向量组的线性相关性线性代数习题集

1、线性代数练习题第四章向组的线性相关性系专业班 姓名学号第一节 向量组及其线性组合第二节 向量组的线性相关性一. 选择题1. n维向量，/(0HO)线性相关的充分必要条件是D (A) 对于任何一组不全为零的數组都有+k2a2 + + % =0(B) a19a29 9as中任何j (j s)个向量线性相关(C) 设A = a，02,4),非齐次线性方程组AX = B有唯一解(D) iA = (a,a2,) , A 的行秩 a= (1,2,3,4/3. 巳知e = (1,1,2,l)7 , a, =(1,0,0,2)=(-1,-4，&灯广线性相关，则& = _14. 诛向 t 组 a =(a9O9c

2、),a2 =(/?,c,0),a, =(0,a,b)线性无关，则 a,b,c 满足关系式abcwQ三. 计算题：1. 设向量匕=(几 + 1,1,1)，a2=(l,2 + lj)r,(1，1 +1)了，0 = (1,，)/,试问当兄为何值时 (1) 0可由a,a2,a,线性裘示，且表示式是唯一？(2) 0可由线性表示，且表示式不唯一？(3) 0不能由务，冬,$线性表示？解因为rl + 2110、(1 11 +几(ess*11 + 2121 1+21210 A-22-220 0 -2(2 + 3) 2(1 22 才)丿r 1 a+ia2 T0 2 -/, 2-229、00几(兄+ 3)兄(1 2

3、兄一兄)丿 A H 0且兄丰 一3H寸,R(a,a2,0)=尺口，勺,a?) = 3, 0可由匕,a?,冬线性表示，且表达式唯一；(2) 2 = 0B 寸,R(a、, aap) = /?(apa2,a3) = l 3,0可由a】s心线性表示，但表达式不唯一；(3) 当几=一3时,R(a、, a?,冬，0) = 3 Ha?,色)=2,0不能由Q,勺心3线性表示精品线性代数练习题笫四章向量组的线性相关性专业姓名学号第三节向量组一.选择题: 1巳知向量组al9a2,aa4线性无关，则下列向量组中线性无关的是（a） ax +a2,a2 +a3,a3 +a4,a4 +a（C）ax +a2a2 +aa3+

4、a4,a4 - a,C (B) at -a2a2 -a3,a3 -a4,a4 -ax(D) ax +a2,a2 +a3,a3 -a4,a4 -ax但不能由向量组(I)： eq,线性表2设向量0可由向量组apa2ar;r线性表示， 示，记向量组（H）： 6,6,a心，戸，则(B)(O(O)如可由（I）线性表示，但不可由（H）线性表示3设力维向量组ana2av的秧为3,则（A）,乙中任意3个向量线性无关C （B）ay中无零向量（C） apa2, ,av中任意4个向量线性相关（n） al9a2, 9ax中任意两个向量线性无关乙”不能由（I）线性丧示，也不能由（H）线性裘示 監不能由（I）线性表示，但

5、可由（H）线性表示 a川可由（I）线性表示，也可由（U）线性表示4 设力维向量组a9a29 ,as的秧为r,则（A）若r = 5 ,则任何a维向量都可用al9a2, 9as线性表示（B）若5 = /?,则任何维向量都可用0,6,心 线性表示（C）若r = n ,则任何力维向量都可用aa2, ,as线性丧示 （D）若sn y则r = n 二.填空题：1 巳知向量组 = (1,2厂 1,1), a2 = (2,0,60), ay = (0,-4,5厂2)的税为 2,则 r=32巳知向量组0=(1,2,3,4),色=(2,3,40), a. = (3,4,5,6) , a=(4,5,6昇)，则该向量

6、组的秧为22向量组 = (a,3J)r , 5 =(2,仇3)7, a3 = (1,2,1/ , a4 =(2,3,1)的税为 2,则 a =2b= 5三计算题：1.设 =(3,1,IQ)，, a2 = (2,l,l,4)r , 6 =d，2,Id) , a4 = (5,2,2,9)r , 0 = (2,6,2,)(1) 试求al9a2,a39a4的:枚大无关组(2) 为何值时，0可由的枚大无关组线性丧示，并写出丧达式32 15、(I112)解：(1) (al9a2,a3,a4) =11 22112211 123215I54 39；&439丿a1 121112、r2-nr3rV00 10；：x

7、Zl)0010r5-sn ?0-1 -2-10121-1 -2-1J000 J/3 2 123 212、(3 212 )112 6r4-l1 1 2 6rr21 1 2 6L2 yri-o v1112L371 1 1 2r0 0-1-4(5 4 3k0 0 -1 J-10；0 00d-6.0 0 100 0 0 0?因为/?(心心)=3,则厲心心线性无关，且他=a+a2. 故aa2,ay为如如心他的一个极大无关组.只有 =6 时 7?(a1,a2,a3,) = 7?(apa2,a3) = 3, 即0可由如色心,4的极大无关组4，a2，如表示p212ro-104)1126r V100200-1-

8、4r00-1-41000丿000 z所以戸=2 - 4如+ 4如3. 已知3阶矩阵A, 3维向量X满足人二彳人丫一人鼻，且向量组xMaA2x线性无关。(1)记 P = (x,Ax,A2x)俅 3 阶矩阵 B、便 AP=PB； (2)求 IAI0解:/ Ax = (x, Ax, A2x)1,A2x = (x. Ax,A2x)01丿0且 Av = 3Ax 一 A2x = (x, Ax. A2x) 30 0、03 =(a Ax.A2x)B1 -b0:.AP = A(x, Ax, A2x) = (Ax. A2x, A3x) = (x, Axy A2x) 1、又因向量组A 4俎A2x线性无关，故P =

9、(x, Av, A2x)可逆.0 0 0、0 0 0、得 B = P-XP103=1 03(0 1 -1,10 1 -1；(2) A = PBP ,1 A 1=1 PBP- 1=1 PII 3II P 1=1 B1= 0.线性代数练习题第四章 向量组的线性相关性系专业班 姓名学号笫五节向量空间 综合练习一. 选择题：1. 诛向量组alta2,a5线性无关，则下列向量组中，线性无关的畏B,C (A) a +a2.a2 +a3,a3 -a(B) axa2,a2+aa+2a2(C) a, + 2a2,2a2 +3a3,3a3 +a(P) ax +a2 +a3.2a -3a2 +223,3 +5a2

10、-5a32. 诛矩阵川”呦的R(A)=mn ,为m阶单位矩阵，下列结论中正确的爱B (A) 4的任意m个列向量必线性无关 (B) 4通过初等行芟换，必可以化为(”0)的形式(C) 的任意阶于式不等于零(D)非齐次线性方程组Ax=b-定有无穷多组解二. 填空题：1 2 -2、1.设A= 212,三维列向量q =(4,1,1)，,巳知Aa与a线性柯关，则；?= -1 02 =的过渡矩降为,i -?丿三计算题：1.设匕=(1 111/ , a2=(3 3 -1 -if, a3=(-2 0 6 8)试用施密特正交化方法将向量组标准正交化。解：0l=e=(l1 1 I)702=2色0|久0J0空I*也色10 =J = -( 1 1 I)1 II px II 2 -7吕=工一=丄(2 2 -2 -2)1 IIJ32II 4VfAII