数列递推和数列求和综述

1、个性化辅导教案16学生姓名学 科数学课题名称数列任课老师年级汪老师高二课时计划上课时间2016-10-23教材版本新人教版第( )课时共()课时教学内容数列递推公式和数列求和方法教学目标掌握数列求和的几种方法，会使用递推规律求递推通项31数列递推公式：1、一阶线性递推数列求通项问题(待定系数法)一阶线性递推数列主要有如下几种形式：(1) an i an f (n)这类递推数列可通过累加法而求得其通项公式(数列f(n)可求前n项和).当f(n)为常数时，通过累加法可求得等差数列的通项公式.教 学 重 占 八、而当f(n)为等差数列时，则an 1 an f(n)为二阶等差数列，其通项公式应当为2

2、2an an bn c形式，注意与等差数列求和公式一般形式的区别，后者是Sn anbn，其常数项一定为o.(2)an 1 g(n)an这类递推数列可通过累乘法而求得其通项公式(数列g(n)可求前n项积).当g(n)为常数时，用累乘法可求得等比数列的通项公式.(3)an+1 = qan+d (q,d为常数,q 0,q1);这类数列通常可转化为an 1 p q(anp),或消去常数转化为二阶递推式an 2 an 1q(an 1 an).nn形式。适用于:k 1anan 1部分无理数列：an即: an n(n d)c，其中(4) an 1 pan (p 0,an 0)这种类型一般是等式 两边取对数后

3、转化为an 1 pan q，再利用待定系数法求解。数列求和方法:1.公式法：直接利用等差、等比数列的前n项和公式及常见的求和公式进行求和。注意在计算等比数列的前 n项和Sn时分两种情况q =1和q工1进行讨论,即:g (q 1)Sn印(1 qn)常见的求和公式：q 1)1) k 1+2+3+.+n =n(n 1)(2 k 1)1+3+5+.+(2 n-1) = n2k 12.拆项求和法（分组求和法）就是将一个数列的每一项适当拆开，转化成若干个等差、等比、常数数列的形式，分别求和后再相加。3 错位相减法。若数列an可写成一个等差数列与一个等比数列的积的形式bn为等差数列，cn为等比数列，则可采用

4、错位相减法 ,亦称（“ Sn qSn4 .裂项相消法：将数列an的每一项拆成两项之差， 使得相邻的项正负相抵销,an是等差数列，c为常数，或：ann（n d）,即:有anbn.Cn，其中”法)剩下的项是易于求和的1 1 17(_-)，或 and n n 1常见的裂项有:n(n 1) n n 11 11 1 _ (_ ), n(n 2)2 n n 21 1 ,2n 1,2n 12山 1 1)，5.倒序相加法：类似于等差数列前n项和公式的推导方法一、选择题11 .数列 an的前n项和为Sn,课堂练习5D.C.61302 .数列an的通项公式an =1n + ,；n+ 1,若前n项的和为10,则项数

5、为A . 11B. 99C. 120D . 12111113.数列 12, 24，38, 416,1 1A.2( n2+ n+ 2) 2n的前n项和为()1 1B*2 n(n + 1) + 1 2“-11 1D.2 n(n+ 1) + 2(1 2“)4.已知数列an的通项an= 2n+ 1,由bn=刁十十+ an所确定的数列bn的前n项之和是( )1A . n(n+ 2)10尹(n+ 5)B.2n(n + 4)1D.2 n(n+ 7)5 .已知 Sn= 1 2 + 3 4+-+ ( 1)n 5 ,贝 U Sl7 + S33+ S50 等于()A . 0B . 1C. 1D . 26.数列 an

6、满足a1, a2 a1, a3 a2,，an an-1是首项为1,公比为2的等比数列，那么an等 于()A . 2n 1B . 2n 1 1C . 2n+ 1D . 4n 1、填空题7. 一个数列an,其中ai= 3, a2= 6, an +2= an+1 - an,那么这个数列的第 5项是2 an8. 在数列 an中，an+1=厂,对所有正整数n都成立，且ai= 2,则an=.2+ an9. 在100内所有能被3整除但不能被7整除的正整数之和是110. 数列an中，Sn是其前 n 项和，若 ai = 1, an+1 =二3 (n1),贝U an=.三、解答题11. 已知等差数列an满足：a3

7、= 7, a5 + a7 = 26, an的前n项和为Sn.(1) 求 an 及 Sn；1(2) 令 bn= a2- 1(n N +),求数列bn的前 n 项和 Tn.12. 设数列an满足 ai= 2, an+1-an= 3 22n 1.求数列an的通项公式；(2)令bn= nan,求数列 bn的前n项和Sn.能力提升】113. 在数列an中，a1= 2, an+1= an+ In 1 + 门，贝U an等于()A . 2 + In nB . 2 + (n 1)ln nC. 2+ nln nD . 1 + n+ In n14. 已知正项数列an的前n项和Sn= 4(an+ 1)2,求an的通

8、项公式.章末检测一、选择题1.在等差数列an中，a3 = 2,则an的前5项和为（）A. 6B. 10C. 16D . 322 .设Sn为等比数列an的前n项和，已知3S3= a4- 2,382= a3-2，则公比q等于（）A . 3B . 4C . 5D . 63. 已知某等差数列共有 10项，其奇数项之和为 15，偶数项之和为30,则其公差为（）A . 5B . 4C . 3D . 24. 在等比数列an中，Tn表示前n项的积，若T5= 1,则（）A. a1= 1B . a3= 1C . a4= 1D . a5= 155. 等比数列an中，a1 + a3= 10, a4+ a6= 4，则数

9、列an的通项公式为（）A . an= 24一nB . an= 2n4C . an= 2n3D . an= 23n6.已知等比数列an的前n项和是Sn, S5= 2, So = 6，贝U ai6+ ai7 + ai8 + ai9 + a20等于（）A. 8 B. 12 C. 16 D. 2417.在等差数列an中，若 a4+ a6+ a8+ aio+ ai2= 120,则 aio ?ai2 的值为（）A . 10 B. 11 C. 12 D. 135&已知数列an为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2 a3= 2ai,且a4与2a7的等差中项为4，则S5等于（）A . 35B. 33C. 31D

10、. 299.已知等差数列an中，Sn是它的前n项和.若Si60,且Si70，则当Sn最大时n的值为（）A . 8 B . 9C. 10 D. 16110 .已知方程（x2 mx+ 2）（乂 nx+ 2） = 0的四个根组成一个首项为 ？的等比数列，则|m n等于（）359A. 1 B.2C.2D.211. 将正偶数集合2,4,6 ,从小到大按第n组有2n个偶数进行分组：2,4 , 6,8,10,12, 14,16,18,20,22,24，.则 2 010 位于第()组.A . 30 B. 31C . 32 D . 3312. a1, a2, a3, a4是各项不为零的等差数列且公差d工0若将此

11、数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列，则?的值为（）dA . - 4 或 1 B . 1C . 4 D . 4 或一1二、填空题13. 定义 等和数列”在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常数，那么这个数列 叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列an是等和数列，且 a1= 1，公和为1,那么这个数列的前 2 011项和S2 011 =14. 等差数列an中，a10|a10|, Sn为数列an的前n项和，则使Sn0的n的最小值为15 .某纯净水厂在净化过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质的20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为.(Ig

12、2沁0.301 0)16. 数列an的前n项和Sn= 3n2-2n + 1,则它的通项公式是三、解答题1 117. 数列an中，a1 = 3,前 n 项和 S 满足 Sn+1-Sn=(3厂 1(n N + ).(1)求数列an的通项公式an以及前n项和Sn；若S1, t(S1 + S2), 3(S2+ S3)成等差数列，求实数 t的值.18. 已知点(1,2)是函数f(x)= ax(a0且啲图象上一点，数列an的前n项和Sn = f(n) 1.(1) 求数列an的通项公式；(2) 右 bn= logaan + 1 ,求数列 anbn的前 n 项和 Tn.1 1 1 1 119. 设Sn是等差数列an的前n项和，已知3S3, 4S4的等比中项为5s5； ?S3,羊4的等差中项为1 , 求数列an的通项公式.20.设数列an的前 n 项和为 Sn, ai= 1