2020-2021初三培优平行四边形辅导专题训练附详细答案

1、2020-2021 初三培优平行四边形辅导专题训练附详细答案一、平行四边形1如图，在正方形 abcd 中，e 是边 bc 上的一动点（不与点 b、c 重合），连接 de、点 c 关于直线 de 的对称点为 c，连接 ac并延长交直线 de 于点 p，f 是 ac的中点，连接 df （1）求 fdp 的度数；（2） 连接 bp，请用等式表示 ap、bp、dp 三条线段之间的数量关系，并证明；（3） 连接 ac，若正方形的边长为 2 ，请直接写 acc的面积最大值【答案】（1）45；（2）bp+dp 2 【解析】【分析】ap，证明详见解析；（3） 2 1（1）证明 cde cde 和 adf cd

2、f，可得 fdp12 adc45；（2） 作辅助线，构建全等三角形，证 bap dap（sas），得 bpdp，从而得 pap是等腰直角三角形，可得结论；（3） 先作高线 cg，确 acc的面积中底边 ac 为定值 2，根据高的大小确定面积的大 小，当 c在 bd 上时，cg 最大， acc的面积最大，并求此时的面积【详解】（1）由对称得：cdcd， cde cde，在正方形 abcd 中，adcd， adc90， adcd， f 是 ac的中点， dfac， adf cdf， fdp fdc+ edc12 adc45；（2）结论：bp+dp 2ap，理由是：如图，作 apap 交 pd 的延

3、长线于 p， pap90，在正方形 abcd 中，daba， bad90， dap bap，由（1）可知： fdp45 dfp90 apd45， p45， apap，bap dap中，ba =da bap =dap，ap =ap bap dap（sas）， bpdp， dp+bpppap；2（3）如图，过 c作 cgac 于 g，则 s acc12accg，abc 中，abbc 2 ， ac( 2)2+( 2)2=2 ，即 ac 为定值，当 cg 最大值 acc 的面积最大，连接 bd，交 ac 于 o，当 c在 bd 上时，cg 最大，此时 g 与 o 重合，c(6,6) ,6 p ,145

4、 5o cdcd2 ，od12ac1， cg2 1， s1 1 ac c g= 2( 2 -1) = 2 -1 2 2【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判 定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题2已知矩形纸片 obcd 的边 ob 在 x 轴上，od 在 y 轴上，点 c 在第一象限，且ob =8，od =6.现将纸片折叠，折痕为 ef（点 e，f 是折痕与矩形的边的交点），点 p为点 d 的对应点，再将纸片还原。（i）若点 p 落在矩形 obcd 的边 ob 上，1 如图，当点 e 与点 o 重合时，求点 f

5、的坐标；2 如图，当点 e 在 ob 上，点 f 在 dc 上时，ef 与 dp 交于点 g，若 op =7 ，求点 f 的 坐标：（）若点 p 落在矩形 obcd 的内部，且点 e，f 分别在边 od，边 dc 上，当 op 取最小值 时，求点 p 的坐标（直接写出结果即可）。85 8 6 【答案】（i）点 f 的坐标为 ；点 f 的坐标为 ；（ii） 【解析】【分析】（i）根据折叠的性质可得dof =pof =45 ,再由矩形的性质，即可求出 f 的坐 标;由折叠的性质及矩形的特点，易得ddgf dpge ，得到 df =pe ，再加上平行，可以得到四边形 depf 是平行四边形，在由对角

6、线垂直，得出 y depf 是菱形，设菱形的边长为 x，在rtdode中，由勾股定理建立方程即可求解;()当 o,p,f 点共线时 op 的长度最短.【详解】解：（i） 折痕为 ef,点 p 为点 d 的对应点p ,5 5ddof dpof dof =pof =45 四边形 obcd 是矩形，oodf =90dfo =dof =45 df =do =6点 f 的坐标为(6,6) 折痕为 ef，点 p 为点 d 的对应点. dg =pg , ef pd 四边形 obcd 是矩形， dc / / ob，fdg =epg；q dgf =pgeddgf dpge df =peq df / / pe 四

7、边形 depf 是平行四边形. q ef pd ，y depf 是菱形.设菱形的边长为 x，则de =ep =xq op =7，oe =7 -x，在 rtdode 中，由勾股定理得od2+qb2=de2 6 2 +(7 -x ) 2 =x 2解得x =8514 df =8514 点 f 的坐标为85 ,614 8 6 （） 【点睛】此题考查了几何折叠问题、等腰三角形的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知 识，关键是根据折叠的性质进行解答，属于中考压轴题3在正方形 abcd 中，点 e，f 分别在边 bc，cd 上，且 eaf= cef=45.(1) adf 绕着点 a 顺时针旋转 90，

8、得 abg(如图)，求证 aeg aef；(2)若直线 ef 与 ab，ad 的延长线分别交于点 m，n(如图)，求证：ef2=me2+nf2；(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变(如图)，请你直接写出线段 ef， be，df 之间的数量关系.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）ef2=2be2+2df2.【解析】试题分析：（1）根据旋转的性质可知 af=ag， eaf= gae=45，故可 aeg aef； （2） adf 绕着点 a 顺时针旋转 90，得 abg，连结 gm由（1）知 aeg aef，则 eg=ef再 bme dnf、 cef 均为等腰直角三角

9、形，得出 ce=cf，be=bm，nf= df，然后证明 gme=90，mg=nf，利用勾股定理得出eg2=me2+mg2，等量代换即可证明 ef2=me2+nf2；（3） adf 绕着点 a 顺时针旋转 90，得 abg，根据旋转的性质可以得到 adf abg，则 df=bg，再证 aeg aef，得出 eg=ef，由 eg=bg+be，等量代换 得到 ef=be+df试题解析：（1） adf 绕着点 a 顺时针旋转 90，得 abg， af=ag， fag=90， eaf=45， gae=45，age 与 afe 中， age afe（sas）；（2）设正方形 abcd 的边长为 aadf

10、 绕着点 a 顺时针旋转 90，得 abg，连结 gm adf abg，df=bg由（1） aeg aef， eg=ef cef=45， bme dnf、 cef 均为等腰直角三角形， ce=cf，be=bm，nf= abe=adf， be=df， be=bm=df=bg， bmg=45， gme=45+45=90， eg2=me2+mg2，df， eg=ef，mg= ef2=me2+nf2；bm= df=nf，（3）ef2=2be2+2df2如图所示，延长 ef 交 ab 延长线于 m 点，交 ad 延长线于 n 点， adf 绕着点 a 顺时针旋转 90，得 agh，连结 hm，he由（1

11、） aeh aef，则由勾股定理有（gh+be）2+bg2=eh2，即（gh+be）2+（bmgm）2=eh2又 ef=he，df=gh=gm，be=bm，所以有（gh+be）2+（begh）2=ef2， 即 2（df2+be2）=ef2考点：四边形综合题4已知 abd 中，边 ab=ob=1， abo=90问题探究：（1）以 ab 为边，在 abo 的右边作正方形 abc，如图（1），则点 o 与点 d 的距离为 （2）以 ab 为边，在 abo 的右边作等边三角形 abc，如图（2），求点 o 与点 c 的距 离问题解决：（3）若线段 de=1，线段 de 的两个端点 d，e 分别在射线

12、oa、ob 上滑动，以 de 为边向 外作等边三角形 def，如图（3），则点 o 与点 f 的距离有没有最大值，如果有，求出最大 值，如果没有，说明理由【答案】(1)、 5 ；(2)、 【解析】【分析】6 + 2 3 + 2 +1 ；(3)、 .2 2试题分析：(1)、如图 1 中，连接 od，在 odc 中，根据 od= oc 2 +cd2 计算即可(2)、如图 2 中，作 ceob 于 e，cfab 于 f，连接 oc在 oce 中，根据oc=oe2+ce2 计算即可(3)、如图 3 中，当 ofde 时，of 的值最大，设 of 交 de 于h，在 oh 上取一点 m，使得 om=dm

13、，连接 dm分别求出 mh、om、fh 即可解决问 题【详解】试题解析：(1)、如图 1 中，连接 od， 四边形 abcd 是正方形， ab=bc=cd=ad=1， c=90 在 odc 中， c=90， oc=2，cd=1， od=oc2+cd2=22+12= 5(2)、如图 2 中，作 ceob 于 e，cfab 于 f，连接 oc222 22 2 2 fbe= e= cfb=90， 四边形 becf 是矩形， bf=cf=123，cf=be= ，2 3 1 6 + 2在 oce 中，oc= oe +ce = 1+ + = (3)、如图 3 中，当 ofde 时，of 的值最大，设 of

14、 交 de 于 h，在 oh 上取一点 m，使得 om=dm，连接 dm1 fd=fe=de=1，ofde， dh=he，od=oe， doh= doe=22.5， om=dm，2 mod= mdo=22.5， dmh= mdh=45， dh=hm=122， dm=om= ，2 fh=df 2 -dh 2 =3 2 1 3 3 + 2 +1 ， of=om+mh+fh= + + =2 2 2 2 2 of 的最大值为3 + 2 +1 2考点：四边形综合题5如图 1， abc 中，abac，adbc 于 d，分别延长 ac 至 e，bc 至 f，且 ceef， 延长 fe 交 ad 的延长线于

15、g（1） 求证：aeeg；（2） 如图 2，分别连接 bg，be，若 bgbf，求证：beeg；（3） 如图 3，取 gf 的中点 m，若 ab5，求 em 的长【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）52【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和等腰三角形的三线合一的性质得： cad g，可得 aeeg； （2）作辅助线，证 bef gec（sas），可得结论；（3）如图 3，作辅助线，构建平行线，证明四边形 dmen 是平行四边形，得 emdn12ac，计算可得结论【详解】证明：（1）如图 1，过 e 作 ehcf 于 h， adbc， eh ad， ceh cad， hef g， c

16、eef， ceh hef， cad g， aeeg；（2）如图 2，连接 gc， acbc，adbc， bdcd， ag 是 bc 的垂直平分线， gcgb， gbf bcg， bgbf， gcbe， ceef， cef1802 f， bgbf， gbf1802 f， gbf cef， cef bcg， bce cef+ f， bce bcg+ gce， gce f，bef gce 中，ce =ef q gce =f，cg =bf bef gec（sas）， beeg；（3）如图 3，连接 dm，取 ac 的中点 n，连接 dn，由（1）得 aeeg， gae age，在 acd 中，n 为

17、ac 的中点， dn12acan， dan adn， adn age， dn gf，在 gdf 中，m 是 fg 的中点， dm12fggm， gdm age， gdm dan， dm ae， 四边形 dmen 是平行四边形， emdn12ac， acab5， em52【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性 质，等腰三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是作辅助 线，并熟练掌握全等三角形的判定方法，特别是第三问，辅助线的作法是关键6如图，在正方形 abcd 中，对角线 ac 与 bd 交于点 o，在 pfe 中， epf=9

18、0，点 e、f 分别在边 ad、ab 上（1） 如图 1，若点 p 与点 o 重合：求证：af=de；若正方形的边长为 2 3 ，当 doe=15时，求线段 ef 的长；（2） 如图 2，若 pfe 的顶点 p 在线段 ob 上移动（不与点 o、b 重合），当 bd=3bp 时，证明：pe=2pf【答案】（1）证明见解析， 2 2 ；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据正方形的性质和旋转的性质即可证得 aof doe 根据全等三角形的性质 证明；作 ogab 于 g，根据余弦的概念求出 of 的长，根据勾股定理求值即可；（2）首先过点 p 作 hpbd 交 ab 于点 h，根据相似三角

19、形的判定和性质求出 pe 与 pf 的 数量关系【详解】（1）证明： 四边形 abcd 是正方形， oa=od， oaf= ode=45， aod=90， aoe+ doe=90， epf=90， aof+ aoe=90， doe= aof，aof 和 doe 中，oafode oaod，aofdoe aof doe， af=de；解：过点 o 作 ogab 于 g， 正方形的边长为 23 ， og=12bc= 3 ， doe=15 aof doe， aof=15， fog=45-15=30， of=ogcosdog=2， ef=of2+oe2=2 2 ；（2）证明：如图 2，过点 p 作 h

20、pbd 交 ab 于点 h，hpb 为等腰直角三角形， hpd=90， hp=bp， bd=3bp， pd=2bp， pd=2hp，又 hpf+ hpe=90， dpe+ hpe=90， hpf= dpe，又 bhp= edp=45， phf pde，pf ph 1= =pe pd 2， pe=2pf【点睛】此题属于四边形的综合题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形 的判定与性质以及勾股定理注意准确作出辅助线是解此题的关键7如图，已知矩形 abcd 中，e 是 ad 上一点，f 是 ab 上的一点，efec，且 efec （1）求证 aef dce（2）若 de4cm，矩形

21、abcd 的周长为 32cm，求 ae 的长【答案】（1）证明见解析；（2）6cm.【解析】分析：（1）根据 efce，求证 aef= ecd再利用 aas 即可求 aef dce （2）利用全等三角形的性质，对应边相等，再根据矩形 abcd 的周长为 32cm，即可求得 ae 的长.详解：（1）证明： efce， fec=90， aef+ dec=90，而 ecd+ dec=90， aef= ecd在 aef 和 dec 中， fae= edc=90， aef= ecd，ef=ec aef dce（2）解： aef dceae=cdad=ae+4 矩形 abcd 的周长为 32cm， 2（a

22、e+ae+4）=32解得，ae=6（cm）答：ae 的长为 6cm点睛：此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和矩形的性质等知识点的理解和掌 握，难易程度适中，是一道很典型的题目8在v abc中， abc =90o，bd 为 ac 边上的中线，过点 c 作ce bd于点 e，过点a 作 bd 的平行线，交 ce 的延长线于点 f，在 af 的延长线上截取 fg =bd ，连接 bg，df(1)求证： bd =df ；(2)求证：四边形 bdfg 为菱形；(3)若 ag =5 ， cf = 7 ，求四边形 bdfg 的周长【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）8 【解析】【分析】(1)

23、利用平行线的性质得到 cfa =90o，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证，(2)利用平行四边形的判定定理判定四边形 bdfg 为平行四边形，再利用 (1)得结论即可得证，(3)设 gf =x ，则 af =5 -x，利用菱形的性质和勾股定理得到 cf、af 和 ac 之间的关系，解出 x 即可 【详解】(1)证明：qag / /bd，cf bd， cf ag，又q d 为 ac 的中点，1 df = ac2，又q bd =12ac， bd =df ，(2)证明：qbd/ /gf，bd =fg，四边形 bdfg 为平行四边形，又q bd =df ，四边形 bdfg 为菱形，(3

24、)解：设gf =x，则af =5 -x，ac =2x，在rtv afc中， (2x)2=( 7)2+(5 -x)2，解得：x =21，x =-2163(舍去 ) ， gf =2，菱形 bdfg 的周长为 8【点睛】本题考查了菱形的判定与性质直角三角形斜边上的中线，勾股定理等知识，正确掌握这些 定义性质及判定并结合图形作答是解决本题的关键9（问题发现）（1）如图（1）四边形 abcd 中，若 ab=ad，cb=cd，则线段 bd，ac 的位置关系 为 ；（拓展探究）（2）如图（2）在 abc 中，点 f 为斜边 bc 的中点，分别以 ab，ac 为底边，在 abc 外部作等腰三角形 abd 和等

25、腰三角形 ace，连接 fd，fe，分别交 ab，ac 于点m，n试猜想四边形 fman 的形状，并说明理由；（解决问题）（3）如图（3）在正方形 abcd 中，ab=2，以点 a 为旋转中心将正方形 abcd 旋转60，得到正方形 abcd，请直接写出 bd平方的值【答案】（1）ac 垂直平分 bd；（2）四边形 fman 是矩形，理由见解析；（3）16+8 或 168【解析】【分析】（1） 依据点 a 在线段 bd 的垂直平分线上，点 c 在线段 bd 的垂直平分线上，即可得出 ac 垂直平分 bd；（2） 根据 abc 中，点 f 为斜边 bc 的中点，可得 af=cf=bf，再根据等腰

26、三角形 abd 和等腰三角形 ace，即可得到 ad=db，ae=ce，进而得出 amf= man= anf=90，即可 判定四边形 amfn 是矩形；（3） 分两种情况：以点 a 为旋转中心将正方形 abcd 逆时针旋转 60，以点 a 为旋 转中心将正方形 abcd 顺时针旋转 60，分别依据旋转的性质以及勾股定理，即可得到结 论【详解】（1） ab=ad，cb=cd， 点 a 在线段 bd 的垂直平分线上，点 c 在线段 bd 的垂直平分线上， ac 垂直平分 bd，故答案为：ac 垂直平分 bd； （2）四边形 fman 是矩形理由： 如图 2，连接 af， abc 中，点 f 为斜边

27、 bc 的中点， af=cf=bf，又 等腰三角形 abd 和等腰三角形 ace， ad=db，ae=ce， 由（1）可得，dfab，efac， 又 bac=90， amf= man= anf=90， 四边形 amfn 是矩形；（3）bd的平方为 16+8或 168分两种情况：以点 a 为旋转中心将正方形 abcd 逆时针旋转 60， 如图所示：过 d作 deab，交 ba 的延长线于 e，由旋转可得， dad=60， ead=30， ab=2 =ad， de= ad= be=2 +，ae=， bde 中，bd2=de2+be2=（）2+（2 +）2=16+8以点 a 为旋转中心将正方形 ab

28、cd 顺时针旋转 60， 如图所示：过 b 作 bfad于 f，旋转可得， dad=60， bad=30， ab=2 =ad， bf= ab=，af=， df=2 bdf 中，bd2=bf2+df2=（）2+（2-）2=168综上所述，bd平方的长度为 16+8或 168【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定，旋转的性质，线段垂直 平分线的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，依 据勾股定理进行计算求解解题时注意：有三个角是直角的四边形是矩形10如图，抛物线 y=mx2+2mx+n 经过 a（3，0），c（0，32）两点，与 x 轴交于另

29、一点 b（1） 求经过 a，b，c 三点的抛物线的解析式；（2） 过点 c 作 ce x 轴交抛物线于点 e，写出点 e 的坐标，并求 ac、be 的交点 f 的坐标 （3）若抛物线的顶点为 d，连结 dc、de，四边形 cdef 是否为菱形？若是，请证明；若不 是，请说明理由【答案】（1）y=形证明见解析 【解析】【分析】1 3x2+x ；（2）f 点坐标为（1，1）；（3）四边形 cdef 是菱 2 2将 a、c 点的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组求得该抛物线的解析式； 根据（1）题所得的抛物线的解析式，可确定抛物线的对称轴方程以及 b、c 点的坐标，由 ce x 轴，可知 c、

30、e 关于对称轴对称。根据 a、c 点求得直线 ac 的解析式，根据 b、e 点 求出直线 be 的解析式，联立方程求得的解，即为 f 点的坐标；由 e、c、f、d 的坐标可知 df 和 ec 互相垂直平分，则可判定四边形 cdef 为菱形 【详解】（1） 抛物线 y=mx2+2mx+n 经过 a（3，0），c（0， ）两点，解得 ， 抛物线解析式为 y= x2+x ；（2） y= x2+x ， 抛物线对称轴为直线 x=1， ce x 轴， c、e 关于对称轴对称， c（0， ）， e（2， ）， a、b 关于对称轴对称， b（1，0），设直线 ac、be 解析式分别为 y=kx+b，y=kx+

31、b，则由题意可得 ， ，解得 ， ， 直线 ac、be 解析式分别为 y= x ，y= x ，联立两直线解析式可得，解得 ， f 点坐标为（1，1）；（3）四边形 cdef 是菱形证明： y= x2+x = （x+1）22， d（1，2）， f（1，1）， dfx 轴，且 ce x 轴， dfce， c（0， ），且 f（1，1），d（1，2）， df 和 ce 互相平分， 四边形 cdef 是菱形【点睛】本题考查菱形的判定方法，二次函数的性质，以及二次函数与二元一次方程组11如图 1，在长方形纸片 abcd 中，ab=mad，其中 m1，将它沿 ef 折叠(点 e. f 分别在 边 ab、c

32、d 上)，使点 b 落在 ad 边上的点 m 处，点 c 落在点 n 处，mn 与 cd 相交于点p，连接 ep.设amad=n，其中 0n1.(1)如图 2，当 n=1(即 m 点与 d 点重合)，求证：四边形 bedf 为菱形；(2)如图 3，当n =12(m 为 ad 的中点)，m 的值发生变化时，求证：ep=ae+dp；(3)如图 1，当 m=2(即 ab=2ad)，n 的值发生变化时，be -cfam的值是否发生变化?说明理由.【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；(3)值不变，理由见解析.【解析】试题分析：（1）由条件可知，当 n=1（即 m 点与 d 点重合），m=2 时，

33、ab=2ad，设 ad=a，则 ab=2a，由矩形的性质可以得 ade ndf，就可以得出 ae=nf，de=df，在aed 中，由勾股定理就可以表示出 ae 的值，再求出 be 的值就可以得出结论.（2） 延长 pm 交 ea 延长线于 g，由条件可以得 pdm gam emp emg 由全 等三角形的性质就可以得出结论.（3） 如图 1，连接 bm 交 ef 于点 q，过点 f 作 fkab 于点 k，交 bm 于点 o，通过证明 abm kfe，就可以得出ek kf be -bk bc= ，即 = ，由 ab=2ad=2bc，bk=cf am ab am ab4ad就可以得出be -cf

34、 1的值是 为定值 am 2（1） 四边形 abcd 是矩形， ab=cd，ad=bc， a= b= c= d=90 ab=mad，且 n=2， ab=2ad ade+ edf=90， edf+ ndf=90， ade= ndfade ndf 中， a n，adnd， ade ndf， ade ndf（asa）. ae=nf，de=df fn=fc， ae=fc ab=cd， ab-ae=cd-cf. be=df. be=deaed 中，由勾股定理，得 ae 2 =de 2 -ad 2 ，即 ae 2 =（2ad -ae）2-ad 2 ， ae=34ad.3 5 be=2ad- ad= .4

35、45aaaa 5 = =ae 3 34.（2）如图 3，延长 pm 交 ea 延长线于 g， gam=90 m 为 ad 的中点， am=dm 四边形 abcd 是矩形， ab=cd，ad=bc， a= b= c= d=90，ab cd. gam= pdmgam pdm 中， gam pdm，amdm， amg dmp， gam pdm（asa）. mg=mp.emp 和 emg 中，pmgm， pme gme，meme， emp emg（sas）. eg=ep. ag+ae=ep. pd+ae=ep，即 ep=ae+dp.（3）be -cf 1=am 2，值不变，理由如下：如图 1，连接 b

36、m 交 ef 于点 q，过点 f 作 fkab 于点 k，交 bm 于点 o， em=eb， mef= bef， efmb，即 fqo=90. 四边形 fkbc 是矩形， kf=bc，fc=kb. fkb=90， kbo+ kob=90. qof+ qfo=90， qof= kob， kbo= ofq. a= ekf=90， abm kfe.ek kf be -bk bc = 即 =am ab am ab. ab=2ad=2bc，bk=cf，be -cf 1=am 2.be -cfam的值不变考点：1.折叠问题；2.矩形的性质；3.全等三角形的判定和性质；4.勾股定理；5.相似三角 形的判定和

37、性质12已知边长为 1 的正方形 abcd 中， p 是对角线 ac 上的一个动点（与点 a、 c 不重合），过点 p 作 pepb ，pe 交射线 dc 于点 e，过点 e 作 efac，垂足为点 f（1）当点 e 落在线段 cd 上时（如图），1 求证：pb=pe；2 在点 p 的运动过程中，pf 的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，若变 化，试说明理由；（2） 当点 e 落在线段 dc 的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断上 述（1）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明）；（3） 在点 p 的运动过程中 pec 能否为等腰三角形？如果能，试求出 a

38、p 的长，如果不 能，试说明理由【答案】（1）证明见解析；点 pp 在运动过程中，pf 的长度不变，值为22；（2）画图见解析，成立 ；（3）能，1.【解析】分析：（1）过点 p 作 pgbc 于 g，过点 p 作 phdc 于 h，如图 1要证 pb=pe，只 需证 pgb phe 即可；连接 bd，如图 2易 bop pfe，则有 bo=pf，只需 求出 bo 的长即可（2） 根据条件即可画出符合要求的图形，同理可得（1）中的结论仍然成立（3） 可分点 e 在线段 dc 上和点 e 在线段 dc 的延长线上两种情况讨论，通过计算就可求 出符合要求的 ap 的长详解：（1）证明：过点 p 作

39、 pgbc 于 g，过点 p 作 phdc 于 h，如图 1 四边形 abcd 是正方形，pgbc，phdc， gpc= acb= acd= hpc=45 pg=ph， gph= pgb= phe=90 pepb 即 bpe=90， bpg=90 gpe= ephpgb 和 phe 中，pgbphe pgph，bpgeph pgb phe（asa）， pb=pe连接 bd，如图 2 四边形 abcd 是正方形， bop=90 pepb 即 bpe=90， pbo=90 bpo= epf efpc 即 pfe=90， bop= pfebop 和 pfe 中，pboepfboppfepbpe bo

40、p pfe（aas）， bo=pf 四边形 abcd 是正方形， ob=oc， boc=90， bc=2ob bc=1， ob=22， pf=22 点 pp 在运动过程中，pf 的长度不变，值为22（2）当点 e 落在线段 dc 的延长线上时，符合要求的图形如图 3 所示2同理可得：pb=pe，pf= 2（3）若点 e 在线段 dc 上，如图 1 bpe= bce=90， pbc+ pec=180 pbc90， pec90pec 为等腰三角形，则 ep=ec epc= ecp=45， pec=90，与 pec90矛盾， 当点 e 在线段 dc 上时 pec 不可能是等腰三角形 若点 e 在线段

41、 dc 的延长线上，如图 4pec 是等腰三角形， pce=135， cp=ce， cpe= cep=22.5 apb=1809022.5=67.5 prc=90+ pbr=90+ cer， pbr= cer=22.5， abp=67.5， abp= apb ap=ab=1 ap 的长为 1点睛：本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角 平分线的性质、勾股定理、四边形的内角和定理、三角形的内角和定理及外角性质等知 识，有一定的综合性，而通过添加辅助线证明三角形全等是解决本题的关键13已知点 o abc 内任意一点，连接 oa 并延长到 e，使得 ae=oa，以

42、ob，oc 为邻边 作 obfc，连接 of 与 bc 交于点 h，再连接 ef（1） 如图 1， abc 为等边三角形，求证：efbc；ef= bc；（2） 如图 2， abc 为等腰直角三角形（bc 为斜边），猜想（1）中的两个结论是否成 立？若成立，直接写出结论即可；若不成立，请你直接写出你的猜想结果；（3） 如图 3， abc 是等腰三角形，且 ab=ac=kbc，请你直接写出 ef 与 bc 之间的数量 关系【答案】（1）见解析；（2）efbc 仍然成立；（3）ef=bc【解析】试题分析：（1）由平行四边形的性质得到 bh=hc= bc，oh=hf，再由等边三角形的性质得到 ab=b

43、c，ahbc，根据勾股定理得到 ah= bc，即可；（2） 由平行四边形的性质得到 bh=hc= bc，oh=hf，再由等腰直角三角形的性质得到 ab= bc，ahbc，根据勾股定理得到 ah=bc，即可；（3） 由平行四边形的性质得到 bh=hc= bc，oh=hf，再由等腰三角形的性质和ab=ac=kbc 得到 ab=bc，ahbc，根据勾股定理得到 ah= 试题解析：（1）连接 ah，如图 1，bc，即可 四边形 obfc 是平行四边形， bh=hc= bc，oh=hf， abc 是等边三角形， ab=bc，ahbc，在 abh 中，ah2=ab2bh2， ah=bc， oa=ae，oh

44、=hf， ah oef 的中位线， ah= ef，ah ef， efbc，bc= ef， efbc，ef=bc；（2）efbc 仍然成立，ef=bc，如图 2， 四边形 obfc 是平行四边形， bh=hc= bc，oh=hf， abc 是等腰三角形， ab= bc，ahbc，在 abh 中，ah2=ab 2bh2=（ ah=bh= bc， oa=ae，oh=hf， ah oef 的中位线， ah= ef，ah ef， efbc， bc= ef， efbc，ef=bc；（3）如图 3，bh）2bh2=bh2， 四边形 obfc 是平行四边形， bh=hc= bc，oh=hf， abc 是等腰三

45、角形， ab=kbc，ahbc，在 abh 中，ah2=ab 2bh2=（kbc）2（ bc ah=bh= bc， oa=ae，oh=hf， ah oef 的中位线， ah= ef，ah ef，）2=（k2- ）bc2， efbc，bc= ef， ef= bc考点：四边形综合题14数学活动课上，老师给出如下问题：如图，将等腰直角三角形纸片沿斜边上的高 ac 剪开，得到等腰直角三角 abc 与 efd， efd 的直角顶点在直线 bc 上平移，在平 移的过程中，直线 ac 与直线 de 交于点 q，让同学们探究线段 bq 与 ad 的数量关系和位 置关系请你阅读下面交流信息，解决所提出的问题展示交流：小敏：满足条件的图形如图甲所示图形，