排列组合和项式定理综合能力测试

1、第十章 排列、组合和二项式定理综合能力测试本试卷分第 卷（选择题）和第卷（非选择题 ）两部分。满分 150分。考试时间 120分钟。第卷（选择题 共 60 分）一、选择题 （每小题只有一个选项是正确的，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 ）1满足 Cx23x14C214x6的 x 的值是（ ）A2和 3B2,3和 5C 3 和 5D 只有 3答案： C解析：由组合数性质， CnmCnnm，得 x23x2x6或 x23x2x614，解得 x2 或x3或x4或 x5，又 x23x0且2x60，x3或 5.故选 C.2（2009 广西一模 ）在（1x）6

2、 展开式中，含 x3 项的系数是（ ）A 20B 20C 120D 120答案： B解析： 通项 Tr1C6（ x） （1） C6x ，所以 x 项的系数是 （1） C6 20.3（2009 湖南， 5）某地政府召集 5 家企业的负责人开会，已知甲企业有 2 人到会，其余4 家企业各有 1 人到会，会上有 3 人发言，则这 3 人来自 3 家不同企业的可能情况的种数为 （）A 14 B16 C 20 D48答案： B解析： 分两类： 含有甲有 C12C42种， 不含有甲有 C43种，共有 C21C42C3416（种），选 B.4（2009 湖北， 4）从 5名志愿者中选派 4 人在星期五、星期

3、六、星期日参加公益活动， 每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派 方法共有 （ ）A 120 种 B 96 种C60 种 D48 种答案： C解析： 按分步计数原理求解先从 5人中选出 4 人参加活动有 C45种方法，要依次安排三 天派出的人员，分别有 C14，C23，C11种方法，所以共有 C45C41C3254360 种方法，故 选 C.5（2009 四川， 11）2 位男生和 3 位女生共 5位同学站成一排，若男生甲不站两端， 3 位 女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 （ ）A 60 B48 C 42 D36答案： B解析： 依题意

4、，先排 3 位女生，有 A33种再把男生甲插到 3 位女生中间有 A 12种把相 邻的两位女生捆绑，剩下一个男生插空，有C41种，所以不同排法种数为 A33A12C1448，故选B.6（2009 陕西， 9）从 1,2,3,4,5,6,7 这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为 （ ）A 432 B288 C216 D 108答案： C解析： 第一步先从 4 个奇数中取 2 个再从 3个偶数中取 2个共 C42C23 18 种，第二步再把 4 个数排列，其中是奇数的共 A21A3312 种，故所求奇数的个数共有 18 12 216 种故 选 C.7若在

5、（x1）4（ax 1）的展开式中， x4的系数为 15，则 a 的值为 （ ） 57A 4B.2C4D.2答案： C解析： （x1）4（ax 1） （x4 4x36x24x1）（ax 1）， x4的系数为： 4a1 15，a 4.故选 C.18若 （x x1）n展开式的二项式系数之和为 64，则展开式的常数项为（ ）A 10 B20 C 30 D120答案： B解析： C0nCn1Cnn2n64， n6.Tr 1 Cr6x6 rx rCr6x6 2r，令 6 2r0，r3，常数项： T4 C6320，故选 B.9（2009 江西， 7）（1 axby）n展开式中不含 x 的项的系数绝对值的和为

6、 243，不含 y的 项的系数绝对值的和为 32，则 a，b，n 的值可能为（ ）A a2，b 1， n5Ba 2，b 1，n6Ca 1，b2，n6Da1，b2，n5答案： D解析：不含 x 的项的系数的绝对值为 （1|b|）n24335，不含 y 的项的系数的绝对值为 （1 n 51|b| 3，|a|）n3225， n5，故选 D.1 |a| 2，10 （2010 重庆模拟 ）从正方体的6 个面中选取 3 个面，其中有2 个面不相邻的选法共有（）A8种C 16 种答案： B解析： 联想一空间模型，注意到 构造，即 C61C21 ；也可从反面入手剔除B12种D20种有 2 个面不相邻 ” ，既

7、可从相对平行的平面入手正面 8 个角上 3 个相邻平面，即 C63C1812 种11（2009 西安地区八校联考 ）某班一天上午有 4 节课， 每节都需要安排一名教师去上课， 现从 A、B、C、D、E、F 6名教师中安排 4 人分别上一节课，第一节课只能从A、 B两人中安排一人，第四节课只能从 A、C 两人中安排一人，则不同的安排方案共有（ ）A 24 种B 36 种C 48 种D72 种答案： B解析： 若 A 上第一节课，则第四节课只能由 C 上，其余两节课由其他人上，有A42种安排方法；若 B上第一节课， 则第四节课有 2种安排方法， 其余两节课由其他人上， 有 2A24种 安排方法所以

8、不同安排方法的种数为A24 2A24 36.12（2010 江苏丹阳模拟 ）若对于任意的实数 x，有 x3a0a1（x2）a2（x 2）2a3（x2）3， 则 a2 的值为（ ）A3B6C9 D 12答案： B解析： 解法一：等式右边为二项式结构，因此将左边x3 转化为二项式形式：3 3 0 3 0 1 2 1 2 1 2 3 0 3 x3（x2）23C03（x2）320C13（x2）221C32（x 2）122C33（x 2）023， a2 C3121 6.解法二：显然 a3 1，等式右边 x2 的系数为 a2a3C13（2），而等式左边 x2的系数为 0， a2 6.第卷（非选择题 共 9

9、0 分）二、填空题 （本大题共 4小题，每小题 5 分，共 20分，请将答案填在题中的横线上。 ） 13 （2009 重庆， 13）5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有 种（用数字作答 ）答案： 72解析： 先求 5 个人的全排列，再减去甲、乙相邻时的排法，A 55 A22A441204872.14 （2009 上海， 11）若某学校要从 5名男生和 2名女生中选出 3人作为上海世博会志愿 者，则选出的志愿者中男女生均不少于 1 名有 种选法答案： 25解析： 分两类： 1男 2女或 2男 1女，所选人数 C51C22 C52C 21 5 20 25.15（2009 湖南，10）在（1

10、x）3（1 x）3（13x）3的展开式中，x的系数为 （用数字作答 ）答案： 7解析： C31C32C33 2317.16 （2009 四川， 13）（2x 21x）6的展开式的常数项是 （用数字作答 ）答案： 20解析： 展开式的通项公式Tr1 Cr6（2x）6r（21x）r（1）rCr626rx62r（12）r，当 62r01即 r3 时为此二项展开式的常数项，为 （1）3C3623（12）320.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 ）17 （2009 五校单元训练 ）（本小题满分 10 分）（1）求 7777 7被 19 整除所得的余数

11、；（2）求 1.025 的近似值 （精确到 0.01） 解析： （1）77761 419 1， 77 7（761） 7 C7776 C7776 C7776 C 771 7 76（C0777676C1777675C7767）19 （196）， 所以余数是 19 613.（2）1.02 5（10.02）51C150.02C520.022C530.023C450.024C550.025， 2 2 3 C 520.022 4 103 0.004，C35 0.0238105， 当精确到 0.01 时，只需取展开式的前三项和为： 1 0.10 0.004 1.104.则近似值为 1.10.18（本小题满分

12、 12 分）已知（2 x2）n展开式中的第四、 第五、 第六项的二项式系数成等差 数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数分析： 问题的关键在于求 n，n 确定后，可由二项式系数的性质确定项解析： 由于第四、第五、第六项的二项式系数成等差数列可得C4nC6n2Cn5建立关于 n 的方程得 n（n1）（n2）（n3）4！n（n 1）（n 2）（n 3）（n 4）（n 5） 6！2n（n1）（n2）（n3）（n4）25！ 系数为 C71427(21)73432；当 n7时，二项式系数最大的项是 T4和 T5 ，T4的系数为 C7324(21)3 70，T5 的系数为 C4723(21)4325.化

13、简得 n221n980，解得 n 14 或 7，当 n14 时，项式系数最大的项是T8，其总结评述： 在(2x2)n 的展开式中，每一项的系数与它的二项式系数是不同的求解中若 不注意这一点，就会产生错误利用方程的观点建立关于 n 的方程是二项式系数应用的一大特点，求解时注意：是求二 项式系数最大的系数，而不是求二项式系数19(本小题满分 12分)用 0,1,2,3,4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重 复的五位数(1) 被 4 整除；(2) 比 21034 大的偶数；(3) 左起第二、四位是奇数的偶数解析： (1)被 4 整除的数，其特征应是末两位数是4 的倍数，可分两类：当末两位

14、数是20,40,04时，其排列数为 3A3318 个，当末两位数是 12,24,32时，其排列数为 3A21A2212个， 故满足条件的五位数共有3A333A21A2230 个(2)法一：可分五类，当末位数是0，而首位数是 2 时，有 A12A22A226 个；当末位数字是 0，而首位数字是 3 或 4 时，有 A21A3312 个；当末位数字是 2，而首位数字是 3 或 4 时，有 A12A33 12 个；当末位数字是 4，而首位数 字是 2时，有 A22A113 个；当末位数字是 4，而首位数字是 3时，有 A336 个故有 (A2A2 A2)A2A3A2A3A2A1A3 39 个 法二：

15、不大于 21034 的偶数可分为三类： 万位数字为 1 的偶数，有 A13A33 18 个； 万位数字为 2，而千位数字是 0 的偶数，有 A12个； 还有 21034 本身而由 0,1,2,3,4 组成的五位偶数有A44A12A33A5360个故满足条件的五位偶数共有60A31A33A21139 个(3)法一：可分两类， 0是末位数，有 A22A224个，2或 4是末位数，有 A22A21 4个故共 有 A2A2 A2A2 8 个法二：第二、四位从奇数 1,3 中取，有 A22；首位从 2,4 中取，有 A21个；余下的排在剩下 的两位，有 A22个，故共有 A22A21A22 8 个反思归

16、纳： (1) 数字排列问题， 0 不能排首位，特殊元素 (特殊位置 )应优先考虑； (2)合理分类或分步，做到不重不漏；(3) 正难则反，注意间接法的应用20 (本小题满分 12分)已知在(3 x 3 )n的展开式中，第 6项为常数项3x(1) 求 n；(2) 求含 x 2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项解析： (1)通项公式为r nrr r rr n 2rTr1 Crnx 3 (3)rx3Crn( 3)rx 3 .n 2r 第 6 项为常数项， r 5 时，有 n3 2r 0， n 10.n 2r1(2)令 3 2，得 r2(n6)2， 所求的系数为 C120(3)2405.102r

17、Z(3) 根据通项公式，由题意，得0r10.rN令103 2rk(kZ)，则3310 2r3k，r 52k.rN，k 应为偶数故 k 可取 2,0,2，即 r 可取 2,5,8，所以第 3项、第 6项、第 9 项为有理项，它们分别为：C120(3)2x2、C510(3)5、C810(3)8x2.21 (本小题满分 12分)从 5名男生、 3名女生中选 5人担任 5门不同学科的课代表，分 别求符合下列条件的方法数；(1) 女生甲担任语文课代表；(2)男生乙必须是课代表，但不担任英语课代表；(3)3 名男课代表， 2 名女课代表，男生乙不任英语课代表分析： 本题是先组合后排列问题，特殊情况可优先考

18、虑解析： (1) 女生甲担任语文课代表，再选四人分别担任其他四门学科课代表，方法数有 C74A44840 种(2)先选出 4 人，有 C74种方法，连同乙在内， 5人担任 5 门不同学科的课代表，乙不担任 英语课代表，有 A41A44种方法，所以方法数为 C74A14A443360 种(3) 分两类，乙担任课代表，乙不担代课任表第一类：乙担任课代表，先选出 2 名男生 2 名女生，有 C42C23种方法，连同乙在内， 5 人 担任 5门不同学科的课代表， 乙不担任英语课代表， 有 A 14A44种方法， 方法数为 C42C32A 41A 44种； 第二类：乙不担任课代表，有 C34C32A55种方法根据分类计数原理，共有 C42C32A41A44C34C32A553168 种不同方法22 (本小题满分 12 分)已知数列 an(nN*)是首项为 a1公比为 q的等比数列0 1 2 0 1 2 3(1) 求和 a1C02 a2C21 a3C22， a1C03 a2C31a3C32 a4C33；(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数 n 的一个结论，并