基与维数的几种求法

1、线性空间基和维数的求法方法一根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数，即：在线性空间V中,如果有n个向量1, n满足:(1) 1, 2, n线性无关。(2) V中任一向量 总可以由1, 2, , n线性表示。那么称V为n维(有限维)线性空间， n为V的维数，记为dimv n，并称1, 2, n为线性空间V的一组基。如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成V为无限维的。例1设V X AX 0，A为数域P上m n矩阵，X为数域P上n维向量，求V 的维数和一组基。解设矩阵A的秩为r，则齐次线性方程组 AX 0的任一基础解系都是 V的基， 且V的维数为n r。例2数域P上全体形如;:的二阶

2、方阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成的线性空间，求此空间的维数和一组基解易证01 , 0 0为线性空间V10 0 1组，且对V中任一元素 0 a有0 a a b a b按定义0 1 , 0 0为v的一组基，10 0 10a 1 a,b p的一组线性无关的向量ab010 0a+b100 1V的维数为2。方法二在已知线性空间的维数为 n时，任意n个向量组成的线性无关向量组均 作成线性空间的基。例3假定R xn是一切次数小于n的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间，证明：1, x 1 , x 1 2,L , x 1 n 1构成R x n的基。证明 考察 k1 1 k2 x 1 L kn x

3、1 n 1 0由xn 1的系数为0得kn 0，并代入上式可得xn 2的系数kn 1 0依此类推便有 kn kn 1 L k10 ，故 1, x 1 ,L , x 1 线性无关又Rx的维数为n,于是1, x 1 ,L , x 1 n1为R x的基。n111n方法三 利用定理：数域 p 上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有 相同的维数。例4设A 01，证明：由实数域上的矩阵A的全体实系数多项式f A组成1001的空间V f A | A与复数域C作为实数域R上的线性空间10V a bi| a,b R同构，并非求它们的维数。证明V中任一多项式可记为f A =aE bA, a,b R，建立v到

4、V的如下映射: 1 a1 bif1 A a1E b1A a1 ,b1 R易证 是V到V上的单射，满射即一一映射。再设 2 a2 b2i, a2, b2 R, K R ，则有故 是V到V的同构映射，所以V到V同构另外，易证V的一个基为1， i，故dimV 2方法四 利用以下结论确定空间的基：设1, 2,L , n与1, 2,L , n是门维线性空间V中两组向量，已知1, 2丄,n可由1 , 2 , L , n 线性表出：a11a12La1 na21a22La2nan1an2Lann令A1, 2,L , n也是V的一如果i, 2,L , n为V的一组基，那么当且仅当A可逆时,组基。例5已知1,x,

5、x2,x3是p x 4的一组基，证明1,1 x, 1 x 2, 1 x 也是p x 4的一组基。证明因为1000110012101321所以1,1 x, 123x , 1 x也为p x 4的一组基。方法五如果空间V中一向量组与V中一组基等价，则此向量组一定为此空间的一组基。例6设R x 2表示次数不超过2的一切实系数一元多项式添上零多项式所构成的 线性空间的一组基，证明x2 x, x2 x,x 1为这空间的一组基。证明 k1 x2 xk2 x2 xk3 x 10贝 yk, k2 0k1 k2 k30k30解得 k3 k2 k1 0于是x2 x, x2 x,x 1线性无关，它们皆可由x2,x,1

6、线性表示，因此 x2 x,x2 x,x 1与x2,x,1等价，从而R x 2中任意多项式皆可由x2 x, x2 x, x 1线性 表示，故x2 x, x2 x,x 1为R x 2的基。方法六利用下面两个定理:定理一：对矩阵施行行初等变换和列变换，不改变矩阵列向量间的线性关系定理二：任何一个m n矩阵A，总可以通过行初等变换和列变换它为标准阶梯矩阵：Ib00，其中Ir表示r阶单位矩阵。依据这两个定理，我们可以很方便地求出 ViI V2的一个基，从而确定了维数。例7设VL 1, 2 ,V2L 1, 2是数域F上四维线性空间的子 空间，且1 1,2,1,0 , 21,1,1,1 ； 12, 1,0,

7、1 , 21, 1,3,7 .求 VJ V2 的一个基与维数。解若r V1IV，则存在 X1,x2, y1, y2 F，使rx1 1x22y1 1 y2 2 ( 1 )即有 xi 1 x2 2 yi 1 y2 2 0 （ 2）若i, 2, i, 2线性无关，（2）仅当x X2 y y2 0时成立那么ViI V2是零子空间，因而没有基，此时维数为 0, V V2是直和若存在不全为零的数x1, x2, y1, y2使（2）成立，则y I V2有可能是非零子空间若为非零子空间，由（1）便可得到基向量r 0以1, 2, 1, 2为列向量作矩阵A，经行初等变换将A化为标准阶梯形矩阵Ar 1 4 23 1

8、25,2,3,4 是 V1 I V2 的一个基同时知，1, 2是V的一个基，dimy 21, 2是 V2 的一个基，dimV221, 2, 1, 2是V V2 的一个基，dim V| V2 秩 A =3方法七在线性空间V中任取一向量，将其表成线性空间V线性无关向量组 的线性组合的形式，必要的话需说明向量组是线性无关的。这一线性无关向量组就 是我们要找的基。例8求V1 L（ 1，2）与V2 L（ 1， 2）的交的基和维数。设1 （1,2,1,0） ， 1 （2， 1,0,1）设 2 （ 1，1,1,1）， 2 （1， 1,3,7）解任取V1 IV2 ， 则V1，x11x22 ，且V2，y11y2

9、2 ，Xi 1 X2 2 yi 1旳2 （注：此时a虽然已表成一线性组合的形式，但它仅仅是在V、V2中的表示，并非本题所求，即要在空间V V2中将a线性表出）x1 1 x2 2 y1 1 y20，求 x1,x2,y1, y2解得 （x1,x2, y1,y2）（k,4k,3k,k）故V1 I V2是一维的，基是（5, 2,3,4）易知 （5, 2,3,4） 是非零向量，是线性无关的。方法八 按维数公式求子空间的交与和的维数和基维数 公 式 ：如 果V1,V2是 有 限 维线性 空 间 V 的 两 个子空 间 ，那 么dim V1dim V2dim V1V2dim V1 I V2例9 已知 13,

10、1,2,1 ,2 0,1,0,211,0,1,3 , 22,3,1,6求由向量1, 2生成的p4 的子空间V1 L1,2 与向量 1,2生成的子空间V2L1,2 的交与和空间的维数的一组基。解 因为 V1V2L 1,2,1, 2，对以 1, 2, 1, 2 为列的矩阵施行行初等变换：3 0 12000011031103AB2 0 11001112360003秩 A 秩 B3，所以V1V2的维数是3且1, 2, 1, 2为极大线性无关组，故它们是 Vi V2的一组基。又由1, 2线性无关知V1的维数为2，同理V2的维数也为2，由维数公式知V1 I V2 的维数为 2 2 3 1 。从矩阵B易知1

11、212 2,故123, 3,2, 3是VV公有的非零向量，所以它是交空间 V1 I V2 的一组基。方法九 由替换定理确定交空间的维数。替换定理：设向量组 1, 2,L , r 线性无关，并且 1, 2,L , r 可由向量组1, 2,L , s 线性表出，那么2必要时可适当对 1, 2 L , s中的向量重新编号，使得用 1, 2丄，r替换1, 2丄，r后所得到的向量组1, 2丄，r, r 1丄，s与向量组1, 2丄,s等价。特别，当r s时，向量组1, 2,L , s与向量组1, 2丄，s等价。例 10 已知向量组 12,0,1,3 , 20,3,1,0 , 31,2,0,2 , 42,6,3,3 , 设它们是向量组1, 2, 3的线性组合，又设向量组At, L ,咕与向量组1, 2, 3等价，试求斤卫丄，咕生成的空间的交空间的基和维数。201304110701解031003100310巾干120212021202263306200000显然1,2,3,4