现代控制理论基础二

1、线性定常系统的lyapunov稳定性分析考虑如下线性定常自治系统x&=ax式中，xrn,arnn。假设a为非奇异矩阵，则有唯一的平衡状态x=0，其平衡状态的稳定性很容易e通lyapunov第二法进行研究。对于式的系统，选取如下二次型lyapunov函数，即v(x)=xhpx式中p为正定hermite矩阵（如果x是实向量，且a是实矩阵，则p可取为正定的实对称矩阵）。v(x)沿任一轨迹的时间导数为(xh&v&x)=&px+xhpx=(ax)hpx+xhpax=xhahpx+xhpax=xh(ahp+pa)x(由于v(x)取为正定，对于渐近稳定性，要求v&x)为负定的，因此必须有(v&x)=-xhq

2、x式中q=-(ahp+pa)为正定矩阵。因此，对于式）的系统，其渐近稳定的充分条件是q正定。为了判断n?n维矩阵的正定性，可采用赛尔维斯特准则，即矩阵为正定的充要条件是矩阵的所有主子行列式均为正值。(在判别v&x)时，方便的方法，不是先指定一个正定矩阵p，然后检查q是否也是正定的，而是先指定一个正定的矩阵q，然后检查由ahp+pa=-q确定的p是否也是正定的。这可归纳为如下定理。x定理线性定常系统&=ax在平衡点x=0处渐近稳e定的充要条件是：对于q0，$p0，满足如下lyapunov方程ahp+pa=-q这里p、q均为hermite矩阵或实对称矩阵。此时，lyapunov函数为(v(x)=x

3、hpx，v&x)=-xhqx(特别地，当v&x)=-xhqx0时，可取q0(正半定)。现对该定理作以下几点说明：(1)如果系统只包含实状态向量x和实系统矩阵a，则lyapunov函数xhpx为xtpx，且lyapunov方程为atp+pa=-q(2)如果v&x)=-xhqx沿任一条轨迹不恒等于零，则q可取正半定矩阵。(3)如果取任意的正定矩阵q，或者如果v&x)沿任一轨迹不恒等于零时取任意的正半定矩阵q，并求解矩阵方程ahp+pa=-q以确定p，则对于在平衡点x=0处的渐近稳定性，pe为正定是充要条件。注意，如果正半定矩阵q满足下列秩的条件q1/2arankq1/2=nmq1/2an-1(则v

4、&t)沿任意轨迹不恒等于零（见例）。(4)只要选择的矩阵q为正定的（或根据情况选为正半定的），则最终的判定结果将与矩阵q的不同选择无关。(5)为了确定矩阵p的各元素，可使矩阵ahp+pa和矩阵-q的各元素对应相等。为了确定矩阵p的各元素p=p，将导致n(n+1)/2个线性方程。ijji如果用l,l,l,l表示矩阵a的特征值，则每个特征12n值的重数与特征方程根的重数是一致的，并且如果每两个根的和l+l0jk则p的元素将唯一地被确定。注意，如果矩阵a表示一个稳定系统，那么lj+lk的和总不等于零。(6)在确定是否存在一个正定的hermite或实对称矩阵p时，为方便起见，通常取q=i，这里i为单位

5、矩阵。从而，p的各元素可按下式确定ahp+pa=-i然后再检验p是否正定。x&101xx&=-1-1x22-例设二阶线性定常系统的状态方程为1显然，平衡状态是原点。试确定该系统的稳定性。解不妨取lyapunov函数为v(x)=xtpx此时实对称矩阵p可由下式确定atp+pa=-i上式可写为1-1p+pp01-10-1-1=0-10-1p1112p12p11p221212p22将矩阵方程展开，可得联立方程组为12=-1-2pp-p-p111222=02p-2p1222=-1从方程组中解出p、p、p，可得111222p2p=1pp1112123222121为了检验p的正定性，我们来校核各主子行列式

6、320,32121201显然，p是正定的。因此，在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的，且lyapunov函数为2v(x)=xt此时1px=(3x2+2xx+2x2)1122(v&x)=-(x2+x2)12-例试确定如图所示系统的增益k的稳定范围。图控制系统解容易推得系统的状态方程为x&10x01x+0u0x&=02x3&-k1-2012-1x3k在确定k的稳定范围时，假设输入u为零。于是上式可写为x&=x12x&=-2x+x223x&=-kx-x313由式）到（）可发现，原点是平衡状态。假设取正半定的实对称矩阵q为000q=000001(由于除原点外v&x)=-xtqx不恒等于零，因此可选上式

7、的q。为了证实这一点，注意(v&x)=-xtqx=-x23(取v&x)恒等于零，意味着x也恒等于零。如果x33恒等于零，x也必恒等于零，因为由式）可得10=-kx=01如果x恒等于零，x也恒等于零。因为由式）可12得0=x2(于是v&x)只在原点处才恒等于零。因此，为了分析稳定性，可采用由式）定义的矩阵q。也可检验下列矩阵的秩0000000011/20q1/2a2000-1q1/2qa=0-k00k000000-k1q显然，对于k0，其秩为3。因此可选择这样的用于lyapunov方程。现在求解如下lyapunov方程为atp+pa=-q它可重写为11p11p00-kpppp0101-20ppp

8、pp0+p-21=0001213121312222312222301-1p13p23p33p13p23p33-k0-100000-1对p的各元素求解，可得126-k2k00kk2+12kp=12-2k6k12-2k3k12-2kk12-2k12-2k6k12-2k为使p成为正定矩阵，其充要条件为12-2k0和k0或0k6因此，当0k6时，系统在lyapunov意义下是稳定的，也就是说，原点是大范围渐近稳定的。线性定常系统的稳定自由运动的衰减率性能估计对于线性定常系统，利用李亚普诺夫判据不但可以判断其原点平衡状态是否为渐近稳定，而且还可以对其自由运动趋向原点平衡状态的收敛快慢作出估计。4.5.1

9、衰减系数考察线性定常自治系统x&=ax，x(0)=x，t00）系统的李雅普诺夫函数v(x)是系统状态的正定函数，(是系统某种“能量”的度量，而v&x)则为“能量”随时间的变化速率。当系统为渐近稳定时，v(x)正定，(而v&x)为负定，因此引入如下定义的一个正实数h=-(v&x)v(x)-hdt=dt=dv(x)来表征系统自由运动的衰减性能，称为衰减系数。显然，v(x)越小，相应地自由运动衰减的越慢。对式两边积分得到(tttv&x)100v(x)0v(x)=lnv(x)-lnv(x)0=lnv(x)v(x)0v(x)=v(x)e-hdt由此得出t00一般来说，直接由难以直接进行估计，一般取v&(

10、x)=常数=min-hminv(x)v(x)v(x)e-hmindt将代入，得到0t0=v(x)e-h0mint一旦定出hmin，则可定出v(x)随时间t衰减上界。对线性定常系统，可以定出f(t;x,0)随时间t的衰减上界。04.5.2计算h的关系式min对系统式，当系统为渐近稳定时，对任意给定正定对称阵q，李雅普诺夫方程atp+pa=-q的解阵p存在唯一且为正定。v(x)xtpxhmin(v&x)=min-xxtqx=minx=minxtqx,xtpx=1h几何含义为，minx为状态空间v(x)=1的超平面上极小点处的标量xtqx值。结论：对线性定常系统,设正定对称矩阵q,p，成立：hmin

11、=lmin(qp-1)其中lmin(.)表示(.)的最小特征值。证明（略）。离散时间系统的状态运动稳定性及其判据考虑定常离散时间系统x(k+1)=f(x(k)（）且设f(0)=0,即x=0为平衡状态。类似于连续时间系统，给出如下主要结论：结论1离散系统的大范围淅近稳定判据对于离散系统（），如果存在一个相对x(k)的标量函数v(x(k)，且对任意x(k)满足:(i)v(x(k)为正定;(ii)表为负定;(iii)当|x(k)|时，有v(x(k);则原点平衡状态即x=0为大范围渐近稳定。在实际运用结论1时发现，由于条件(ii)偏于保守，以致对相当一些问题导致判断失败。因此，可相应对其放宽，而得到较

12、少保守性的李亚普诺夫稳定性定理。结论2离散系统的大范围渐近稳定判据对于离散时间系统（），如果存在一个相对于x(k)的标量函数v(x(k)，且对任意x(k)满足:(i)v(x(k)为正定；(ii)dv(x(k)为负半定；(iii)对由任意初态x(0)所确定的的解x(k)的轨线，dv(x(k)不恒为零；(iv)当|x(k)|时，有v(x(k);则原点平衡状态即x=0为大范围渐近稳定。结论3：对离散时间系统，且设f(0)=0，则当f(x(k)收敛，即对所有x(k)0有f(x(k)x(k)时，系统的原点平衡状态即x=0为大范围渐近稳定。证明：设v(x(k)=x(k)dv(x(k)=v(x(k+1)-v

13、(x(k)=x(k+1)-x(k)=f(x(k)-x(k)0或0，r=rt0且(a,q1/2)能观测。综合的任务就是确定u*(t)，使相应的性能指标j(u*(t)极小。通常，将这样的控制u*(t)称为最优控制，确切地说是线性二次型最优控制问题，即lq调节器问题。5.1.3研究综合问题的主要内容主要有两个方面：1、可综合条件可综合条件也就是控制规律的存在性问题。可综合条件的建立，可避免综合过程的盲目性。2、控制规律的算法问题这是问题的关键。作为一个算法，评价其优劣的主要标准是数值稳定性，即是否出现截断或舍入误差在计算积累过程中放大的问题。一般地说，如果问题不是病态的，而所采用的算法又是数值稳定的

14、，则所得结果通常是好的。5.1.4工程实现中的一些理论问题在综合问题中，不仅要研究可综合条件和算法问题，而且要研究工程实现中提出的一系列理论问题。主要有：1、状态重构问题由于许多综合问题都具有状态反馈形式，而状态变量为系统的内部变量，通常并不能完全直接量测或采用经济手段进行量测，解决这一矛盾的途径是：利用可量测输出y和输入u来构造出不能量测的状态x，相应的理论问题称为状态重构问题，即观测器问题和kalman滤波问题。2、鲁棒性(robustness)问题3、抗外部干扰问题本章的组织结构如下。本章将首先讨论极点配置问题。将讨论利用极点配置方法来设计控制系统。这里将设计一个受制于初始条件的倒立摆系

15、统，使其在规定的时间内，返回到垂直位置；其次还将讨论状态观测器的设计；最后研究含积分器的伺服系统和不含积分器的伺服系统。我们将设计一个倒立摆系统，当我们施加于小车一个阶跃输入时，仍可使该系统稳定（也就是说，摆不会倒下来）。本章节为引言。节将讨论控制系统设计的极点配置方法，给出问题提法、可配置条件及极点配置的算法。节将介绍利用matlab求解极点配置问题，并给出用于极点配置设计的matlab程序。节以倒立摆为例，给出用极点配置方法设计调节器型系统的一个例子，并分别介绍解析法和matlab解法。节将介绍状态观测器。对于全维和最小阶观测器均将进行讨论，将介绍3种确定观测器增益矩阵ke的方法，并引入控

16、制器-观测器概念。节讨论利用matlab设计状态观测器。节研究伺服系统的设计，将讨论当含有积分器和不含积分器时i型伺服系统的设计。节介绍用matlab设计控制系统的一个例子，将用matlab设计倒立摆控制系统。通过使用matlab，可得到所设计系统的单位阶跃响应曲线。极点配置问题本节介绍极点配置方法。首先假定期望闭环极点为s=m1，s=m,，s=m。我们将证明，如果被控2n系统是状态能控的，则可通过选取一个合适的状态反馈增益矩阵k，利用状态反馈方法，使闭环系统的极点配置到任意的期望位置。这里我们仅研究控制输入为标量的情况。将证明在s平面上将一个系统的闭环极点配置到任意位置的充要条件是该系统状态

17、完全能控。我们还将讨论3种确定状态反馈增益矩阵的方法。应当注意，当控制输入为向量时，极点配置方法的数学表达式十分复杂，本书将不讨论这种情况。还应注意，当控制输入是向量时，状态反馈增益矩阵并非唯一。可以比较自由地选择多于n个参数，也就是说，除了适当地配置n个闭环极点外，即使闭环系统还有其他需求，也可满足其部分或全部要求。5.2.1问题的提法前面我们已经指出，在经典控制理论的系统综合中，不管是频率法还是根轨迹法，本质上都可视为极点配置问题。给定单输入单输出线性定常被控系统x&=ax+bu式中x(t)rn,u(t)r1,arnn,brn1。选取线性反馈控制律为u=-kx这意味着控制输入由系统的状态反

18、馈确定，因此将该方法称为状态反馈方法。其中1n维矩阵k称为状态反馈增益矩阵或线性状态反馈矩阵。在下面的分析中，假设u不受约束。图（a）给出了由式（）所定义的系统。因为没有将状态x反馈到控制输入u中，所以这是一个开环控制系统。图（b）给出了具有状态反馈的系统。因为将状态x反馈到了控制输入u中，所以这是一个闭环反馈控制系统。图(a)开环控制系统(b)具有u=-kx的闭环反馈控制系统将式（）代入式（），得到x(&t)=(a-bk)x(t)该闭环系统状态方程的解为x(t)=e(a-bk)tx(0)式中x(0)是外部干扰引起的初始状态。系统的稳态响应特性将由闭环系统矩阵a-bk的特征值决定。如果矩阵k选

19、取适当，则可使矩阵a-bk构成一个渐近稳定矩阵，此时对所有的x(0)0，当t时，都可使x(t)0。一般称矩阵a-bk的特征值为调节器极点。如果这些调节器极点均位于s的左半平面内，则当t时，有x(t)0。因此我们将这种使闭环系统的极点任意配置到所期望位置的问题，称之为极点配置问题。下面讨论其可配置条件。我们将证明，当且仅当给定的系统是状态完全能控时，该系统的任意极点配置才是可能的。5.2.2可配置条件考虑由式（）定义的线性定常系统。假设控制输入u的幅值是无约束的。如果选取控制规律为u=-kx式中k为线性状态反馈矩阵，由此构成的系统称为闭环反馈控制系统，如图（b）所示。现在考虑极点的可配置条件，即

20、如下的极点配置定理。定理(极点配置定理)线性定常系统可通过线性状态反馈任意地配置其全部极点的充要条件是，此被控系统状态完全能控。证明：由于对多变量系统证明时，需要使用循环矩阵及其属性等，因此这里只给出单输入单输出系统时的证明。但我们要着重指出的是，这一定理对多变量系统也是完全成立的。1o必要性。即已知闭环系统可任意配置极点，则被控系统状态完全能控。现利用反证法证明。先证明如下命题：如果系统不是状态完全能控的，则矩阵a-bk的特征值不可能由线性状态反馈来控制。假设式（）的系统状态不能控，则其能控性矩阵的秩小于n，即arankbmabmlmn-1b=qn这意味着，在能控性矩阵中存在q个线性无关的列

21、向量。现定义q个线性无关列向量为f,f,l,f，12q选择n-q个附加的n维向量vq+1,vq+2,l,v，使得nk11的秩为n。因此，可证明a=p-1ap=a11a12,0a22b=p-1b=b0这些方程的推导可见例。现定义kk=kp=km12则有si-a+bk=p-1(si-a+bk)p=si-p-1ap+p-1bkp=|si-a+bk|=si-11+11km0a01aab12222=si-a+b+kq111110sin-q-a+bk12112-a22=si-a+bksiq11111n-q-a=022式中，i是一个q维的单位矩阵，iqn-q是一个n-q维的单位矩阵。注意到a的特征值不依赖于

22、k。因此，如果一个22系统不是状态完全能控的，则矩阵的特征值就不能任意配置。所以，为了任意配置矩阵a-bk的特征值，此时系统必须是状态完全能控的。2o充分性。即已知被控系统状态完全能控（这意味着由式（）给出的矩阵q可逆），则矩阵a的所有特征值可任意配置。在证明充分条件时，一种简便的方法是将由式（）给出的状态方程变换为能控标准形。定义非奇异线性变换矩阵p为p=qw其中q为能控性矩阵，即aq=bmabmlmn-1b（）aan-1n-2w=man-2man-3la11l1mm0a1110ll0000式中a为如下特征多项式的系数。isi-a=sn+asn-1+l+as+a1n-1n定义一个新的状态向量

23、x，x=px如果能控性矩阵q的秩为n（即系统是状态完全能控的），则矩阵q的逆存在(注意此时q为n?n方阵)，并且可将式（）改写为x&=ax+bucc其中010l0000l001la=p-1ap=mmmc0m1-a-an-an-1-an-2l1000b=p-1b=mc1式（）和（）的推导见例和例。式（）为能控标准形。这样，如果系统是状态完全能控的，且利用由式（）给出的变换矩阵p，使状态向量x变换为状态向量x，则可将式变换为能控标准形。选取任意一组期望的特征值为m，m，m，12n则期望的特征方程为(s-m)(s-m)l(s-m)=12nsn+a*sn-1+l+a*s+a*=01n-1n设k=kp=

24、dndn-1ld1由于u=-kx=-kpx，从而由式，此时该系统的状态方程为x&=ax-bkxcc相应的特征方程为si-a+bk=0cc事实上，当利用u=-kx作为控制输入时，相应的特征方程与上述特征方程相同，即非奇异线性变换不改变系统的特征值。这可简单说明如下。由于x&=ax+bu=(a-bk)x该系统的特征方程为si-a+bk=p-1(si-a+bk)p=si-p-1ap+p-1bkp=si-a+bk=0cc对于上述能控标准形的系统特征方程，由式（）、和（），可得00l101l0mmmsi-a+bk=si-cc-a-an0n-1l-a1sm+dd0n1-1n-1lld10=0mmslm0a

25、+dnnan-1+dn-1ls+a+d11这是具有线性状态反馈的闭环系统的特征方程，它一定与式（）的期望特征方程相等。通过使s的同次幂系数相等，可得a+d=a*111a+d=a*222la+d=a*nnn对d求解上述方程组，并将其代入式（），可得ik=kp-1=dndn-1ld1p-1因此，如果系统是状态完全能控的，则通过对应于式（）所选取的矩阵k，可任意配置所有的特征值。证毕5.2.3极点配置的算法现在考虑单输入单输出系统极点配置的算法。给定线性定常系统x&=ax+bu若线性反馈控制律为u=-kx则可由下列步骤确定使a-bk的特征值为m，1m2，,m（即闭环系统的期望极点值）的线性反馈矩n阵k（如果m是一个复数特征值，则其共轭必定也是ia-bk的特征值）。第1步：考察系统的能控性条件。如果系统是状态完全能控的，则可按下列步骤继续。第2步：利用系统矩阵a的征多项式确定出a,a,l,a的值。12n第3步：确定将系统状态方程变换为能控标准形的变换矩阵p。若给定的状态方程已是能控标准形，