数值分析简单习题剖析

1、重点考察内容第一章：基本概念第二章：Gauss消去法，Lu分解法第三章：题型：具体题+证明，误差分析三个主要迭代法，条件误差估计，范数的小证明第四章：掌握三种插值方法：拉格朗日，牛顿，厄尔米特，误差简单证明，构造复合函数第五章：最小二乘法计算第六章：梯形公式，辛普森（抛物线）公式，高斯公式三个重要公式，误差分析高斯求积公式的构造第七章：几种常用的迭代格式构造，收敛性证明第九章：简单欧拉法基本概念（收敛阶，收敛条件，收敛区域等）第一章误差1. 科学计算中的误差来源有4个，分别是, , , 。2. 用Taylor展开近似计算函数f（x） ：、f（x0） f（x0）（x-x0），这里产生是什么误差？

2、3. 0.7499作3的近似值，是位有效数字，65.380是舍入得到的近似值，有几4位有效数字，相对误差限为 . 0.0032581是四舍五入得到的近似值，有 位有效数字.4. 改变下列表达式，使计算结果比较精确：（1）占-片 |xL 1（ 2）+|x|j11 +2x 1 +xY x Y x1 _cos x-（3）, x=0,|x|L 1.（4） sin二sin :, x ：x5. 采用下列各式计算（、2-1）6时，哪个计算效果最好？并说明理由。1 1（1）6（ 2） 99-70,2（ 3） （3-2、月）6（ 4）3（V2+1）6（3 + 2问36. 已知近似数x*有4位有效数字，求其相对误

3、差限。上机实验题：kx匸 Xx1、 利用Taylor展开公式计算 e，编一段小程序，上机用单精度计算 e的函数k k !值.分别取x =1, 5, 10, 20, -1，-5，-10，-15，-20，观察所得结果是否合理，如不合理请分析原因并给出解决方法.1 n2、已知定积分ln=Jdx,n =0,1,2,卅,20,有如下的递推关系 x +6Xn(x 6) -6xndx可建立两种等价的计算公式11(1) In 61 nd,取 I。=0.154；(2) Inv 一(1 - n In),取 I 20 = 0.n6n来计算I1,l2,l34，川丄9，编程比较哪种计算的数值结果好，并给出理论分析第二章

4、插值法1. 已知 f(0) =2, f(1) = _1，那么差商 f1,0=.2. n阶差商与导数的关系是 fxo,X!,H|,Xn=.3. 由导数和差商的关系知，fXj,Xj=。4. 已知函数f (x)在x =3,1,4的值分别是4，6，9，试构造Lagrange插值多项式。5. 取节点X。=0,为=1,x2 ,对应的函数值和导数值分别为f(X0)= 1,f(x,) =2, f (x,) =2，试建立不超过二次的插值多项式。(如果将最后一个条件改为f (X2)二2，插值多项式如何计算？)6已知f(0) =1, f(1)=2, f(1)=3, f(2) =9，试建立不超过3次的插值多项式，并写

5、出插值 余项7. 设f(x) C4a,b,求三次多项式P3(x),使之满足插值条件p(xj = f(xj,0,1,2p(N)二 f (xj8. 设R(x)是过,疋的一次插值多项式，f(x)w C2a,b,其中a,b是包含x,X1的任一区 间。试证明：对任一给定的x a,b，在(a,b )上总存在一点，使得f牡)R(x) = f (x) -R(x)(x -x d(x-x )。2!9. 证明关于互异节点xj雋的Lagra nge插值基函数li X总满足恒等式l(x) h(x)川 ln(x)=1上机习题：1. 绘制4题的Lagrange的插值函数的图像。第三章数据拟合1. 数据拟合与插值的区别是什么

6、?2. 最小二乘原理是使偏差 5i的达到最小3. 求过点(2,3 ), (0,1 ), (3,5 )的线性拟合函数。4. 用最小二乘法求一形如y二a，bx2的多项式，使与下列数据相拟合X1925313844y19.032.349.073.397.8第四章线性方程组的直接解法1. 线性方程组的解法大致可分为，2. 平方根法和1。分解法要求系数矩阵A满足。3. 上三角和下三角方程组的解法分别称为，4. 严格对角占优矩阵的定义是什么？5. 试求下面矩阵的杜利特尔分解(1)213(2) 457-2 856.用列主元高斯消去法求解方程组7.用LU分解法解方程组2 16-110 21504-2 01X2厂

7、7氏-2卩八3 x26妝113。一们1 o2J上机实验题：1. 编程实现列主元的高斯消去法2. 编程实现LU分解法第五章线性方程组的迭代解法1. 向量 X =(3,2, _1,_7)t，计算 |x|1 , |x|2 , |X|：.3 1-22. A= 0 10，计算 |A|i, |A|2 , |内匚.J 263. A = 2 0 ,分别计算A的谱半径珥A),条件数cond.(A) , |A|1|0 314. 矩阵A的范数与谱半径的关系为。5. 求解AX=b的迭代格式x(f = Bx(k) +g收敛的充分必要条件 。6. SOR迭代法收敛的一个必要条件是 松驰因子。7. 写出下面方程的Jacob

8、i迭代格式10x1 - x? - 2 x 7-x-i 10x2 -2x3 =8_x2 5x3 =48. 给定下列方程组，判断对它们构造的Jacobi迭代公式和Gauss-Seidel迭代公式是否收敛(1)5x2x3 二 72x1 x2 =815x1 - 5x2 x3 = 2 (2)-5x1 12x8IX1 X3 = 59.对下列方程组建立收敛的简单迭代公式(提示：先调整方程组)_1 63 -24 16x2=T丄X310.给定方程组-2X11x21121j(1) 分别写出Jacobi迭代公式和 Gauss-Seidel迭代公式。(2) 证明Jacobi迭代法收敛，而Gauss-Seidel迭代法

9、发散上机实验题:10捲一x2 -2X3 = 71.求解方程组：-x-i 10x2 _2x3 =8_ x - x?5 X3 二 4以 x(0) =(1,1,1)T 为初值，当 |x(k -x(k) 11/10时迭代终止。(1) 编写Jacobi迭代法程序(2) 编写Gauss-Seidel迭代法程序第六章数值积分与数值微分1. fbf(x)dx的梯形求积公式是，Simpson公式是，其代数精度分别为a， 02. n点Gauss求积公式的代数精度为 .3. 确定下列求积公式中的待定系统，使得求积公式的代数精度尽量的高，并指明代数精度h(1) 上 f(x)dx ： Af(-h) AJ(0) Af(h

10、)11(2) . J(x)dx f(-1) 2f(xJ 3f(X2)A31(3) .f(x)dx ：人f(0) Af(1) Bf(0)14. 分别用梯形公式、Simpson公式、Cotes公式、Gauss求积公式计算积分exdx，并估计各种方法的误差。15. 写出f(x)dx二点和三点的Gauss-Legendre求积公式.-16. 分别用复化梯形公式和复化Simps on公式计算下列积分.1 x0 厂dx,(n =8)0 4 x117. 确定求积公式( f(x)dx肚(才)+A f (1)的求积公式，并求其代数精度。8. 构造如下形式的Gauss求积公式：+19. 构造如下形式的Gauss求

11、积公式：.f(x)dx生Af(X0)+ Af(X1).上机实验题：1.编程实现五点Gauss积分算法。第七章非线性方程与非线性方程组的解法1. 求解非线性方程的根，牛顿法的收敛阶是 割线法的收敛阶是2. 确定下列方程的有根区间 2x -7x 2 =0 e公x -2=03试用牛顿法和弦截法建立计算-c(c = 0)的迭代格式4.试建立计算(a 0)的两种收敛的迭代格式5建立计算a, (a 0)的牛顿迭代格式，并求 .10，保留4位有效数字。(迭代求解3次即可)6. 用不动点迭代法计算.2 ,：2 川、2 2的近似值.17. 设初值冷=0,计算,(a = 0)的迭代格式试证：ax 1 二 Xk(2 -axj,k =0,1,2, III。(1) 此迭代格式二阶收敛.(2) 此迭代格式收敛的充分必要条件为|1 - axo卜：1.上机实验题:1.用割线法求方程x3