圆柱坐标系下三维非稳态导热微分方程推导

1、柱坐标下导热微分方程的求取笛卡尔坐标系下三维非稳态导热微分方程为:C.:t.:t;:t（a式）通过能量守恒如何得到圆柱坐标下的方程？有 2种方法，一是按照类似笛卡尔坐标的方法, 及傅里叶定律得到；二是由笛卡尔坐标变换得到。方法1参考论文1方法2：以下给出变换过程：转换的目的是用r z消去xyz。涉及多元复合函数求导，可参见同济版微积分（下）第80页例题9。l、.rz（b式）Cl c r汐d；:z（c式） _ _ + _ - + _:y :_:x ：x ；：r；：xj_:x jz-y :r.:y ；z怎么理解这个公式？表示某个式子对变量x求偏导，例如：:t(x,y,z)表示函数.xex.:t（x

2、, y, z）对变量x求偏导，不要被这种写法吓到。直角坐标时，xyz是基本未知量；圆柱坐标时，rz是基本未知量。它们是一一对应的，彼此可以互相表示对方。（b式）就是用r : z表示x （当然，z跟x是不存在函数关系的，即0 , ppt上这么写只是为了形ex式上的对应。）这个公式是怎么来的？涉及多元复合函数求导法则，见同济版微积分（下）第77页“情 形2”用一个简图来理解：假设有一个温度场函数 t（x, y,z），温度t是xyz的函数，把r z看成中间变量，r = x2 y2，二arctanxx类似地，就有.:t ；:r；:t ”T L、rZTjfrtr:r X - X才 ；:t ；:r ；:t

3、t :z= r rL、l、l、l、l、x :r -x x z :x.:t；:t :r 说 厂 ；:t :z ；:t ；：r ；：t 厂=十十=十十0L、L、L、l、L、L、L、L、:y:r月：:y:z/y；r：y：y:t: t（圆柱坐标下z跟直接坐标完全没有变化）z ；z理解了 b式子以后，我们发现这个式子中仍然含有x y，要进步运算消掉 xy:22yx 二 rcos， y 二 rsin , r = x y ，二arctan求导得（如果忘了怎么求看微积分（上）：r _ :( x2 y2):xx2y2=cos ;：:xy. (arctan 丄)x:x_yx2y2sinr2上面两项代入b式，得:r

4、 _ z+11x :r :x 一 xsin=cos 一 -.:r(d)类似地,T _ ;( x2 y2)r sin:yi(arctan y)xr coscos ；：上面两项代入c式,x2y20r rrr=r r:yr :yy : z :y(e)（d）（ e）式实现了用r取代x y的目的。a 将（d）式代入（a式）中的一 C ）项，得:&ex（亠（cos汇亠）（8丄旦卫）x；x汀 r 汀-r r :=cos ( cos 二)-cos (- sin )cr& rsin ；：r :( cos V)crsin jr : / sin；：t(-r汐2-cos2。3 cos粤（4-cos戲 （）.汇（）一匹

5、cos亠（丿） crcrrrr 矽 汐 r r r汐r2sin cos：tsin :；:tr2汐 r2 汐 弟第2个等号是乘进去得到的。第3个等号用到了 “乘积的求导”，看清楚对谁求导谁是变量。 将（e）式代入（a式）中的厶（二！）项，得:.:tcos ；:t、)jrr 厂dycy厶(亠(sin旦亠)(siny:y: r r :tcos ；：t、 cost、 co s ；： / co s ；：t、nr sin牙）初卅rsin/（门w(寻sin宁()“costCo? tCoSt护丁(匸sinrpcos si nco s co st、(九)+(九)r rr r于是，(a)式中的:t:手-:t 1计1:t(_)(_)(_)-2(_)(把、中的结果代进来，-X；x:y:y: r:r r；:rr对应项消去或相加，即可得到该结果）进一步处理，逆运用“乘积的求导”，可得