圆知识点复习

1、圆中常见的辅助线的作法1. 遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。作用：利用垂径定理； 利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； 利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。2. 遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角。作用：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形。3. 遇到90度的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。作用：利用圆周角的性质，可得到直径。4. 遇到弦时常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。作用： 可得等腰三角形；据圆周角的性质可得相等的圆周

2、角。5. 遇到有切线时（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）作用：利用切线的性质定理可得 0A丄AB，得到直角或直角三角形。（2）常常添加连结圆上一点和切点作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。6. 遇到证明某一直线是圆的切线时（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段。作用：若OA=r，则I为切线。（2）若直线过圆上的某一点，贝堆结这点和圆心（即作半径）作用：只需证0A丄I，则I为切线。（3）有遇到圆上或圆外一点作圆的切线7. 遇到两相交切线时（切线长）常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。作用：据切线长及其它性质，可得到： 角、线段的等量关系; 垂直

3、关系； 全等、相似三角形。8遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。作用：利用内心的性质，可得： 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线； 内心到三角形三条边的距离相等。9遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点作用：外心到三角形各顶点的距离相等。10遇到两圆外离时（解决有关两圆的外、内公切线的问题）常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线，或平移连心线。作用：利用切线的性质； 利用解直角三角形的有关知识。11 遇到两圆相交时常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等。作用：利用连心线的性质、解直角三角形有关知识； 利用圆内接四边形的性质； 利用两圆公共的

4、圆周的性质； 垂径定理。12. 遇到两圆相切时常常作连心线、公切线。y作用：利用连心线性质；切线性质等。13. 遇到三个圆两两外切时常常作每两个圆的连心线。作用：可利用连心线性质。14. 遇到四边形对角互补或两个三角形同底并在底的同向且有相等“顶角”时常常添加辅助圆作用：以便利用圆的性质。三角形的外接圆与三角形的内切圆的区别与联系圆的名称三角形的 名称圆心的确定圆心的 名称圆心的性质三角形的外 接圆圆内接三 角形三角形的三边中垂线 的交点外心外心到三角形的三个顶点的距离相等三角形的内 切圆圆外切三 角形三角形的三角平分线 的交点内心内心到三角形的三条边的距离相等（2012山东德州中考）如图，“

5、凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成.已知正三角形的边长为 1，则凸轮的周长等于 .【解析】每段弧的长为丨n_R = 1 2冗=，故三段弧总长为冗.18063n r【点评】此题主要考查圆的弧长公式丨此题还可以用转换法，实际三个弧之和相等于一个半圆.180（2012四川内江）如图2，AB是O O的直径，弦CDL AB,/ CDB= 30 ,CD= 23，则阴影部分图形的面积为A. 4 nB. 2nC.nD.COB图2共2815【解析】如下图所示，取 AB与CD的交点为E,由垂径定理知 CG 3，而/ COB= 2/ CDB= 60，所以 OCCE = 2,

6、OE= OC= 1,接下来发现 OE= BE,可证 OCEA BED 所以 S 阴影=S 扇形 cob= n 2 = Z3图263【点评】圆的有关性质是中考高频考点，而图形面积也是多数地方必考之处，将它们结合可谓珠联璧合.解答此 题需在多处转化：一是将阴影面积转化为扇形面积问题解决；二是由圆周角度数求出圆心角度数；三是发现图中 存在的全等三角形，这一点是解题关键.（2012山东省临沂市） 如图，AB是O O的直径，点E是BC的中点，AB=4, / BED=120,则图中阴影部分的面积之 和为（）A.1 B. C. 3 D.2 五2【解析】由图得，四边形 ABED是圆内接四边形，/ B=Z D=

7、Z DEC=60,.弓形BE的面积等于弓形 DE的面积,又 AB是O O的直径，点E是BC的中点，AB=4, / BED=120, BE=ED=AD=,BC=4阴影部分面积ABC - SA ABC=4j3 , S CDE=1ABC”、“ 【解析】 阴影部分的周长包括线段 AC+CD+D的长和弧AB的长.由折叠的性质可知，AC+CD=OA=6;DB=OB= 故周长可求求面积需要连接OD,证明 ODB是正三角形，得到/ CBO=30，求出 OC的长，阴影部分的面积=S扇形 AOB -2 SA OBC 【答案】解：连接OD/ OB=OD,OB=BD ODB是等边三角形/ DBO=60/ OBCM C

8、BD=30在 Rt OCB中, OC=OBtan30 =2 .3 .11 _ _二 Saobc -OC- 2 3 6 6 32 2S阴影部分=S1形AOB2SaOBC1 _-g36 2 6 34-OQ=24-3x共2816912,3有图可知，CD=OC,DB=OBL阴影部分=弧 AB+AC+CD+DB=26+6 =12+6(2012南京市)某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成，如图，在OO和扇形QCD中，O O与OC O2D分别相切于点 A、B,已知/ CQD=6d,E、F是直线QQ与O 0、扇形Q2CD的两个交点，且 EF=24厘米，设O O的半 径为x厘米.(1) 用含x的代数式表示扇形

9、 02CD的半径；(2) 若O 0、扇形QCD两个区域的制作成本分别为0.45元/厘米2和0.06元/厘米2,当O Q的半径为多少时，该玩具的制作成本最小?解析：连接A0,在Rt AOQ中，利用三角函数表示出 QC2D的长，求出C2F;第二问中将两个面积用 x的代数式表 示出来，利用二次函数求最值答案：(1)连接A0,TO Q与 QC、QD分别相切于点 A、B,. OA!QA, / AQE=/ DQE/ C0D=6C, / AQO=30：在 Rt AOQ 中，0 E=OA=x费用y总=圆+y扇2y 总=0.45 n x +0.06 X2(360 60) (24 3x)360共28362=0.9

10、 n x -7.2 n x+28.8 n当x=-=4时，该玩具的制作成本最小，最小值y=14.4 n .2 0.9点评：本题涉及到了三角函数，切线的性质，扇形的面积公式，二次函数最值问题等，是一道综合性题目（2012山东莱芜） 已知：如图，在菱形 ABCD中, AB=2.3，/ A=60 ,以点D为圆心的O D与边AB相切于点E.（1）求证：O D与边BC也相切；（2）设O D与BD相交于点H,与边CD相交于点F,连接HF,求图中阴影部分的面积（结果保留n） ;（3）O D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动半周，当S仙产3 Smdf时，求动点 M经过的弧长（结果保留n）（第冇殛图）（第站題

11、图）【解析】（1）证明：连结 DE,过点D作 DNL BC,垂足为点N.四边形ABCD菱形 BD平分/ ABC. .1 分边AB与O D相切于点E. DEI AB,DN=DEO D与边BC也相切. .3 分(2)v四边形 ABCD菱形 AD AB 2 3,又/ A=60二 DE AD sin60 =3,即O D 的半径是3.4分=332故 S HDF= 132 29 3,S扇形HDF=6032_360_1又/ HDF=_ / CDA=60 ,DH=DF,2 HDF是等边三角形.过点 H作 HGL DF于点 G,贝U HG=3 sin60 S 阴影=S 扇形 HDF S HDF(3)假设点M运动

12、到点M i时，满足S HDF K 3 SMDF 过点 M 1 作 M 1 P丄 DF于点 P,3 M1P,解得 M13P=.2故/ FDM1 =30此时经过点 M的弧长为:过点M1作M1M2/DF交O D于点M2,则满足30 3180 2HDF= ；3Sa mdf 3S m2df ,此时/ FDM2=150,15035I2180 2综上所述，当S HD= v3 SMDF时，动点M经过的弧长为一或5-.2 2点M经过的弧长为:.10 分(2012四川成都)如图，AB是O O的直径，弦CDL AB于H,过CD延长线上一点 E作O 0的切线交AB的延长线于F.切点为 G,连接AG交CD于K.(1)求

13、证：KE=GE2(2)若KG =KD- GE试判断AC与EF的位置关系，并说明理由;(3) 在(2)的条件下，若sinE= 3 , AK=2 3，求FG的长.5解析：利用切线的性质和等边对等角可以证明/EGK=/ EKG然后根据等角对等边，即可证明第(1)小题；对于KEKG KGSA KGE/ KGD=Z E/ KGD=Z C第（2）小题，可以先由等积式得到比例式，然后得到三角形相似，根据角的关系可以判断两条直线的位置关系；对于第（3）小题，可以先利用方程的思想求出相关线段的长，然后利用三角函数求FG的长。答案：(1)如下图，连接OG EG是OO的切线 OGL GE Z OGKZ EGK= 9

14、0 CD丄 AB/-Z OAG# AKHk 90 / OG=OA. / OGKM OAG/ EGK=/ AKH玄 EKG KE=GE(2) AC/ EF理由如下: KG2=KD- GE GE=KE.KGKD AC/ EF（3）在（2）的条件下, AC/ EF./ CAF=Z F,ZE=Z C4 3,ta nE=ta nC=5 43 3 sin E= sinC= ,sinF=5 5连接BG过G作GN丄AB于N,交O O于Q则弧BQ=2 2答案m -5 .(2012甘肃兰州)如图，已知O O是以坐标原点 O为圆心，1为半径的圆，/ AOB=45,点P在x轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与O O

15、有公共点，设P (x, 0),贝U x的取值范围是解析：由题意得x有两个极值点，过点 P的直线与O O相切时，x取得极值，作出切线，利用切线的性质求解即可.如图，设过点P且与OA平行的直线与O O相切于点D,连接OD由题意得，OD=1 / DOP=45 / ODP=90故可得OP=2，即x的极大值为2，同理当点P在x轴左边时也有一个极值点,此时x取得极小值，x= 、2 ,综上可得x的范围为：、2 XW-. 2答案：2W2(2012甘肃兰州) 如图，Rt ABC中，/ ABC=90，以AB为直径的O O交AC于点D, E是BC的中点，连结 DEO巳(1)判断DE与O O的位置关系并说明理由；A1

16、(2)求证：BC=2CD OE45(3)若 tanC=三-,DE=2 求 AD 的长.BEC第26题图解析：(1)连接 OD BD,求出/ ADB=/ BDC=90，推出 DE=BE=CE 推出/ EDB玄 EBD / OBD* ODB 推出/ EDO=/ EBO=90 即可；(2)由题意可得。丘是厶ABC的中位线，即 AC=2OE易证 AB3A BDC可得BC=CD AC,把AC=2O毗入即可；(3)由 tanC=可设BD=,5x , CD=2x在Rt BCD中，由勾股定理得出(、5x)2(2x)216，求出 x, 求BD，代入求出即可.出BD,再根据tan / ABD=tanC求出AD解：

17、(1) DE与O 0相切.理由如下:连接OD,BD/ AB是直径，/ ADBM BDC=90 .E 是 BC的中点， DE=BE=CE./ EBDd EDB.OD=OB；. / OBDM ODB./ EDOM EBO=90 .(用三角形全等也可得到)；DE与OO相切.(2)由题意可得 。丘是厶ABC的中位线， AC=2OE Z ABCM BDC=90 ABCA BDC,；Z C=ZCBC ac ,即bC=CD AC (另：用射影定理直接得到也可 ) CD BC BC=2CD OE(3)t tanC= 5，可设 BD= . 5x , CD=2x,2在 Rt BCD中，BC=2DE=4 bD+cD

18、=b6 ( . 5x )2+ ( 2x )=16，解得：x= (负值舍去)3 BD= . 5x = 4 53/Z ABDM C； tan M ABD=tanC*55Ar10； ADBD一 5一223310答：AD的长是10 .3(2012湖北黄冈) 如图，在 ABC中，BA=BC以AB为直径作半圆O O,交AC于点D.连结DB过点D乍DEX BC,垂足为点E. (1)求证：DE为O O的切线；(2)求证：dB=AB BE.【解析】(1)连接OD根据切线的判定定理来证明；(2)证明 ABMA DEB推得2DB=AB- BE. Z ADB=90 . / AB=BC【答案】证明：(1)连接OD./

19、AB为半圆O O的直径 D 为 AC 中点.又 0 为 AB 的中点 .OD/ BC / DEL BC / ODL DE DE是O O的切线.(2 )T AB=BC / ADB=90CBD=Z DBA 又/ ADB玄 DEC=90 ABDA DEB _AB _DB 即 DE2 AB EB DB EB【点评】本题考查了圆周角定理的推论、等腰三角形的“三线合一”、切线的判定定理、相似三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、平行线的性质等，较为综合，但属于常规题难度中等(2012 山东日照)在 RtAABC中，/ C=90, AC=3, BC=4, AB=5.(I )探究新知如图OO是厶ABC的内切

20、圆，与三边分别相切于点E、F、G.(1)求证：内切圆的半径 ri=1;(2 )求 tan / OAG勺值；(H)结论应用(1 )如图若半径为 2的两个等圆O O、O Q外切，且O O与AC AB相切，O O与BC AB相切，求2的值;(2)如图若半径为 rn的n个等圆O O、O Q、O O依次外切，且O O与AC AB相切，O O与BC AB 相切，O O、O Q、O O均与AB相切，求rn的值.解析：(I) (1 )运用切线长定理可得；(2)连接OA,OG构造直角三角形求 表示AB的长列方程求解；(2)解；(H)(1)联想(I)(2)的解题方法，用 2寻找规律，用rn表示AB的长列方程求解解：（I） （1）证明：在图中，连结 OEOFOA四边形CEOF是正方形，CE=CF=r又 AG=AE3- r 1, BG=BF4=-r 1, AG+BG5,OG 1/1=1, AG=3- m=2, tan / OAG =; AG 2(H) (1)连结OA、QB,作ODLAB交于点 D QE丄AB交于点E, AQ BO分别平分/ CAB / ABC11