《7.3 复数的三角表示》集体备课导学案

1、7.3.1复数的三角表示式知识点一复数的三角形式(1)定义：r(cosisin)叫做复数 zabi 的三角表示式，简称三角形式即 zr(cosisin)，其中|z|r， 为复数 z 的辐角(2)非零复数 z 辐角 的多值性：以 x 轴的非负半轴为始边，向量oz所在的射 线(射线 oz)为终边的角 叫复数 zabi 的02 角因此复数 z 的辐角是 2k(kz )知识点二辐角的主值(1) 定义及表示：在 02 范围内的辐角 的值为辐角的主值，通常记作 argz， 即 0argz2.(2) 唯一性：复数 z 的辐角的主值是确定唯一的特别注意：z0 时，其辐角是任意的1在复数的三角形式中，辐角 的值

2、可以用弧度表示，也可以用角度表示， 可以是主值，也可以是主值加 2k 或2 2133 3366 6144 4k360(kz )但为了简便起见，复数的代数形式化为三角形式时，一般将 写成主值2两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)1cosisin.() (2)2i2cos isin .( ) (3)3(cos200isin200)是复数的三角形式( )答案(1)(2)(3)2做一做(1)将复数 z 1 3i 表示成三角形式为_5(2) 已知|z|2 3，argz ，求复数 z_.(3) 若 a0，则 a 的三角形式是_ 答案2 2 (1)

3、2cos isin (2) 33i(3)a(cosisin)题型一复数的代数形式化为三角形式例 1把下列复数的代数形式化成三角形式：(1) 3i；(2)1i.解(1)r 312， 3i 对应的点在第一象限，tan1 3 ，即 ， 3 3i2cos isin . (2)r 11 2.1i 对应的点在第四象限，1 7且 tan 1， ，7 71i 2cos isin . 复数代数形式化为三角形式的步骤 (1)先求复数的模4 4 2 2cos isin .4 42 2 cos isin .4 42 21 2 4 41 3 35 55 51 1 7 74 44 41 1 1 3 332 22 21 4

4、 43 3 5 55 55 5 10 10(2) 决定辐角所在的象限(3) 根据象限求出辐角(一般取其主值) (4)求出复数三角形式把下列复数表示成三角形式3 3(1)22i；(2)2sin icos . 解 2 2 3 3(1)原式2 2 i 2 2 7 7(2)原式2 i 2 题型二判断复数三角形式的条件式例 2判断下列各式是否是复数的三角形式，若不是，把它们表示成三角形(1) cos isin ； (2) cos isin ； 2 (3)2cos isin ； (4)sin icos .解根据复数的三角形式的结构，zr(cosisin)，可依次作出判断(1) 不是. cos isin c

5、os isin . 2 2 (2) 不是 cos isin i cos isin .2 4 4(3)不是.2cos isin 2cos isin . 3 3(4)不是sin icos cos isin .判断复数的三角形式的条件 (1)r0；(2) 加号连接；(3) cos 在前，sin 在后；3 33cos isin ，6 62 2 63 36 6 1 33 32 2 11 11 3 16 6226 6122 212 22(4) 前后一致，可任意值即“模非负，角相同，余正弦，加号连” 求复数 z3sin icos 的辐角主值 3 1 11 11 解 z3 i 11辐角主值 argz .题型三

6、复数三角形式化为代数形式例 3把下列复数表示成代数形式 (1)4cos isin ； 11 11 (2)6cos isin . 解根据 abir(cosisin)，可得arcos，brsin，故可解(1)4cos isin 4 4 i22 3i. (2)6cos isin 6 6 i3 33i. 将复数的三角形式化为代数形式：由 zr(cosisin)rcosirsin，可得 arcos，brsin.将下列复数的三角形式化成代数形式 (1)z 2cos isin ； (2)z 6(cos60isin60)解 3 1 (1)z 2 i 3i. 1 3 (2)z 6 i33 3i. 16 的辐角主

7、值为( )225 552 252 22 23 32 2 3 32 23 336 r 3r1 13 31 5 5 3r r2 26 62 22112 22 22 2 22，3r r1 22 22 11 a0 b. c d答案解析c66(10i)6(cosisin)，辐角主值 .故选 c.2下列说法正确的是( )7 7 3a已知复数 zcos isin ，则 z 的辐角主值为 b复数 z2i3 的虚部为 2ic( 3i)6643 3d复数 z2i 的三角形式为 z2cos isin 答案解析c7a 项，z 的辐角主值 argz ，错误；b 项，虚部为实数 2，错误；c项，( 3i)6( 3i)23

8、(22 3i)3832(2 3i)2322(2 3i)(2 3i)3 64，正确；d 项，z2(0i)2cos isin ，错误故 c 正确 1 33复数 i 的三角形式是_答案解析5 5cos isin1 3 5 5 1 3 5 5 icos isin ，故复数 i 的三角形式是 cos isin . 54设复数 z，z2 的辐角主值为 ，z2 的辐角主值为 ，则 z_.答案解析1 3i设 z2r cos isin 2 2i，z2r cos isin i. r 3r 3r r 2 i2 i，易得r1 3r2 2 2 ， r 3r ，代入得 r 2，z1 3i21 3i.4 55设复数 z 满足 z3 z 的辐角主值为 ，z1 的模为 1