极限与连续知识点

1、极限与连续知识点1 极限1 ) 定义： liman A nlim f(x) A lim f(x) A x x02) 存在性判定：左右极限： lim f(x) A x x0夹逼 TH ：单调有界 TH ： 3 ) 极限的性质：唯一性： 局部有界性： 局部保号性： 4)极限的计算方法与技巧四则运算： 复合函数的极限： lim f( (x) f(lim (x) 的条件： x x0x x0等价量替换： (记忆常用替换公式)L Hospital 法则： 利用重要极限(记忆重要极限及变式) 利用夹逼 TH积分法一些技巧：通分、有理化、分子分母同除一个量、提因式、利用对数恒等式将指数拿下来)5)无穷小量f(

2、x) (1) f(x) (g(x) f(x) 与 g(x) 同阶 f(x): g(x) 无穷小量的性质： 2 连续1)定义f (x)在 x0处连续 2) 连续的判别左、右极限与 f (x0) 的关系： 初等函数的连续性： 复合函数的连续性判别： 反函数与原函数连续性的关系： 3) 间断点的判别：利用左、右极限与f(x0) 的关系4) 连续函数的性质f(x) Ca,b 最值 TH：介值 TH： 零点存在 TH ：211 2x x1 3 x8) lim _ ； lim 1 xsinx 0 3x 1x 0 x2 判别极限存在性、连续性、间断题型1 算法1)lim( n 3 n2n3 )n2)3)31

3、2 )L (1 n12)2x 1 x 2xlim1( 2xx 11 xx2 2x) lim(14)lim 23x 7 3x 1 3 x 15)设 n 为正整数， (ln x)n(cos 2x),(x 1) ；( x 1)4 (ln x)n),(x1) ，则 n若：mli(x ) b( b) )x 1a2x2 ax lim x 1 x 13 ，则 a,b 为sin ax, x 01)设 f (x) x , x 0， lim f (x)存在，则 a x 2,x 0sinax, x 0x2)设 a,b 0，且 f (x) 2, x 0 在 R上连续，则 a,b为_1(1 bx) x ,x 0xx a

4、b, x 03)设 a,b 0; a,b 1， f (x) x ，判断 x 0的类型0,x 04）找出间断点，并判别类型f (x)tx e lim tx tetxxex； ef (x) lim( xn1)arctan3 证明1 )设 xn满足：0 x1 2 ，xn 1xn 2 ，证： limnxn 存在，并求值2）已知：f(x)2x, x 0 x 1,x3)设 f (x) C0,1, f (0)练习1 判别下列极限的存在性1)limx011，1， ex2 求 f (x)11sin , xxx1 x, 01x,xlnx，判别 lim f (x) ， xlim f (x) 的存在性x0f （1）

5、，证明：2)lim 4x2 1x 1 2xx0110, 12 ，使 f(x0) f (x0 21)x 1 的间断点，并判别类型3 计算： limn2nn4 1nn24 22 Ln4 2n2 2n 2n4 2n4 设 f (x)xesin x tan x ，则 f(x) 是A无界函数，B单调函数， C 在x下的无穷大量）5 设 f (x)sinx， f ( (x) 1 x ，则(x)，定义域为6 f (x)x sin(x 2) 在哪个区间内有界 x(x 1)(x 2)-1，0）B （ 0，1）C1，2）D（ 0，2）7 设 f (x)2x 3x 2 ，则当设 x 0 时，f （x） 与 x 的关

6、系是同阶，高阶，等价）18 lim( x ex) x1lim( x 1 x2 )x9 lim n 3 n n n n10 下列各式正确的是A lim (1x01)x 1， B lim(1x x 01x)xxe，C lim(1x1x)xxe，D lim(1 1) x e xx11设 xnnn ,n为奇数n ，则当 n1 , n为偶数n时，xn 是12131415161718A 无穷大量， B 无穷小量， C 有界量，D 无界量limn曲线limx设alimn12f (x)(n 1)1ex22x x ln(10 ， lxim0n2ntann设 f(x)xa (a设 (x)f (x)A 存在且为 0

7、，19 设 a 1 ，则220 设 f(x) 1arctan 1 x x 的渐进线条数为(x 1)(x 2)( 12 a2 )ln(1 ax) xx0,a 1)，则 lnim 12 f(1)f (2)L f (n) nng(x)，且 lim (x) g(x) 0，则 lim f(x)xxB 存在但不一定为 0 ， C 不存在，nn 2na 1 limlnn n(1 2a)x sin x (1 x)D 不一定存在1，判别间断点 x 1 的类型221 lim 1 ln(1 x) x x0sinx22 若lxim0 esxinxa(cosx b) 5，则 a,bmlilim xsin x12x2x2

8、4 设 f (x) 有连续的导数，且 f (0) b ， F(x)f(x) asinxx0在 x 0 连续，A,x 0则 f (0) ；A=1x25 设 f(x) lim 2n ，判断其间断点的类型 n 1 x2n26 设 f (x) Ca,b，且 f (a) 0, f (b) 0 ，则下列结论 错误的是A 至少存在一点 x0 (a, b) ，使得 f(x0) f (a)B 至少存在一点 x0 (a, b) ，使得 f(x0) f (b)C 至少存在一点 x0 (a,b) ，使得 f (x0) 0D 至少存在一点 x0(a, b) ，使得 f (x0)四 练习答案1 均不存在； 2x 0 第二类， x 1跳跃； 3 1；4 A；5arcsin(1 x2) ，0, 2 ；6 A；7 同阶；