振动理论课后答案

1、1-1 一个物体放在水平台面上，当台面沿铅垂方向作频率为5 Hz的简谐振动 时，要使物体不跳离平台，对台面的振幅应有何限制？解：物体与桌面保持相同的运动，知桌面的运动为x = J.sin Qfi x =sin 他ZsinlO/rt 乙一月(lM)2sin5 叭由物体的受力分析，N = O (极限状态)mg物体不跳离平台的条件为：I%兰&;既有由题意可知 = 5Hz,得到0 = 2加=10开，J9.93nuno1-2有一作简谐振动的物体，它通过距离平衡位置为xi = 5cm及E=10cm时的速度分别为vi = 20 cnVs及求其振动周期、振幅和最大速度。解：设该简谐振动的方程为x二儿锁加+：乙

2、恥cos十二式平方和为将数据代入上式:2/= 2.964联立求解得A=10.69cm：当 = 0时，V取最人，即：页脚.答:振动周期为2.964s；振幅为10.69cm：最大速度为2263m/s1-3 一个机器某零件的振动规律为x = O.5sin + O.3c0S x 的单位是 cm, fi）= 101/So 这个振动是否为简谐振动?试求它的振幅、最大速度及最大加速度，并 用旋转矢量表示这三者之间的关系。解：x = 0.5 sin + 0.3cos G)t=0.583（cos30.95sin 戲+ sin 30.9了口cos也f）= 0.583sin 伽+ 30.95。）振幅 A=0.583

3、t = 0.583 sin （ + 120.95）jr = 0.583d2 sin仙+120.9亍）最人速度 = 0-583dj = 18.3cm/s最大加速度备=0.583a2 = 574.6 cm2/s1-4某仪器的振动规律为x二血血型+ %如3曲。此振动是否为简谐振动? 试用x-f坐标画出运动图。解：因为3=3 3三=33,31工32又因为Tl=2 h/g）T：=2 h/3 G）,所以，合成运动为 周期为T=2Ji/3 3的非简谐运动。两个不同频率的简谐振动合成不是简谐振动，当频率比为 有理数时，可合称为周期振动，合成振动的周期是两个简谐振动周期的最小公倍数。. （w+廉1-5己知以复数

4、表示的两个简谐振动分别为鬼兔和力I丿，试求它们的合 成的复数表示式，并写出其实部与虚部。解：两简谐振动分别为0,02 ,则：沪” =3cos5 兀 t+3isin5 兀 t7F7Fi（5曲号）w =5cos（5 兀 t+ 2 ）+3isin（5 兀 t+ 2） 或兀=$幻 + 3訂冋：x = H弄如） 其合成振幅为：皿后+歹=妬页脚-则他们的合成振动为：J茹5实部：cos(5洱 t+ arctan 3)5其合成振动频率为5心，初相位为：=aictaii35 虎部：sm(5 开 t+ arctaii 3 ) 1-6将题1-6图的三角波展为傅里叶级数。 解：三角波一个周期函数x(t)可表示为0 t

5、-/-I7V12jtV2tt2tt二T由式得2j2 F a 祀=j丁 Qj2j时d)dirdi2.= (一一t +1) cosnatddi +(t -1) cos EQ/必= 1- (-1)7V托托用卅J-wr丫d)3 r dJ2= (Z +1) sin a)xdt + I ( i -1) sin na)dt = 0bn= x(f) sin ndt j7V开:开67n=b 2, 3于是，得x(t)的傅氏级数a 9COSG/+ 乞 sin ?2Gif)2 z121 M141o1COS + 002 3 + 002 31 + 17将题17图的锯齿波展为傅氏级数，并画出频谱图。页脚.Pit)解：锯齿波

6、一个周期函数P(t)可表示为2tt2tt2tt二T由式得2 j2jta= 尸(f)cos 力Q*应=2cos= 0吧兀；2兀2 j17T2 f .=I P(f) sin na)dt = I t sin n (&xtdi =n=l, 2, 3于是，得x(t)的傅氏级数如二11二1= +Tcosgf + 乞 sin ?2Gf) = - SU1 刃注2/兀 1-8将题1-8图的三角波展为复数傅氏级数，并画出频谱图。P(t)S 1-8 图T(比咛T3(-/-?)443Z7tT4页脚.P(t)平均值为02Tcos n attdicos月戲处一一 2$) sin$二込sin必型必 s T、W T隅 f11

7、cosz?sin na)t加2 /电眾 L4 d cos e觀一 土丄 U d cos2K + T2耳皿珈耳4 爲.nn 4 印2jt-sin一cos17T2 Tm T +1t COSE 磁一3 11COS 7JZ- COSW42JT4 4 )Pit) + y (aa cos “戲 + 念 srin n戲) 2-i将签代入整理得-J另n严页脚.1-9求题1-9图的矩形脉冲的频谱函数及画 频谱图形。 1 9S解:由于a得:G（a）=x08dt即:%）卜孚*碍卜砧降I 丁 11-10求题1-10图的半正弦波的频谱函数并画频谱图形。gr叱 + Wr z亍故:他+ wj/gkgWW2故:x = - 兀

8、 cos/ + 4 sin cont=-xQcosa)nt + sui cont2.4在图E24所示系统中，已知加，k“化和血，初始时物块静止且两弹簧均为原长。求物块运动规律。页脚.Xi一Fq siii cot心(丕一兀)图E24答案图E2.4解：取坐标轴兀和兀，对连接点A列平衡方程：-kg + 人(忑 _ xj+ 化 sin効=0即：(代 + kjX = k2x2 + FQsin cot对川列运动微分方程：mX2 =-k2(x2 _xj即：mx2 + k2x2 = k2x(1)(2)由(1), (2)消去“得:(3)故:加(代+ &)由(3)得:(sin 曲一COsinf2.5在图E2.3所

9、示系统中，己知皿c, k,代和且/=0时，x = x0, x = v0,求系 统响应。验证系统响应为对初值的响应和零初值卞对激励力响应的叠加。F0cosa)t页脚.解:图 E2.3(C cos codt + Dsinf)+ Acos(曲一 &)A弋._1_, T単k J(l 屮圖 x(0)= xQ = C + AcosO = C = xQ - AcosOx(t= coQe(C QQScodt + DsmcOjt)+ -3(- Ccod smcodt + Dcod cos砂)-Acosn(cot - 0)x(O)= v0 = -$y0C + Dco(l +A 6ysui 0 n =心丿 C _

10、仏血 叫叫求出C, D后,代入上面第一个方程即可得。2.7求图T 2-7中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是人及人，悬臂梁的质量 忽略不计。图 T2-7答案图T2-7质 无页脚.解:人和人为串联，等效刚度为： = -4-0 （因为总变形为求和）見和心为并联（因为尾的变形等于心的变形），则:k、kr . k、kr + k、k* + k$ =& + k2人 + k2和Q为串联（因为总变形为求和力故:k = 乩扎 =人血+人/心+也人心咯 + k、 kLk2 + kjc, + kj M =X由（1）二 364 mn 马=6 rad / s1inc 页脚.报询力5Ka2d谱藐榦纭勉龍耐娥引岬罕，旳

11、几泊悅F/U 严訓鼎軌做艙擔母卫冰曲 的:片福嬉継抹感临二-二呷外讼R必 俺松疣辭 少二存旋；| 我M吩加）妙力十觀s局t二r 4亦冷七 S2*彌示緣術餉前嫦徊牌fe烁七c许曲殳進:絲紀S谕蹿楼軌仲Me=；饰佈艸隹冷痂人2十人广茨二.，H加七二他M二豔i必君厠M 尚偸 怯 丄N %咽畛 曲沪1 , /Lb=J H*vp gM挣 一小能用公 縫酬倉犷厶 邢w憑d 冈 15 . m e砒齐丄2 N 处切妇尸二 縫诃紐My 攫忙做為一 匮刃椽8 綻口力劾”紳Z 爲縫叙R ; 述4 %c A 丿一 F X 二 c姑 D/峯匚- 1肿 2級舸 则泌血C;可 32广 / 一护-?亠 q 2 M皤页脚.珂

12、甌H和僻黠物誅用蜩冷狮础，厂权作版 如伽湖“）姐隸他加稠级 说麹齣何物2 解七七徘伍酗檢厢綺聚，鞘如|东 &R二7”歼。）二为“人 X二舒R川叭 匕斗如廿/% “7皿二2彳C0遥刎憂離H WF啊徜躇怎力/ / zzzz旳十电 m+E/p； 71 K|7产那6 +空卄竺6刃由壯w約埼奶 才 怕孑1（ _荊研邑A鉀:治舊奪 列驱二W苛二牛馬卩二T占頑祁潔，决心嘟叱，沪。0擁率旬树攸二鬥 瓯为礙门遊札紋创昨幄讪榴制才胡撇滋鼬献齡二.2乙仆人企）2013仲叫M 故率辙唯纫&/、於;Nz/仏页脚.H叩和脇了辗備紂tzm耳呀匕詡仏“仏 3那卜 激掀力P內粧加也N 麻虬略胡匕碼諭吃啲楼坊鸟口. 絹:P负豳稱

13、姊心“二按二J聽孕二/。r“s“二亡二4r G山 7見二先沔 細側纟8 E虑話=jfc歹 吨 屮二亦二”如D护 Q冲（锹 爼二讪険引厨方C二碗加吒&Q如 綁蚀湘長-/ A卩_ JLr少纽、-A cHq吠炉恥呼- 忖伽裟二祠学眾-归貝囱乡炉诃心阿沁辰-牝A o那曲伶妙处H讥魁糾幾経Mt觀册灌净林勿儕.叙，呵5切復3必+孑 卩彳坎矗耳vu s“W加/伤.花俛躱肌A（ J 碎 MfL 二匡二 & V疗必I和以s馬：二机 （3 冷彳歹緣卑.心?匕川啟3畀 饴形嚴施 P外=/八劝，给陛力 他a久1靖沖喊玄饶,弭數挥1 将 M必+仕介绥二“林龙 可m免十OC=kVn我+必庞 曲爲祛亘込处由h 纹aG如秤加

14、T十二&孙必 0中扱方年令恭弓佔；入號二那霍 射襁紘久二最63方去闵够洌蛭巧力*加二洪傑弘妙十6 6阔 二汰*0十。匸渤Mfy）仟阳眾）页脚.却细姗幷朋/Ife扭绍删嗷赦 隔就炖胡稔液棘M电周磧邮鳩扁伍。）統編二必J盼詢:附幽恥幽4、,韬褪锻$ %打午肌旷+4广爲4作必二m泌孑iL P P； 舟三丽丽 3护;% 如什屈P需正莎二J不干 诚瞩归俗靠徐家二竿丽補 仏电必财一仙侧漓.并鬃纽賂易必磁Z滋锄游檢tw防兀乍弋故輛腋畅病娜异応丽环綁熾片歳_页脚.阶W嘰彳础阀删师、护礙鬼艸厠 如一榮久二而 e 由必8彳写X二qc/沏方十65办必方（力彳狗漱4怖力二-峯怎亦+ *3崛鵜林曲心圾页脚.那瞬T绒曲球

15、远吨 彳.仁潺如仏搞）4.7两质量均为川的质点系于具有力F的弦上，如图E4.7所示。忽略振动过程中弦力 的变化写出柔度矩阵，建立频率方程。求系统的固有频率和模态，并计算主质量、主刚度、 简正模态，确定主坐标和简正坐标。图 E4.7答案图E4.7(l)解:sinQ 三G， sind 三 G =, sin ft 三 Q =上I /根据“和加二的自由体动力平衡关系，有:= 一尸sinq + Fsin 0 2 _吟 + F Vz ) = y() -2yJm2y2 =_Fsing FsinQ 三_F X_尸卡=#(儿_2儿)故:耳 00 in.+2 -1 )1I -1 2=0w“(xrml兀=X sin

16、 曲，) = K sniyf, A =F代入矩阵方程，有:2-A-1-12-A 匕=02-2-1-12-2=(2-2)2-l = (z-1X2-3)=0血 2 = 13F F ml ml 根据(2-2比一乙=0得：页脚.第1振型答案图E4.7(2)4.11图T4-U所示的均匀刚性杆质量为小求系统的频率方程。图 T4-11解：先求刚度矩阵。令 & = 1, x = 0 得：= klb-b + k2a a = kYb2 + k2a2k2l = -k2a令& = 0, x= 1,得：kl2 = -k2a22 = 2L + k则刚度矩阵为：A：=1 f 2-k2a再求质屋矩阵。令 0 = 1, x =

17、 0,得：1 , nmn =, m2l = 0令 0 = 0, x = l,得：答案图T4-11(3)页脚.mi2 = 0, m22 = m2则质量矩阵为：M= 3，/?/r0 m2故频率方程为：Ik qmAo4.11多自由度振动系统质量矩阵M和刚度矩阵K均为正定。对于模态兀和七及自然 数证明：=0 ,)Kx. = 0解：KxMx等号两边左乘KM1KMKxt = ofKMYMxf 二 arKxJ,等号两边左乘x,xpiKc = arKx=0,当心丿时重复两次：KMiKx = ccrjKxi,等号两边再左乘KM1KMiKMvKxj =研耐家丘，等号两边左乘坊xlKM-Kxj = 0 * 当心 j

18、 时重复”次得到：xkM1kx-=0Kx, =忒Mx,等号两边左乘MK1MKlKx=aMKlMx.故：MX, = arMKMx,等号两边左乘琼x1iMxj =孕=0,当 iHj 时即xMxt=0,当&丿时重复运算:MKlMxj = cerMKlMxj页脚-y J、F二1、5 I 乂平WO r、八-rv4 广十L(s、e4&dsT*,frz4w空逗 M必0 1實弩2 希詁卷左举#立F&sz怨rl聂渣E詩謂r*S冠W4- m、二】u计 兴 o 0 bi0 H 诂JSJ xJlrza f 十uzf s 2;座八和tblzi 于詈、琴富誤録芟弋& 殳liJw1 SZ 勿sgxq-严1反溢跻盞 菁善内

19、屋MZLlsM S 辽囂X電量2煮矍4uw唧呻-鼬怦:钟钳汕巒切訓甲 氐Z少弋耳涉钏二1v站 x岸必-期七诊 妙處剳讥严,$“沁淑删a/V-/，7、”-5 丫 工丿I叶7X J P 4 J Z z r 3H-hi駅旳帥心-丿0护型丿枕-%少料*（椰7巒叫紡需叹中伊曲他 /j 的么I. 创fe 一亠儿-Ge 八.:切 加7t r ”晶计停妣 ，僻外吹辛罟问翊k猟沽?:旳歸魁敢輕 勢判淞繹稠期 呦扌幽阿衣姚嘲帥J &號附噌轴伽叫访核删显念鞭協备0殆年乍必心gW果沿琴禅采锣申粉埶荻瑚诚*鈔岁細.讥VW妁 奶俺/加峻 敬叫讥料钿I免江;二二仙f .r I怜卜 0列卄 0加片1-引、丿）-L gl F卜

20、（Ay / -Wb a切10卜珂八0 /-胁0-Z卜砂觀s二核丫够初於 琳加m 才/M二5 對湖二S裁 b瑤现 弼、円弘/P二” I）T2 呂 2 2 2朋夕二2 7II禅欄沁叫 d就 尸阿卞Q犁吻 由启桝铝姑盅滋翻0跖2 V T悅纲、咖2 N门码悴&、於严即门5处Tr V營、,tSxT j 0 “厶 r仍J知”0%彳 J 0创 (X(0Z树浙血吆咐統谕做何1讪理p徹僦桃馄 冲;由黏祸视碱件科阿/, 2“氏檢二枭 紅眦林紆裕治唐羽*拥呦叫汕树 如曲。詡M你霁1如7嚼呦无0 ?;粉郴讣财0編知严妙臥|荻5.如吃林*命响&於，二(?屈第毗丿g处戚*伽禺刃玄両 ”理附4隣邙绑甲三 啣阚為丿L叫，翻_

21、 / 2刃笳“ft 一 Q血碑从十仇创加 2J曹 册/$方_ afetz$uM _。0沖庙必2、7卷闪纫比扌如*仍奶磁3SU 何=哥+鬲+毎“几+心Z也_ 13一 192E/页脚.5.3在图E5.3所示系统中，已知川和也用瑞利法计算系统的基频。图 E5.3解：近似选取假设模态为：F = (l 1.5 2.5)r系统的质量阵和刚度阵分别为：3k-2k0M = diag(m 2min), K =-2k3k-k0-kk由瑞利商公式：PKP2.5krR 兰)= co：11.75/wn = 04615.9在图E5.9所示系统中，已知R和人用传递矩阵法计算系统的固有频率和模态。J(1)图 E5.9解：两端

22、边界条件为:飞RT01固定端：X =列丁自由端：xf =0T3011X, = S 足=-a)2J1-CD2 页脚.X = S2X =,J_ar_2kl-ccr 2k1rl-ey2 k-cer+2k2, J厂F仁,j Yi J I 2k A k由自由端边界条件得频率方程:-ar + l-a)2 2k)2k= = 0.765代入各单元状态变量的第一元素，即:2 2 JIT F得到模态:严=1 1.414= 1 -1.41475.10在图E5.10所示系统中,己知G/pi（j=l,2）, h（i= 1、2）和人（21,2）。用传递矩 阵法计算系统的固有频率和模态。71G/piGIP2J2/i JJ图

23、 E5.10解:页脚.两自由端的边界条件为：x =X： = s：xf =0 TV其中：k严芈k2 +由自由端边界条件得频率方程: ?人 _ ”丿_ 0 = 0 n = 0，co.J GM厶+厶)Y 丿4(0 +/J代入各单元状态变量的第一元素，即:得到模态： I?0=1 17 ,宀1厶J 25.11在图E5.ll所示系统中悬臂梁质量不计，加、/和/已知。用传递矩阵法计算系统 的固有频率。BlE5.ll解：引入无量纲量:帀-Ml , Fs - F,兄-1EI5 ElEI定义无屋纲的状态变量：X=y 0 M 对边界条件：左端固结：xf = o0 M尺，右端自由：xf = y e 0 of根据传递矩阵法，有：Xf = S 胃 X：页脚.其中点传递矩阵和场传递矩阵分别为:1 0 0 o- 11112 6O1OO,s：=0 11-0 0 100 0 112 0 0 10 0 0 1得:M+FS=O加1片0利用此齐次线性代数方程的非零解条件导出本征方程:zl（2） = 11 13EI5.12在图E5.12所示系统中梁质量不计皿、/和EI已知，支承弹簧刚度系数k=6EI/几 用传递矩阵法计算系统的固有频率。解：引入无量纲量:mPa）2T X =EI定义无量纲的状态变