知识讲解-二倍角的正弦、余弦、正切公式-提高

1、知识讲解-二倍角的正弦、余弦、 正切公式-提高 二倍角的正弦、余弦和正切公式 编稿：丁会敏 审稿：王静伟 【学习目标】 1 能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍 角的正弦、余弦、正切公式，并了解它们之间的内在联 系. 2. 能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换（包 括导出积化和差、和差化积、半角公式.但不要求记忆）， 能灵活地将公式变形并运用. 3. 通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高 运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性， 体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用. 【要点梳理】 要点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin

2、2 2sin cos(S?) cos 2 cos2sin2(C2 ) 2 2cos1 1 2sin2 tan2 屠(T2) 1 tan 要点诠释： 公式成立的条件是：在公式S2 ,C2中，角 可以为 任意角，但公式T2中，只有当 2 k及 -k_（k Z）时才 成立； (2)倍角公式不仅限于2是的二倍形式，其它如 的二倍、-是-的二倍、3是刍的二倍等等都是适用 .如: 2sin cos : sin - 2sin lCOS-t (n Z) 22，2n2口 |2口 | / 2 和角公式、倍角公式之间的内在联系 在两角和的三角函数公式S ,C ,T中，当 sin 的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系

3、，才能熟练地 应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键 时，就可 得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下： 相 除 要点二：二倍角公式的逆用及变形 1 公式的逆用 2sin cos sin 2 sin 1 cos sin 2 2 cos2sin22cos 2 1 2sin cos2 迦tan2 1 tan2 2 公式的变形 2 1 sin 2 (sin cos )； 降幂公式：cos2密,sin2今 升幂公式 :1 cos2 2cos2 ,1 cos 2 2sin2 要点三：两角和与差的三角函数公式能够解答的三 类基本题型 求值题、化简题、证明题 1.对公式会“正着用”，“逆着用”，也会

4、运用代数 变换中的常用方法：因式分解、配方、凑项、添项、换 元等； 2 掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与 已知条件中的角的关系，女口 ()，2()()等等，把握式子的变形方向， 准确运用公式，也要抓住角之间的规律(如互余、互补、 和倍关系等等)； 3.将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一 章与第三章的紧密衔接 【典型例题】 类型一：利用二倍角公式的简单应用 例1.求下列各式的值： (1 )sin cos ；2 1 sin2 匚；(3)2 4sin215 /1212，212 丿33 【思路点拨】逆用二倍角的正弦、余弦和正切公式. 【答案】(1) 4 ；( 2) 4 ； (3)彳

5、443 【解析】sin 21212262 24 2原式 1 1 2si n25 1 cos 5 2 12 2 6 1 1 1 .3 .3 cos cos 2 6 2 6 2 2 4 (3) 2 si n215 2 -(1 2 2sin215 ) 2 cos30 3 3 3 3 3 【总结升华】解答本类题型重要的是抓住公式的特征， 如角的关系、次数的关系等，抓住公式的结构特征对提 高记忆公式的效率起至关重要的作用，而且抓住了公式 的特征，有利于在解题时观察分析题设和结论中所具有 的与公式相似的结构特征，并联想到相应的公式，从而 找到解题的切入点. 举一反三： 【变式求值：(1) cosi2亦石c

6、os12 石；(2)沁二1 ； (3) 2ta n75 1 ta n275o 2 ； 【答案】(1) J ；( 2) J ； (3) 3 【解析】(1)原式=躺12前二cos6于； (2)原式=cos(2 ) cos 4 J 3 2sin6 cos6 cos12 cos24 cos48 2cos6 2sin24 cos24 cos48 3 2 cos6 cos61 16 cos 616 (3) 原式=tan150o tan(180 30)tan 30 类型二：利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值 例 2.求 sin6 sin42 sin66 sin78 的值. 【思路点拨】解这类题型有两种方法

7、：方法一：将原 式中角度成二倍角的正弦形式全部转化为余弦形式，利 用cos 警进行化简方法二：把原式作为 A式，然后 2sin7 把A式中正弦形式全部化为余弦形式， 把这个式子作为 B式，再两式相乘. 【答案】律 【解析】 方法一：原式 2sin12 cos12 cos24 cos48 2 2 cos6 2sin48 cos48 sin 96 24 cos616 cos6 【总结升华】一般地，对于 cos cos2 cos4cos2n，可以 通过乘以sin a后连结使用二倍角公式化简，这样便可 以生产“连锁反应”. 方法二：设所求为 A , 即 A=sin6 sin42 sin66 sin78

8、 设 B=cos6 cos42 cos66 cos78 贝U ab 丄 sin 12 sin84 sin132 sin 156 16 1 cos78 cos6 cos42 cos66 B 16 =B B , A 【总结升华】在不能观察到所求角的互余角的倍数关系 以前通过设B来构造可以利用二倍角公式的“对偶” 式，算出乘积再约去 B.从而得到原式的值这也是 理类似问题的一种常见方法. 举一反三: 【变式1】 248 求值：cos cos cos cos 17171717 【解析】原式 24sin coscoscoscosL 1717171717 23si n cos乙 cos 17171717

9、24s in 17 448 2 sin cos cos - 171717 24 sin 17 8 8 16 2sin cos sin 171717 sin( ) sin. 17171 例3 求值: 2sin 50 sinlO (1. 3tan10 )、, 1 cos20 . 【思路点拨】化正切为正弦、余弦，便于探索解题思路. 【答案】.6 【解析】 原式 2sin50 sin 10 (1 tan60 tanlO ) Vi2cos4416 sin 2 sin 1717 10 1 2sin 50 sinlO cos60 coslO sin 60 sinlO cos60 coslO 、2cos10

10、2sin 50sin 10 cos502 cos10 cos10 cos60 2 .2(sin 50 cos10 cos50 sin10 ) 2、_2sin(50 10 ) 2、.2sin602. 2 -3,6 . 2 【总结升华】逆用二倍角余弦公式和和角的正弦公式， 使得问题简单化. 举一反三: 【高清课堂：两角和与差的三角公式 【变式1】求值：13 401863 例4】 sin 10 cos10 【解析】原式=空吟占輕 sin 10 cos10 2(如侧 Fsin10) sin 10ocos1Co 2sin 20o 1 o sin 20 2 =4 【高清课堂：两角和与差的三角公式 例5】

11、【变式2】求值： sin 50 (1 J3tan10 ) 【解析】原式=sin50o(1单哆) cos10 1/3 sin50o 2( cos10sin10) =2 2 cos10o 2sin 40 cos40 cos10 o sin 80 cos10 =1 类型三：利用二倍角公式化简三角函数式 cos2 cos2 . 2 把倍角展开成单角, 例4 化简 : sin2 sin2 cos2 cos2 【思路点拨】观察式子的结构, 然后再进行化简. 【答案】 2 2 sin sin 2 cos 2 cos (2cos2 1) (2cos2 1) 2 sin 2 sin 2 cos 2 cos -(

12、4cos 2 2 2 cos 2cos2 2cos2 1) 2 2 2 2 2 2 1 sin sin cos cos cos cos 2 2 2 2 .2 2 1 sin sin cos sin cos 2 2 2 1 彳1 1 sin cos 1 - 2 2 2 方法二: 原式 .2 . 2 sinsin (1 .2 sin )cos2 1 cos2 cos2 2 2 sin (cos2 2 、 sin ) -cos2 cos2 2 2 sin cos2 1 cos2 cos2 2 2 cos 2 cos 22I cos cos 2 sincos2 1 cos2 cos2 1 cos2 c

13、os 2 1 cos2cos21 222 方法三: 原式 1 cos2 1 cos2 1 cos2 1 cos2 1 cos2 cos 2 2 4(1 cos2 cos2 cos2 cos2 )丄(1 cos2 cos2 4 cos2 cos2 )-cos2 cos2 2 方法四: 原式 (sin sin cos cos )2 2sin sin cos cos -cos2 2 cos2 cos2 ( cos2 ( si n2 2 1 cos2( 2 sin 2 2 z cos ( 12cos2( 【总结升华】 2cos2 cos2 )11 在对三角函数作变形时，以上四种方 法提供了四种变形的角

14、度，即分别从“角”的差异，“ 名” 的差异，“幂”的差异以及“形”的特征四个方面着手 究，这也是研究其他三角问题时经常要用的变形手法. 举一反三: 【变式1】化简下列各式: (1) sinsi n2 1 cos cos2 .2 2cos8 2.1 sin 8 【答案】 (1) tan (2) 2sin 4 【解析】 sin 2 sin 1 cos cos2 sin 2亦管弘(12边)tan . cos 2 coscos (12 cos ) (2)原式=2 2cos24 2 1 2sin4cos4 2 | cos41 2 (sin4 cos4) 2cos4 21 sin4 cos4| 2cos4

15、 2cos4 2sin 4 2sin 4 【变式2】化简: 2cos21 2ta nsi n2 44 【答案】1 【解析】原式 cos 2 2sin - 42 cos 一 4 cos 4 cos2 cos 2 2sin cos sin 2 442 cos2 , cos2 - 类型四：二倍角公式在三角函数式给值求值题目中的应 用 例5 已知cos x 4 3，且牛，求的值 1 tan x 【思路点拨】观察所求的角与已知角的关系，发现它 们是二倍的关系，所以用二倍角公式去求解. 【答案】28 75 【解析】 2 原式 sin2x 2sin x 1 tanx sin 2x(1 tanx) ., si

16、n 2x tan x 4 1 tan x 12 cos sin tan sin2x sin 2x 1 cos2 4 sin x 4 cos 4 cos 2 sin 2x 2sin2 x 1 tan x 2x sin 2x tan 2cos 25 si nx sin2x 2sin xcosx - cosx 1 tanx 7 25 28 75 【总结升华】要注意本题中的角 2x ” 与“ cos 2x 2 cos 2 2cos2 2si n2 4 举一反三: 【高清课堂：倍角、 半角公式 370633 例 2】 【变式1】 求值: (1)已知 sin( ) 12 2 求 cos(-). (2)已知

17、 sin(-) 【答案】（1）右（2） 2m2 1 25 【解析】 (1 ) COS( 一)COS 6 6cos2 - 12 2 1 2sin2 12 2 9 25 7_ 25 (2) Sin 2 cos( 2 )= 2 2s2 匸 1 2sin2 4 2m2 1 【变式2】 已知：tan 0 =2,求!sin2 4 gsin2的值. 解法 1 . Sin 4 1 . sin =4_ sin2 】si n2 2 cos2 1.2 sin sin cos 4 sin2 cos2 （转化成了齐次式 【答案】 1 丄sin 2 2 tan tan2 4 tan21 解法二 tan =2, sin =

18、2k，cos =k 原式 1(2k)2 2 2(2k) k 3k2 又 sin 2 +cos2 =1 即(2k) 2+k2=1 1;原式3k2 5 3I 5 例6. 锐角，求 【答案】90 【解析】 由 已知3sin2 2sin2 3si n2 cos 2 3sin2 由 3sin 2 2sin 20，彳得 sin2 cos( 2 ) cos 3sin2 3sin cos 1， 3sin 22sin 2 0，且、 都是 2sin2 isin2 2 2sin 3sin 0 270. 在0 cos cos2 sin sin 2 sin 3 si n2 2 3cos sin20 . V90 ， 0

19、V V 90 ， 0 V 270之间只有 90。的余弦值为 2 90 【总结升华】给值求角题的求解一般按如下两个步骤 进行（这两个步骤缺一不可）：根据题设条件，求角的 某一三角函数值；讨论角的范围，必要时还需根据已 知三角函数值缩小角的范围，从而确定角的大小. 类型五：二倍角公式的综合应用 例 7.已知函数 f(x) 2cos2 x 2sin xcos x 1 ( X R ,3 0) 的最小正周期是-. (1) 求3的值； (2) 求函数f(x)的最大值，并且求使f(x)取得最大值的 x的集合. 【思路点拨】用降幂公式把“ 2cos- x 2sin xcos x”降幂, 然后用辅助角公式化成A

20、sin( x ) k的形式. 【答案】(1) 2 (2) 2 .2 16 【解析】 (1) f(x) 1 cos2 x 2 sin 2 x 1 sin 2 x cos2 x 2 近 sin2 xcos cos2 xsin 2 v2sin 2 x 2 . 444 因为函数f(x)的最小正周期是-,可得詈-,所以=2. (2)由(1)知，f(x) Vsin 4x ： 2 当 4 2k ，即 16 牛(k Z)时, sin 4x -取得最大值1 ,所以函数f(x)的最 4 大值是2近，此时x的集合为xx在,k Z . 【总结升华】本题主要考查特殊角的三角函数值、两 角和的正弦、二倍角的正弦与余弦公式

21、及y Asin( x )的性 质等知识.要记住倍角公式两类重要变形并能熟练应用: 2 公式 1 sin sin cos 2 2 1 sin sin 2 2 cos 1 2 cos 2 2 2cos ,1 cos 2sin 2， 2 (2)扩角降 幂公式cos2 1 cos2 2 sin 1 cos2 2 举一反三: 【变式1】 已知函数f(x) sin 2x (sin x cos x) cosx 2 (I)求f(x)的定义域及最小正周期; (H)求f(x)在区间 6冷上的最大值和最小值 【答案】(I) x| x (n) 2 (U)求函数y = 2sin2B + cosC泸的最大值. 【思路点拨】首先利用向量共线的充要条件建立 三角函数等式，由于可求得 A角的正弦值，再根据角的 范围即可解决第(I )小题；而第()小题根据第(I )小题 的结果及A、B、C三个角的关系，结合三角恒等变换 公式将函数转化为关于角B的表达式，再根据B的范围 求最值. 【答案】(I) - (H) 2 3 【解析】(I) P、q共线，(2 2sinA)(1 + sinA) 3B =(cosA+ sinA)(sinA co