圆的培优专题含解答

1、圆的培优专题1 与圆有关的角度计算一运用辅助圆求角度1、如图， ABC 内有一点 D, DA = DB = DC，若 DAB = 20 , DAC = 30 ,则 BDC =. ( BDC = -2-BAC = 100 )2、 如图，AE = BE = DE = BC = DC,若 C= 100 ，贝U BAD =. ( 50 )3、如图，四边形 ABCD 中，AB = AC = AD , CBD = 20 , BDC = 30，贝UBAD =.( BAD = BAC + CAD = 40 + 60 = 100 )第1题第2题第3题解题策略：通过添加辅助圆，把问题转化成同弧所对的圆周角与圆心角

2、问题，思维更明朗!4、如图，口 ABCD中，点E为AB、BC的垂直平分线的交点，若D = 60 ,则AEC =.(AEC =2 B = 2 D = 120 )5、如图,O是四边形ABCD内一点，OA = OB = OC,ABC =ADC = 70 ,则DAO + DCO =(所求=360 ADC AOC = 150 )6、如图，四边形 ABCD 中， ACB = ADB = 90 , ADC = 25，贝卩 ABC =(ABC = ADC = 25 )第4题第5题第6题解题策略：第6题有两个直角三角形共斜边，由直角所对的弦为直径，易得到ACBD共圆.精选圆的培优专题2与垂径定理有关的计算运用圆

3、周角和圆心角相互转化求角度7、如图，AB为O O的直径，C为Ab的中点,D为半圆 Ab 上丿,贝yADC =8、如图，AB为O O的直径,CD过OA的中点E并垂直于OA，则ABC =9、如图，AB为O O的直径，BC 3AC，则ABC =解题策略:10、如图,C9、22.5 ;10、 40 ;以弧去寻找同弧所对的圆周角与圆心角是解决这类问题的捷径!AB为O O的直径，点C、D在O O上， BAC = 50，则ADC =11、如图,O O 的半径为 1,弦 AB = 2，弦 AC = 3，贝y BOC =12、如图,PAB、PCD是O O的两条割线，PAB过圆心O,若Ac Cd ,P= 30 ,

4、则 BDC =.（设 ADC = x，即可展开解决问题）精选第10题第11题第12题解题策略：在连接半径时，时常会伴随出现特殊三角形一一等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形或等边三角形，是解题的另一个关键点！圆的四接四边形的外角等于内对角，是一个非常好用的一个重要性质!1、如图，AB是O O的弦，OD AB，垂足为 C,交O O于点D，点E在O O上，若 BED=30 , O O的半径为4，则弦AB的长是.略解： OD AB , AB = 2AC，且 ACO = 90 ,BED = 30 , AOC = 2 BED = 60OAC = 30 , OC= 1 OA = 2,贝U AC = 2、

5、3，因此 AB = 4、3 .2、如图，弦 AB垂直于O O的直径CD , OA = 5, AB = 6,贝U BC =1 略解：直径 CD 弦 AB , AE = BE =1 AB=3 OE = 52 3 4，贝U CE= 5+ 4 = 9 BC =、. 92 323.10第1题第2题第3题3、如图，O O的半径为25 ,弦ABCD ,垂足为 P, AB = 8, CD = 6,贝U OP=略解：如图，过点 O作OE AB , OF CD，连接OB , OD. 则 BE = 2 AB = 4, DF = CD = 3,且 OB = OD = 2 5OE =(25)2422 , OF =又AB

6、 CD ,则四边形 OEPF是矩形，贝U OP= .22(.11)2154、如图，在O O内，如果 OA = 8 , AB = 12 , A = B = 60 ,则O O的半径为略解：如图，过点 O作OD AB,连接OB,则AD = | AB = 4,因此，BD = 8 , OD= 4、3 OB =、(4、3)2 824 7略解：如图，连接 OC, OD，则5、如图，正 ABC 内接于O O, D 是O O 上一点， DCA = 15 , CD = 10,贝U BC =过点 O 作 OE BC,贝U BC = 2CE = 5 6 ABC为等边三角形，则OCA = OCE = 30 , ODC

7、= OCD = 45 OCD是等腰三角形，则OC = 5、2ODC = OCD73 , CD = 2CF = 2/3第4题第5题第6题如图，O O的直径AB = 4, C为AB的中点，E为OB上一点， AEC = 60 , CE的延长线交O O于点D，贝U CD =略解：如图，连接 OC,贝U OC= 2OCE= 30 C 为 Ab 的中点，贝y OC AB，又 AEC = 60 ,1如图，过点 O 作 OF CD，贝y OF= 2 OC= 1, CF =7、如图，A地测得台风中心在城正西方向300千米的B处，并以每小时10.7千米的速度沿北偏东 60的BF方向移 动，距台风中心200千米范围

8、内是受台风影响的区域问：A地是否受到这次台风的影响？若受到影响，请求 出受影响的时间？解：如图，过点 A作AC BF交于点C,1/ ABF = 30 ，贝U AC = 2 AB = 150 200，因此 A地会受到这次台风影响; 如图，以A为圆心200千米为半径作O A交BF于D、E两点，连接AD , 则 DE = 2CD = 2 .2002 15021007 ,所以受影响的时间为 100、7 10.710 （时）圆的培优专题3圆与全等三角形1、如图，O O的直径AB = 10,弦AC = 6,ACB的平分线交O O于D,求CD的长.BDE = 90 ，即 CDE = 90解：如图，连接 AB

9、 , BD，在CB的延长线上截取 BE = ACACD = BCD , AD = BD又 CAD = EBD , AC = BE CAD EBD ( SAS) CD = DE , ADC = BDE/ AB 为O O 的直径，则ACB = ADB = 90- BC = .102 62 8 ;ADC + CDB = CDB + CDE是等腰直角三角形且 CE= 14 , CD = 7 22、 如图，AB是O O的直径，C是半圆的中点，M、D分别是CB及AB延长线上一点，且 MA = MD，若 CM = 2，求 BD 的长.解：如图，连接 AC,贝U AC = BC , C = 90，即 ABC是

10、等腰直角三角形过点 M 作 MN / AD，贝U NMA =则厶CMN也是等腰直角三角形，则ANC = MBD = 135 ,又 MA = MD , D = NMA = AMN BMD (AAS )BD = MN = 23、如图，AB为O O的直径，点N是半圆的中点，点 C为AN上一点，NC = 3.求BC AC的值.解：如图，连接 AN , BN，则 ABN是等腰直角三角形在BC上截取BD = AC，连接DN/ AN = BN , CAN = DBN , AC = BD ACN BDN ( SAS) CN = DN , CNA = DNB , CND = CNA + AND = ADN +

11、DNB = 90 ，即 CND 是等腰直角三角形 CD = . 2 NC = ,6 , BC AC = BC BD = CD =、6精选圆的培优专题4圆与勾股定理PD CD , CD 交O O 于 A，若 AC = 3, AD = 1 ,4、如图，点A、B、C为O O上三点， Ac Bc ，点M为 Be 上一点，CE AM于E,AE = 5, ME = 3,求 BM 的长.解：如图，在 AM上截取 AN = BM，连接CN , CM./ Ac ?C，二 AC = BC,又 A = B ACN 也厶 BCM (SAS) CN = CM，又 CE AM NE = ME = 3,BM = AN =

12、AE NE = 25、如图，在o o中，p为Bac的中点,求AB的长.解：如图，连接 BP、CP,贝U BP= CP,过点P作PE AB于点E，又PDBEP =CDP BEP CDP (AAS )BE = CD = 3+1 = 4, PE= PD连接 AP,贝 U Rt AEP 也 Rt ADP ( HL ),贝 U AE = AD = 1 AB = AE+BE = 5精选6、如图，AB是O的直径，MN是弦，AEMN 于 E, BF MN 于 F, AB = 10, MN = 8.求BF AE的值.解： AE MN , BF MN，贝U AE / BF, A =如图，延长EO交BF于点G,贝U

13、 AOE = BOG , AO = BO AOE BOG (AAS ),贝U OE = OG过点 O 作 OH MN , FG = 2OH , HN = 4连接 ON,贝 U ON = 5 , OH = 52 42 3 ,贝 U BG AE = FG = 6.1、如图，O O是厶BCN的外接圆，弦 AC BC,点N是AB的中点， BNC = 60 ,亠 BN +求BC的值解：如图，连接 AB，贝U AB为直径， BNA = 90连接AN，则BN = AN，则 ABN是等腰直角三角形 BC = -AB ,2BN /BC =(方法2，过点B作BD CN，即可求解) BN = AB ;又 BAC =

14、 BNC = 60 , 2A3、如图，AB为O O的直径，C为O O上一点,D为CB延长线上一点，且CAD = 452、如图，O O的弦ACBD，且 AC = BD，若 AD = 22，求O O 半径.解：如图，作直径 AE，连接DE,贝U ADE = 90又 AC BD，贝U ADB + DAC = ADB + EDB = 90DAC = EDB，则 Cd ?e , De Bc ,/ ac = bd , Ac Cd，贝y Ad bc De AD = DE，即 ADE是等腰直角三角形AE = J2aD = 4，即O O 的半径为 2AEC = DGC = 90CE AB于点E, DF AB于点

15、F.(1)求证：CE = EF; (2 )若 DF = 2, EF = 4，求 AC.(1)证：T AB 为O O 的直径，CAD = 45 ,则厶ACD是等腰直角三角形，即 AC = DC又 CE AB，贝U CAE = ECB如图，过点C作CG垂直DF的延长线于点 G又CE AB , DF AB，则四边形 CEFG是矩形, EF = CG, CE / DG，贝U ECB = CDG = CAE ACE 也厶 DCG (AAS ),贝U CE = CG = EF(2)略解:AC = CD =、42 622 13.EH = AH = 2 AE=44、如图，AB为O O的直径，CD AB于点D,

16、 CD交AE于点F, Ac Ce .(1) 求证：AF = CF;(2) 若O O的半径为5, AE = 8,求EF的长(1 )证：如图，延长 CD交O O于点G，连接AC直径AB CG,则 Ag Ac CeCAE = ACG，贝y AF = CF(2)解：如图，连接 OC交AE于点H，则OC AE ,OH =43，贝V CH = 5 3= 2设 HF = X，贝V CF = AF = 4 X22233则 x 2(4 x) ， x -，即卩 HF =2 211 EF =25、如图，在O O中，直径CD 弦AB于E，AMBC于M，交CD于N，连接AD.(1)求证：AD = AN ;(2)若 AB

17、 = 4 2，ON = 1，求O O 的半径.(1) 证：T CD AB，AM BCC + CNM = C+ B= 90B= CNM，又 B = D， AND = CNMD = AND，即 AD = AN(2) 解：直径 CD 弦 AB，则 AE = 2 2又 AN = AD，贝U NE = ED如图，连接 OA，设OE = x，贝U NE = ED = x 1OA = OD = 2x 1 x2(2 2)2(2x 1)2，则 x 1 O O的半径OA = 3圆的培优专题5圆中两垂直弦的问题1、在O O中，弦AB CD于E,求证： AOD +证：如图，连接AC ,/ AB CD，贝U CAB +

18、 ACD = 90 又 AOD = 2 ACD , BOC = 2 BACAOD + BOC = 180 .BOC =2、在O O中，弦AB CD于点E,若O O的半径为R，求证：AC2+ BD2= 4R2.证： AB CD，贝UCAB + ACD = 90如图，作直径AM，连接CM则 ACM = ACD + DCM = 90CAB = DCM ,二 bc Dm Cm ?d , CM = BD/ AC2+ CM2= AM2AC2+ BD2= 4R23、在O O中，弦AB CD于点E,若点M为AC的中点，求证 ME BD.证：如图，连接 ME，并延长交BD于点F AB CD，且点M为AC的中点

19、ME为RtAAEC斜边上的中线 AM = MEA = AEM = BEF又 B = C, A + C= 90BEF + B= 90 ，即 BFE = 90 ME BD.精选4、证:5、证:在O O中，弦AB CD于点E,若ON如图，作直径 BF，连接DF,贝U DF BD，又 ON BD ,ON / FD，又 OB = OF1 ON = - DF2连接 AF，贝U AF AB，又 CD AB AF / CDAc ?d ，贝y AC = FD1 ON = - AC2在O O中，弦AB CD于点E,若AC(1)求证：ME/ON ;(2)求证：四边形 OMEN为菱形.(1)如图，延长 ME交OD于点

20、F/ OM AC，则点 M为AC的中点/ AB CD，贝U ME AM = EM,AEM =BD , ON BD 于 N, OM AC 于 M.为Rt ACE的斜边上中线C, A +BEF = 90 MF BD，又 ON MF / ON(2)由(1)知 MF / ONBEFC = 90，贝U BFE=90BD同理可证OM / NE ,四边形OMEN是平行四边形/ AC = BD , OM = ON四边形OMEN为菱形.B/精选圆的培优专题6圆与内角（外角）平分线圆与内角平分线问题往往与线段和有关，实质是对角互补的基本图形1、如图，O O ABC的外接圆，弦 CD平分 ACB， ACB = 90

21、求证：CA + CB = .2 CD.D证：如图，在 CA的延长线上截取 AE = BC ,/ CD 平分 ACB， AD = BD又 DAE = DBC，AE = BC DAE DBC ( SAS) CD = DE，又 ACD = 45 CDE是等腰直角三角形，则 CA + CB = CE = x 2 CD.2、如图，O O ABC的外接圆，弦 CD平分 ACB， ACB = 120，求一CD 的值C解：如图，在 CA的延长线上截取 AE = BC，连DE，AD，BD/ CD 平分 ACB， AD = BD又 DAE = DBC，AE = BC DAE DBC ( SAS) CD = DE，

22、又 ACD = 60 CDE是等边三角形“ CA+CBCD = CE = CA + BC，即-CD= 1X轴于点 A、B，求OA + OB的值.3、如图，过0、M(1,1)的动圆O 01交y轴、解：如图，过点 M作ME y轴，MF x轴, 由M (1，1)知：四边形 OFME是正方形.OE = OF = 4，EM = FM，又 MBF = AEM BFM (AAS )，贝U AE = BF OA + OB = AE + OE+ OF BF = 8.圆中的外角问题往往与线段的差有关4、如图，O O为厶ABC的外接圆，弦 CP平分 ABC的外角 ACQ , ACB = 90 .求证：（1）Pa P

23、b ; (2) AC BC = . 2 PC.证：（1）如图,连接 AP,贝 U PCQ= PABPCQ = PCA，贝U PAB = PCA又?a Pb（2）连接 BP，由（1）得，PA= PB在AC上截取 AD = BC,连PD,又 PAD = PAD PBC ( SAS),贝 U PD= PC又 PCD = 45，则 PCD是等腰直角三角形,5、如图，O O ABC的外接圆，弦 CP平分ABC求bcfcac的值.解：如图，在BC上截取BD = AC，连 AP、BP、DPPCB =PCQ= PBA AP = BP, 又 CAP = DBP CAP DBP ( SAS),贝 U CP= DP

24、又 ACB = 120 ,PCD = 30 ,BC ACPCCDPCZ36、如图，A （4,0）,B(0,4),O经过A、B、O三点,解：如图，在BP上截取BC = AP A (4,0) , B(0, 4)，则 OA = OB = 4又 OAP= OBC OAP OBC (SAS)OC = OP,且 COP = AOB = 90PBAC BC = CD =2 PC.的外角 ACQ , ACB = 120 .点这P为Oa上动点（异于O、A）.B，则書=PO圆的培优专题9与切线有关的角度计算精选切线与一个圆 答案：1、70 ; 2、20 ; 3、80 ; 4、120 ; 5、130 ; 6、45如

25、图，AD BO 0于A , BC为直径，若 ACB = 20，贝U CAD =如图，AP BO 0于P, PB过圆心，B在O 0上，若ABP = 35，贝U APB =3、如图，PA、PB为O 0的切线，C为ACB上一点，若BCA = 50，贝U APB =4、如图，pa、pb为o 0的切线，c为Ab上一点,第3题第4题第1题第2题若 BCA = 150，贝U APB =5、如图，点 0是厶ABC的内切圆的的圆心，若BAC = 80，贝U B0C =第5题如图，PA切O 0于A，若PA= AB , PD平分APB交AB于D，贝U ADP =.（设元，列方程）切线与两个圆7、如图，两同心圆的圆心

26、为 0,大圆的弦 AB、AC分别切小圆于D、E,小圆的De的度数为110 ,则大圆的 Be 的度数为第6题第7题第8题第9题8、 如图，O Oi和O 02交于A、B两点，且点 0i在O 02上，若 D = 110，贝U C=9、 如图，O Oi和O 02外切于D, AB过点D，若 AO2D = 100 , C为优弧Bd上任一点,贝U DCB =答案：7、140 ; & 40 ; 9、50 （过点D作两圆的切线）1、 如图，在O O的内接 ACB中， ABC = 30 , AC的延长线与过点 D的切线BD交于点 D，若O O 的半径为 1，BD/OC，贝U CD =. (CD =-y )2、如图

27、 ABC内接于O O, AB = BC,过点A的切线与 OC的延长线交于 D, BAC = 75 ,CD = , 3，贝U AD =.(AD = 3) 3、如图，O O BCD的外接圆，过点 C的切线交BD的延长线于 A, ACB = 75 ,ABC = 45，则 DB 的值为 .(CD =2 )第1题第2题C第3题A第4题4、如图,AB为O O的直径，弦DC交AB于E,过C作O O的切线交DB的延长线于若 AB = 4, ADC = 45 ,M= 75，贝U CD =5、如图，等边 ABC内接于O O, BD BO O于B, AD BD于D, AD交O O于E,O O的半径为1,贝U AE

28、=.(AE = 1)6、如图， ABC中， C= 90 , BC = 5,O O与ABC的三边相切于 D、E、F,若O O的半径为2,则厶ABC的周长为 .( C= 30)7、如图， ABC 中， C = 90 , AC = 12, BC = 16,点 O 在 AB 上，O O 与 BC 相切于 D,连接 AD，贝U BD =.(示：过 D 作 DE AB，设 CD = DE = x , BD = 10)第5题第6题第7题解题策略：连半径，有垂直；寻找特殊三角形；设元，构建勾股定理列方程圆的培优专题9圆的切线与垂径定理1、如图，AB为O O的直径，C为AE的中点，CD BE于D).D(1)判断

29、DC与O O的位置关系，并说明理由；(2)若DC = 3,O O的半径为5，求DE的长.解：(1) DC是O O的切线，理由如下：r如图，连接 OC, BC，贝U ABC = CBD = OCB OC / BD , 又 CD BE OC CD，又0C为O O的半径 DC是O 0的切线(2)如图，过 0作OF BD，则四边形 OFDC是矩形，且BE = EF - 0F= CD = 3, DF = OC = 5,EF= BF =52324 , DE = DF EF= 12、如图，AB为O O的直径，D是BBC的中点，DE AC交AC的延长线于E,O O的切线 BF交AD的延长线于点F.(1) 求证

30、：DE为O O的切线；(2) 若DE = 3, O O的半径为5，求DF的长.(1)证：显然， CAD = OAD = ODA OD / AE，又 DE AC , OD DE，又OD为O O半径 DE为O O的切线(2)解：如图，过点 O作OG AC,贝U OGDE是矩形，即 OG = DE = 3, DE = OD = 5 AG = 52 32 4，贝y AE = 5 + 4= 9, 92 32 3.102设 DF = X，贝V X连接 BD，贝U BD AD , BD = ,1Q2 (3 JO)2 . 10C1Q)2 =BF = (X 3AO)2 1Q2 , DF = X精选圆的培优专题1

31、0圆的切线与勾股定理OAD且四边形OFEA是矩形DF 于 D，EF DF 于 F.3、如图，四边形 ABCD内接于O O, BD是O O的直径，AE CD于E, DA平分 BDE.(1) 求证：AE是O O的切线；(2) 若 AE = 2, DE = 1,求 CD 的长.(1 )证：如图，连接 0A，贝U ADE = ADO = OA / CD , 又 AE CD OA AE，又OA为O O的半径 AE是O O的切线(2)解：如图，过点 O作OF CD，贝U CD = 2DF ,EF = OA = OD，OF = AE = 2设 DF = x，贝U OD = EF= x 12 2 2 x 2

32、(x 1)， x 1.5CD = 2CF = 2x 34、如图，AE是O O的直径，DF BO O于B，AD(1) 求证：EF + AD = AE ;(2) 若EF = 1，DF = 4,求四边形 ADFE的周长.(1 )证：如图，连接 CE,则四边形CDFE是矩形连接OB交CE于点G,/ DF是O O的切线 OB DF, OB CEBG = CD = EF, OG / AC，又 AO = OE AC = 2OG EF + AD = AC + CD + EF= 2OG+ 2BG = 2OB = AE.(2)解：显然 CE = DF = 4, CD = EF = 1设 AC = x，贝U AD

33、= x 1 , AE = x 22 2 2 x 4 (x 2)，则 x 3，则 AC = 3, AD = 4, AE = 5四边形CDFE的周长为14.精选1、如图，已知点 A是O O上一点，半径 0C的延长线与过点 A的直线交于点 B, OC = BC,1AC = - OB.2(1)求证：AB是O 0的切线；(2)若 ACD = 45 , 0C = 2,求弦CD的长.(1)证：T OC = 0B ,1 AC为OAB的OB边上的中线，又 AC = - OB OAB是直角三角形，且 OAB = 90，又OA为O O的半径 AB是O O的切线AOC = 60D = 30如图，过点A作AECD于点E

34、,(2)解：显然，OA = OC =人。，即厶OAC是等边三角形ACD = 45 , AEC是等腰直角三角形, AE = CE = F 2OC = 2，DE = 3AE = 6 CD =、6、22、如图，PA、PB 切O O 于 A、B,点 M 在 PB 上，且 OM / AP , MN AP 于 N.(1)求证：OM = AN ; (2)若O O的半径r 3 , PA = 9，求OM的长. OA AP，又 MN AP OA / MN，又 OM /AP ,四边形 OANM 是矩形，即 OM = AN(1 )证：如图，连接 OA ,T PA为O O的切线，(2 )解：如图，连接 OB,t PB、

35、PA为O O的切线OBM = MNP = 90 , PB = PA= 9/ OM /AP , OMB = P,又 OB = OA = MN , OBM MNP (AAS ) OM = PM，贝U 32 + OM2=( 9 - OM ) 2,. OM = 53、如图，AB为O O的直径，半径 OC AB , D为AB延长线上一点，过 D作O O的切线,E为切点，连接 CE交AB于F.(1)求证：DE = DF ; (2)连接 AE,若 OF= 1 , BF = 3,求 DE 的长.(1 )证：如图，连接 OE/ PE为O O的切线， OE DE，又 OCABC + CFO =OEF +DEF =

36、 90又 C = OCF,CFO =DFEDEF = DFE , DE = DFn(2)解：显然， OE= OB = OF + BF = 4设 BD = X，贝U DE = DF = X 3 , OD = X 42 2 2 (x 3)4 (x 4) , x 4.5 DE = 7.54、如图，正方形 ABCO的顶点分别在 y轴、X轴上，以AB为弦的O M与X轴相切于F,已知A (0,8)，求圆心M的坐标.解：如图，连接 FM交延长交AB于点ETO M与X轴相切，即 OC是O M的切线 EF OC,又四边形ABCO是正方形EF AB,又 A ( 0, 8)即 AB = EM = OA = 8 AE

37、 = 4设 MF = AM = X，贝U EM = 8 X292 4(8 x) x , X 5，即 MF = 5点M的坐标为(一4, 5)圆的培优专题11 圆的切线与全等三角形1、如图，BD为O O的直径，A为BC的中点，AD交BC于E,过D作O O的切线，交BC的延长线于 F. (1)求证：DF = EF; (2)若AE = 2, DE = 4，求DB的长.(1 )证：如图，连接 ABBAD =BDF =90ABC +AEB =ADB +FDE = 90又 ABC =ADB ,AEB =DEFDFE =DEF , DE = EF(2)解：如图，过点 F 作 FG ED，贝U EG = GD

38、= 2 = AE ,/ BD为O O的直径，DF为O O的切线又 BAE = FGE = 90 , AEB = GEF, ABE GFE (ASA ), BE = EF,即卩DE为R BDF的斜边上中线DF = EF = DE = 4, BF = 8，贝U BD = 4 32、如图，AB为O O的直径，C、D为O O的一点，OC AD , CF DB于F.(1)求证：CF为O O的切线；(2)若BF = 1 , DB = 3,求O O的半径.(1) 证：T AB为O O的直径C DF AD，又 OC AD OC / DF，又 CF DB OC CF，又OC为O O的半径 CF为O O的切线(2

39、) 解：如图，过点 C作CE BD于点E,贝U BE = DE = 1.5, EF= 2.5又 OC CF, CF EF四边形OCFE是矩形O O 有半径 OC = EF= 2.5精选且 BD =、_ 2 AB = 2 2 = DM(1)求证：AD = BD ; ( 2)弦 CE 交 BD 于 M ,若 S/abc3Svbcm，求BDCE3、如图，以O O的弦AB为边向圆外作正方形 ABCD. (1)求证：OC = OD;(2)过D作DM切O O于M，若AB = 2, DM = 2 2，求O O的半径.(1 )证：如图，连接 OA、OB，贝U OA = OBOAB = OBA四边形ABCD是正

40、方形 AD = BC , DAB = CBA = 90 OAD = OBC OAD OBC (SAS) OC = OD(2)解：如图，连接 OM、BD，贝U OM DM又 OM = OB , OD = OD , ODM ODB (SSS) OB BD，又 ABD = 45 OAB = 45，即 OAB是等腰直角三角形 OA =AB =、24、如图，在 ABC中，AC = BC , ACB = 90，以BC为直径的O O交AB于D.24精选(1)略证：连接 CD，贝U CD AB又 AC = BC,ACB = 90 , AD = BD(2)解：如图，连接 BE，过A作AN CE于N ,T 5/A

41、BC3Svbcm ，SvACM2Svbcm AN =2BECAN = BCE, AC = BC, ANC = ANC CEB ( AAS ) BE = CN , CE= AN设 CN = BE = X，贝V CE = AN = BE = 2x , BC = ：j5x , AB = 、2 BC = . 10x，即BDCEBD圆的培优专题# 圆的切线与等腰三角形(1)求证：DE是O O的切线；(2)连接OC,若CAB =120(1 )证：如图，连接又 AB = AC OD / AC OD DF(2 )解：如图，过点AD , OD ,贝U AD BC, CD = BD ,又 AO = OB,又 DE

42、 AE, DE是O O的切线;O 作 OF BD 于 F,贝U BD = 2BF亠DE求OC的值.1、如图，在 ABC中，AB = AC，以AB为直径的O O与边BC交于D，与边 AC交于E,过D作DF AC于F.(1) 求证：DF为O O的切线；(2)若DE = . 5 , AB = 5,求AE的长.(1 )证：如图，连接 AD , OD ,/ AB为O O的直径， AD BC，又 AB = AC , OA = OBEAD = DAB = ADO OD / AC，又 DF AC OD DF，又OD为O O的直径 DF为O O的切线(2)解：T EAD = DAB , BD = DE =5，又

43、 AB = 5, AD =5( ；5)22. 5DF X AC = AD X CD , DF = 2 , CF= EF = ( .5)5 22 1 , AE = 5 2 = 32、如图，在厶 ABC中，AB = AC ,以边AB为直径作O O ,交BC于D ,过D作DE AE.精选/ AB = AC , CAB = 120 , B = 30设 OF= X ,贝U BF = 3x , OB = 2x ,2114 AC = AB = 4x , CD = BD = 2.3x,贝 CF = 3.3x 由勾股定理，得 OC = 2.7x ,由面积法，得DE = . 3x , OC3、如图，AB = AC

44、，点0在AB上，O O过点B,分别交 BC于D、AB于E, DF AC.(1)证：DF为O O的切线；(2)若AC切O O于G,O O的半径为3, CF = 1，求AC.A(1 )证：如图，连接 OD ,T AB = AC, OB = ODB = C= ODB OD / AC，又 DF AC OD DF，又OD为O O的半径 DF为O O的切线(2) 解：如图，连接 OG,T AC为O O的切线 OG AC，又 OD DF , DF AC , OG = OD四边形 ODFG是正方形，即 OB = OG = GF = 3设 AG = x，贝U AB = AC = x 4，贝U AO = x 12

45、32 x 3 (x 1) , x 4，则 AC = 8DKCK5，AK = 2五，求0 O的半径.4、如图，CD是O O的弦，A为CD的中点，E为CD延长线上一点，EG BO O于G.(1)求证:KG = GE ; ( 2) 若 AC / EG,(1 )证：如图，连接 OG, OA交CD于点F/ A为CD的中点，EG是O O的切线 OA CD, OG GEOAG + AKF = OGA + EGK又 OAG = OGA , AKF = EKGEGK= EKG KG = GE(2)解：T AC / EG , CAK = EGK，又 EGK = EKG = CKACAK = CKA , CA =

46、CK设 CK = CA = 5x，贝U DK = 3x , CD = 8x , CF = 4x , EG = x AF =、(5x)2(4x)23x在 Rt AFK 中，(3x)2x2(2 10)2 , x2 CE = 8, AE =6,设O O的半径为R，则R2= 82+( R 6) 2, R=筮3精选圆的培优专题13 圆与三角形的内心1、如图，AB是O O的直径， AcCE，点M为BC上一点，且CM = AC.(1)求证：M ABE的内心；(2)若O O的半径为5，AE = 8，求 BEM的面积.(1 )证：如图，连接CE ,贝U AC = CE= CMCME =CEM ,CEA =CBE

47、CBE +BEM =CEA +AEMAEM =BEM，又ABC =CBE点M ABE的内心.(2)解：如图，过点 M作MNBE于点N，贝U MN ABE的内切圆的半径精选/ AB = 10, AE = 8，则 BE =、1。2866 8 10a MN =2 , MN =-21 - BME 的面积为一X 6X 2= 6.2BAC点M是厶ABC的内心.2、如图，O OABC的外接圆，BC为直径，AD平分=8,求OM的长.BCDD(1)求证：BC = . 2 DM ; (2)若 DM = 5、2 , AB(1 )证：如图，连接 BD , CD ,/ BC为直径，AD平分 BAC BD = CD ,

48、BDC = 90 , BC =、2 CD连接 CM，贝U ACM = BCM , DAC =BCD = DCM ,DMC = ACM + DAC = BCM + DM = CD，即 BC = .2 DM(2)解：显然，BC = ,2 DM = 10, AB = 8，贝U AC = 6，且 MAE = 45如图，过 M作ME BC于点N，作 MF AC于点F,贝U ME = MF = AF = 2CF = CE= 4,贝V OE= 1 OM = - 22 12. 5 .圆的培优专题14 圆中动态问题ftN3、如图，AB为O O的直径，C为O O上一点，D是Be的中点，DE AB于E, I是厶AB

49、D(1)求证：DE是O O的切线；(2)若DE = 4, CE = 2，求O O的半径和IN的长.的内心，DI的延长线交O O于N.(1)证：T D是 Be 的中点，0A = ODCAD = DAO = ADO OD / AE，又 DE AB OD DE，又OD为O 0的半径 DE是O O的切线.(2) 解：如图，过点 O作OF AC,则AF = CF/ DE AB , OD DE四边形 ODEF是矩形，贝U OF = DE = 4精选设O O的半径为R,贝U OA = OD = EF = R,AF = CF = R-2IF= ID ,如图，过点I作IFAB 于点 F,贝U BF = BD =

50、 3, AF = 2,(R 2) 2 + 42 = R2,. R= 5, AB = 10,如图，连接 BI , AN , BN，贝U IN = BN = AN = 5 24、如图，在 ABC中，AB = AC , I是厶ABC的内心，O O交AB于E, BE为O O的直径.(1)求证：AI与O O相切；(2)若BC = 6, AB = 5,求O O的半径.(1 )证：如图，延长 AI交BC于点D，则AD BC,连接 OI，贝U OIB = OBI = OBD OI / BC，又 AD BC AD OI，又OI为O O的半径 AI与O O相切(2)显然 BD = 3, AB = 5,贝U AD = 42223设 IF = ID = X，则 AI = 4 X , x2 22 (4 x)2，则 IF = x -2设 O 的半径为 R，贝U OF= 3 R,.( 3 R) 2+( | ) 2 = R2,： R=曽PA= PB+ PC.A1、如图，点P是等边 ABC夕卜接圆BC上的一个动点，求证 证：如图，在 AP上截取PD= PC,连接CD/ ABC是等边三角形，ABC = ACB = 60D