初中二次函数知识点汇总

1、二次函数知识点一、基本概念：1二次函数的概念：一般地，形如 y =ax 2 +bx +c （ a ，b ，c 是常数， a 0 ）的函数，叫做二次函数。这里需要强调 ：和一元二次方程类似，二次项系数a 0 全体实数的结构特征：2. 二次函数 y =ax 2 +bx +c，而 b ，c可以为零二次函数的定义域是 等号左边是函数，右边是关于自变量 x的二次式， x的最高次数是 2 a ，b ，c是常数， a是二次项系数， b 是一次项系数， c是常数项二、基本形式1. 二次函数基本形式： y =ax 2 的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质x 0 时，y

2、 随 x的增大而增大；x 0向上(0，0)y 轴x的增大而减小； x =0 时， y 有最小值 0 x 0 时，y 随 x的增大而减小；x 0 时，y 随a 0 时，y 随 x 的增大而增大；x 0向上(0，c)y 轴x的增大而减小； x =0 时， y 有最小值 cx 0 时，y 随 x的增大而减小；x 0 时，y 随a h 时，y 随 x的增大而增大；x 0向上(h，0)x=hx的增大而减小； x =h时， y 有最小值 0x h 时，y 随 x 的增大而减小；x h 时，y 随a h 时，y 随 x的增大而增大；x 0向上(h，k)x=hx的增大而减小； x =h 时， y 有最小值 k

3、x h 时，y 随 x的增大而减小；x h 时，y 随a 0) 【或左(h0)【或向下(k 0) 【或左(h0) 【或下(k 0) 【或下(k 0) 【或左(h-时， y 随 x的增大而增大；当 x =-4ac -b 2 b 4 ac -b 2 2 a 4a时， y 随 x的增大而减小；当 x =-方法 2： y =ax 2 +bx +c沿 y轴平移:向上（下）平移 m 个单位， y =ax +bx +c变成y =ax2+bx +c +m （或 y =ax2+bx +c -m ） y =ax2+bx +c沿轴平移：向左（右）平移 m 个单位， y =ax2+bx +c变成y =a( x +m

4、) 2 +b ( x +m) +c（或 y =a ( x -m ) 2 +b ( x -m ) +c）四、二次函数y =a (x-h)+k与y =ax2+bx +c的比较从解析式上看， y =a(x -h)2+k 与 y =ax2+bx +c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即 y =a x + 2a 2+ ，其中 h =- ，k = 4a 2 a 4a五、二次函数y =ax2+bx +c图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数 y =ax2+bx +c化为顶点式 y =a ( x -h )2+k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我

5、们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点 (0，c)、以及(0，c)关于对称轴对称的点 (2h，c )、与x (x，0 )（若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.2画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x 轴的交点，与 y轴的交点 (x，01 轴的交点.)，六、二次函数y =ax2+bx +c的性质1. 当 a 0 时，抛物线开口向上，对称轴为 x =-b2 a，顶点坐标为 - ， 当 x -b b b 2a 2a 2a时， y 有最小值 4a2. 当 a 0 时，抛物线开口向下，对称轴为 x =-b2 a，顶点坐标为 - ， 当 x -b b2 a 2 a时， y

6、有最大值4ac -b4a2七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式： y =ax 2 +bx +c （ a ， b ， c 为常数， a 0 ）；2. 顶点式： y =a ( x -h )2+k （ a， h ， k为常数， a 0 ）；3. 两根式： y =a ( x -x )( x -x )1 2（ a 0 ， x 1， x2是抛物线与 x轴两交点的横坐标）.bbbbbb注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x轴有交点，即 b2-4 ac 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函

7、数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数 a二次函数 y =ax2+bx +c中， a作为二次项系数，显然 a 0 当 a 0 当 a 0 的前提下， 当 b 0 时， - 02 a当 b =0 时， - =02 a当 b 02 a，即抛物线的对称轴在 y 轴左侧；，即抛物线的对称轴就是 y 轴；，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧 在 a 0 时， - 02 a当 b =0 时， - =02 a当 b 0 时， - 0，在 y轴的右侧则 ab 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正；2 当 c =0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与

8、 y 轴交点的纵坐标为 0 ； 当 c 0时，图象与 x 轴交于两点 a (x，0 )，b(x，0)(x x )1 2 1 2，其中的 x ，x 是一元 1 2二次方程 ax2+bx +c =0(a0)的两根这两点间的距离 ab = x -x =2 1b2-4 aca. 当 d=0 时，图象与 x 轴只有一个交点； 当 d0时，图象落在 x轴的上方，无论 x为任何实数，都有 y 0；2 当 a 0 时，图象落在 x 轴的下方，无论 x 为任何实数，都有 y 0 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：d0d=0d0抛物线与 x 两个交点 抛物线与 x 有一个交点 抛物线与

9、 x 交点轴有轴只轴无二次三项式的值可正、 一元二次方程有两个不相等实根 可零、可负二次三项式的值为非 一元二次方程有两个相等的实数根 负二次三项式的值恒为 一元二次方程无实数根.正211二次函数考查重点与常见题型1 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以 x为自变量的二次函数 y =( m -2) x2+m2-m -2的图像经过原点， 则 m 的值是2 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内 考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数 y =kx +b （ ）的图像在第一、二、三象限内，那么函数 y =kx 2

10、+bx -1的图像大致是y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 xa b c d3 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题 和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为 x =53，求这条抛物线的解析式。4 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：已知抛物线 y =ax23+bx +c （a0）与 x 轴的两个交点的横坐标是1、3，与 y 轴交点的纵坐标是（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5考查代数与几何的综合能力，常

11、见的作为专项压轴题。【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号例 1 （1）二次函数 y =ax2c+bx +c 的图像如图 1，则点 m (b, )a在（ ）a第一象限 b第二象限 c第三象限 d 第四象限（2）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图 2 所示，则下列结论：a、b 同号；当 x=1 和 x=3 时，函数值相等；4a+b=0；当 y=-2 时，x 的值只能取 0.其中正确的个数是（ ）a1 个 b2 个 c3 个 d4 个(1) (2)【点评】弄清抛物线的位置与系数 a，b，c 之间的关系，是解决问题的关键例 2.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴

12、交于点(-2，o)、(x ，0) ，且 1x 2，与 y 轴的正半轴的交点在点(o，2)的下方下列结论：abo；4a+co，其中正确结论 的个数为( )11 21 2212 11 2 11112a 1 个 b. 2 个 c. 3 个 d4 个答案：d会用待定系数法求二次函数解析式例 3.已知：关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=3 的一个根为 x=-2，且二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴是直 线 x=2，则抛物线的顶点坐标为( )a(2，-3) b.(2，1) c(2，3) d(3，2)答案：c例 4、（2006 年烟台市）如图（单位：m ），等腰三角形 abc 以 2 米/秒

13、的速度沿直线 l 向正方形移动， 直到 ab 与 cd 重合设 x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为 ym2（1） 写出 y 与 x 的关系式；（2） 当 x=2，3.5 时，y 分别是多少？（3 ）当重叠部分的面积是正方形面积的一半 三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、 对称轴.时，例 5、已知抛物线 y=1 5x2+x- 2 2（1） 用配方法求它的顶点坐标和对称轴（2） 若该抛物线与 x 轴的两个交点为 a、b，求线段 ab 的长【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方 程的关系例 6.已知：二次函数 y=ax2-(b+1)x-3

14、a 的图象经过点 p(4，10)，交 x 轴于 a( x ,0)1，b ( x ,0) 2两点 ( x aco?若存在，请你 求出 m 点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由(1) 解：如图抛物线交 x 轴于点 a(x ，0)，b(x2，o)，则 x x =30，又x o，x o，30a=ob，x =-3x x x =-3x 2=-3x 2=1.x 0，x =-1x =3 点 a(-1，o)，p(4，10)代入解析式得解得 a=2 b=3二次函数的解析式为 y-2x2-4x-6(2) 存在点 m 使mc0aco(2) 解：点 a 关于 y 轴的对称点 a(1，o)，直线 a，c 解析式为

15、 y=6x-6 直线 ac 与抛物线交点为(0，-6)，(5，24)符合题意的 x 的范围为-1x0 或 ox5当点 m 的横坐标满足-1xo 或 oxaco1例 7、 “已知函数 y = x22+bx +c的图象经过点 a（c，2），求证：这个二次函数图象的对称轴是 x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。 （1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。 点评： 对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求

16、出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是 x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点 a（c，2）”，就可以 列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（ 2） 小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（ 1 ）小题中的解析式就可以了。而从不同 的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标 或与坐标轴的一个交点的坐标等。 解 答 （ 1 ） 根 据 y =12x2+bx +c的 图 象 经 过 点 a （ c ， 2 ）， 图 象的 对 称 轴是 x=3 ，得1c 2 +bc +

17、c =-2, 2 b- =3,1 2 2解得b =-3, c =2.1所以所求二次函数解析式为 y = x 2 -3 x +2. 图象如图所示。21（2）在解析式中令 y=0，得 x22-3 x +2 =0，解得 x =3 + 5, x =3 - 5.1 2所以可以填“抛物线与 x 轴的一个交点的坐标是（3+ 标是 (3 - 5,0).5令 x=3 代入解析式，得 y =- ,25,0)”或“抛物线与 x 轴的一个交点的坐所以抛物线 y =12x 2 -3 x +25的顶点坐标为 (3,- ),25所以也可以填抛物线的顶点坐标为 (3,- )2等等。函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等

18、）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函 数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的 联系。用二次函数解决最值问题例 1 已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 abcde（如图），其中 af=2，bf=1试在 ab 上 求一点 p，使矩形 pndm 有最大面积【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考 查学生的综合应用能力同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间例 2 某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间的 关系如下表：x （元）y （

19、件）1 2 35 0 02 2 15 0 0若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数（1） 求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式；（2） 要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？ 此时每日销售利润是多少 元？【解析】（1）设此一次函数表达式为 y=kx+b则 表达式为 y=-x+4015k +b =25, 2 k +b =20解得 k=-1，b=40，即一次函数（2）设每件产品的销售价应定为 x 元，所获销售利润为 w 元w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225 产品的销售价应定为 25 元，此时每日获得最大销售利润为 225

20、 元【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数 在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中， “某某”要设为自变量，“什么”要 设为函数；（2）问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程例 3.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为 4 m ，距地面均为 1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平 距离 1m、25 m 处绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶已知学生丙的身高是 15 m，则学 生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)( )a15 m b1625

21、 mc166 m d167 m分析：本题考查二次函数的应用答案：b知识点一、平面直角坐标系1，平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做 x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴，取向上为正 方向；两轴的交点 o（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标 平面。为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被 x 轴和 y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第 一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x 轴和 y 轴上的点，不属于任何象限。2、点的坐标的概念点的坐标用（ a，b ）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当 a b 标。知识点二、不同位置的点的坐标的特征 1 、各象限内点的坐标的特征点 p(x,y)在第一象限 x 0, y 0点 p(x,y)在第二象限 x 0点 p(x,y)在第三象限 x 0, y 0, y 0b 的符号b0函数图像y0 xy图像特征图像经过一、二、三象限，y 随 x 的增大而增大。b0k00 xy0 x图像经过一、三、四象限，y 随 x 的增大而增大。图像经