(x)R*(x)f(x) L*n(x)Ln(X)L；(x)Xo Xn 13Ln(X)Xn 1 X。(4.2 )式（4.3）给出了用Ln（x）或L*n（X ）作近似计算时的实用误差估计式，它不需要计算高阶导数，也不用估计插值区间上高阶导数的界。总之，拉格朗日插值法的公式结构紧凑，在理论分析中十分方便，然而在计 算中，但插值点增加或减少时，所对应的基本多项式就得重新计算而且图像发生 很大变化。像逐次线性插值法、牛顿插值法等都是在拉格朗日插值多项式的基础 上