概论论与数理统计作业1

1、实用文案概率论与数理统计作业第1章概率论的基本概念 1 .1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H、反面T出现的情形.样本空间是：S= HHH,HHT,HTH,THH,THT,TTH,TTT ;(2) 枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数.样本空间是：S= 0,1,2,3;2. (1)丢一颗骰子.A :出现奇数点，则A= 1,2,3; B:数点大于2,则B= 3,4,5,6.(2) 一枚硬币连丢2次， A :第一次出现正面，则A= 正正，正反;B:两次出现同一面，则 =正正，反反; C :至少有一次出现正面，则C= 正正，正反，反正 . 1 .2随机事件的运算P(A_.

2、B)1. 设A、B C为三事件，用 A B C的运算关系表示下列各事件：(1) A、B、C都不发生表示为：ABC .(2)A 与B都发生，而C不发生表示为： _ ABC_(3) A与B都不发生，而C发生表示为：_ABC_.(4)A、B、C中最多二个发生表示为：A B C丄5)A 、B C中至少二个发生表示为：_ AB AC 一 BC .(6)A、B C中不多于一个发生表示为：_AB AC 一 BC .2. 设 S 二x : 0 乞 x 乞 5, A = x : 1 ： x 乞 3, B 二x : 2 _ ： 4:贝U(1) A - B= x:1x4, (2) AB 二x:2=x=3, (3)

3、AB 二x:3x4,(4) A B = x:0=x=1 或 2=x=5, ( 5) AB = x:1x 1) - P(X 2)=0.981684 - 0.908422=0.0732622) 、P(X 1)=0.9816843) 、P(XW 1=1 - P(X 2)=1-0.908422=0.0915782设随机变量 X有分布律：X 2 3，丫n (X), 试求：p 0.4 0.6(1) P(X=2,Y w 2) ; (2)P(Y w 2) ; (3) 已知 Y 2,求 X=2 的概率。2 21) 、由乘法公式：P(X=2,Y w 2)=P(X=2)P(Y w 2|X=2)=0.4e x (2+

4、2e +2e )=2e2) 、P(YW 2)=P(X=2)P(Y w 2|X=2)+P(X=3)P(Y w 2|X=3)2173=0.4x 5e- +0.6 xe- =0.27067+0.25391=0.5245823) 、由贝叶斯公式：P(X=2,Y w 2)=P(X=2)P(Y w 2|X=2)/P(Y w 2)=0.27067/0.52458=0.516 2.3贝努里分布1 一办公室内有5台计算机，调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6，计算机是否被使用相互独立，问在同一时刻(1) 恰有2台计算机被使用的概率是多少？(2) 至少有3台计算机被使用的概率是多少？(3) 至多有3台

5、计算机被使用的概率是多少？(4) 至少有1台计算机被使用的概率是多少？贝努里公式：P(X =k) =C：pkpZ1) 、P(X =2) =C；p2q5C； 0.62 0.432) 、P(X _3)0.63 0.42 C54 0.64 0.4 0.653) 、P(X 空 4) =1 -P(X =5) =1-0.6554) 、P(X _1) =1 _P(X =0) =1 _0.42设每次射击命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于0.9 ？设至少进行n次射击，X表示n次命中的次数，则 X-B(n,0.2),已经，P(X _1) =1 (1 0.2)n _0.9

6、即 0.8n 乞0.1，两边取对数,得 n _ lg 0.1 /lg 0.8 =10.32至少进行11次的独立射击 2.4随机变量的分布函数1设随机变量X的分布函数是：F(x)=0 X ： -1*0.5 1 兰 x c 1(1)求 P(X 1) , (2)写出 X 的分布律。1) P(X 空 0) =F(0) =0.5P(0 :： X 空 1) =F(1) F(0) =1 0.5 = 0.5P(X _1) =1 _P(X 1) P(X =1) =1_1 0.5=0.52) X的分布律X -11Pi 0.50.52设随机变量X的分布函数是：F(x)Ax*1 +x0x 0,求(1)常数 A, (2

7、) P 1 ： X 乞 2 .x _ 0Ax1) 1 = lim f(x) = limA, A = 1坯bc1 + x2112) P(1 ： X 乞 2) = F (2) - (1)=326 2.5 连续型随机变量1设连续型随机变量 X的密度函数为:f(x)二kx0 ： x : 1其他(1)求常数k的值；(2)求X的分布函数F(x)，画出F(x)的图形,(3) 用二种方法计算P(- 0.5X0.5).be1k1) 、1 =_ f (x)ds kxdx , k = 2x2) 、当 x0 时，F (x) = 0dt = 0xx2当O沁叮时，FgjOdt .。加+。_od10IL22xi dt =1

8、3)、00.51U?dx+Jo 2xd；0.5P( -0.5 X v 0.5) = I f (x)dx =0X12设连续型随机变量x刃的分布函数为：F(x) =0.5).1 ： x : e11) f(X)= XixP(X 2) =1 -F(2) =1-1 n22)、或=f1/xdx=1-1n2 2.6 均匀分布和指数分布1设随机变量K在区间(0, 5)上服从均匀分布，求方程4 x2 + 4Kx + K + 2 = 0有实根的概率。2=16K24 4(K2)_0,K_2,或K -15 13P(K _ -1) P(K _2) =0dx 二、2 557：分)X服从：.=0.2的指数分布，如某人正好在

9、你前面(1)超过10分钟的概率；(2)10分钟 到20分钟的概率。2)、 P(10 ： X ： 20)e*2假设打一次电话所用时间走进电话亭，试求你等待:.axaex _0x ： 01) 、P(X 10) 2.7正态分布1 随机变量 XN (3, 4), (1) 求 P(2X 5) , P(- 4X2), P(X3)(2)确定 c,使得 P(Xc) = P(Xc)。密度函数：(xIIX-P ”s2d12x1dsf(x) -e 2、-分布函数：f(x) - j() =*e 2寸2兀0v2n1) 、0.5328, 0.9996,0.6977, 0.52) c=32某产品的质量指标 X服从正态分布，

10、卩=160,若要求P(120X 0.80，试问最多 取多大？r 31.25 2.8随机变量函数的分布1设随机变量X的分布律为；X o| 12p 0.30.40.3Y = 2X - 1,求随机变量X的分布律。X -113pi 0.30.40.32设随机变量X的密度函数为:0 ： x : 1 其他Y =X2;求随机变量 Y的密度函数。(1 - ： y) 0 ： y : 1 fy(x)y0 其他3.设随机变量X服从(0, 1 )上的均匀分布，丫二-2lnX，求随机变量Y的密度函数。y 0y _01fy(X)二 2 e b第3章多维随机变量 3.1二维离散型随机变量1. 设盒子中有2个红球，2个白球，

11、1个黑球，从中随机地取3个，用X表示取到的红球个数，用Y表示取到的白球个数，写出(X, Y) 的联合分布律及边缘分布律。X X 0120 00 0.1 0.11 00.40.20.62 0.11 0.200.30.10.60.312.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为：X 0 1 2试根据下列条件分别求a和b的值； 00.10.2 a(1) P(X =1) =0.6 ；10.1 b 0.2(2) P(X =1|Y =2) =0.5 ； 设F(x)是Y的分布函数，F (1.5) =0.5。1) a=0.1,b=0.32) a=0.2,b=0.23) a=0.3,b=0.1 3.2 二维连续型

12、随机变量(X、Y)的联合密度函数为： f(x, y) =1.k(x + y) Ocxvl, Ocy10 其他(1)常数 k ；( 2)P(X1/2,Y1/2)； (3) P(X+Y1) ； (4) P(X1/2)。1)2)3)4)1 = ； ：f(X,y)dxdy111P(X ,Y )=2281P(X Y 1)=-31 3P(X ： ) =_2 8二 0 0 k(x y)dxdy,得 k=12.(X、Y)的联合密度函数为:f (x, y)=丿kxy Ovxcl, Ocycx0 其他求(1)常数 k; (2) P(X+Y1); (3) P(X1/2)。1)k=82)3)1P(X Y : 1)-6

13、1 1P(X 厂2 16 3.3边缘密度函数1.设(X, Y)的联合密度函数如下，分别求X与Y的边缘密度函数。f(x,y)12 2 2二(1 x )(1 y )-：x ：=,fx(x)1二(1 X2)fy(y)严11222dx =2n (1 x )(1 y ): (1 y )2.设(X, Y)的联合密度函数如下，分别求X与Y的边缘密度函数。答:”-xf (x, y) = * e0 ： y x其他(、x +10 1 |Y =2)= 0.5 ;(3)已知X与Y相互独立。1) a=1/6,b=7/182) a=1/9 b=4/93) a=1/3 b=2/92. (X,Y)的联合密度函数如下，求常数c

14、,并讨论X与Y是否相互独立?cxy OcxclOcyclWo其他C=6, X,Y相互独立 3.5多个随机变量的函数的分布 3.6几种特殊随机变量函数的分布第4章随机变量的数字特征 4.1 数学期望1. 盒中有5个球，其中2个红球，随机地取 3个，用X表示取到的红球的个数，则EX是:(A) 1；答：1.22.设X有密度函数：f(x) = 80求 E(X), E(2X-1), E(X2),并求答:X大于数学期望E(X)的概率。E(X)二xf(x)dx 二22 3x.3x dx = 0 8 2E(2X -1) =xf(x)dx 二20x(23x2-1)dx = 21 :Epxfgdx(年dx(B)

15、1.2 ；(C) 1.5 ;( D) 2.37/643.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为:已知 E(XY) =0.65,X X 0121 0.2ab 0.2f(x, yxy00 ： x : 1, 0 ： y ： 2则a和b的值是：10.1(A) a=0.1, b=0.3 ;(B) a=0.3, b=0.1 ;(C) a=0.2, b=0.2 ;( D) a=0.15, b=0.25。答：D4设随机变量(X, Y) 的联合密度函数如下：求 EX, EY, E(XY 1)。EX=2/3,EY=4/3 ,E(XY+1)=17/9 4.2 数学期望的性质21设X有分布律：X 0123则E(X -

16、 2X 3)是：p 0.10.20.30.4(A) 1;( B) 2;( C) 3;( D) 4.答：D勺 2 .2.设(X,Y)有 f(x,y) =4y x 7，试验证 E(XY) = E(X)E(Y)，但 X 与 Y 不0 其 他相互独立。E(XY)=E(X)E(Y)=0x5/7=0, 但 f(x,y) 工 fy(y) 4.3 方差1 丢一颗均匀的骰子，用X表示点数，求EX, DX .E(X)=2,D(X)=35/12”(x+1)/40 兰 X 兰 22. X有密度函数：f(x)=八卄 ，求D(X).v 70其他D(X)=11/36 4.4 常见的几种随机变量的期望与方差1. 设 X (2

17、) , Y B(3, 0.6),相互独立，则 E(X -2Y), D(X -2Y)的值分别是：(A) -1.6 和 4.88 ;( B) -1 和 4;( C) 1.6 和 4.88 ;( D) 1.6 和-4.88.A2. 设X U (a, b), 丫N(4, 3) , X与Y有相同的期望和方差，求a, b的值。(A) 0 和 8;(B) 1 和 7;(C) 2 和 6;( D) 3 和 5.B 4.5协方差与相关系数1随机变量(X,Y)的联合分布律如下：试求协方差Cov(X,Y)和相关系数；Y ,X Y-101 .0 0.2 0.1010.10.30.3Cov(X,Y)=0.2xy =0.

18、5632设随机变量(X, Y)有联合密度函数如下：试求协方差Cov(X,Y)和相关系数txy, + y 0 x c 1,0 y v 1 f(x，y*0 其他Cov(X,Y)=-1/144匚丫 一 -1/11 4.6 独立性与不相关性矩1. 下列结论不正确的是(C )(A) X与Y相互独立，则X与Y不相关；(B) X与Y相关，则X与Y不相互独立；(C) E(XY)二 E(X)E(Y)，则 X 与 Y 相互独立；(D) f (x, y)二 fx(x) fy(y)，则 X 与丫不相关；2若COV(X,Y)=0，则不正确的是(C )(A) E(XY) = E(X)E(Y) ； (B) E(X Y) =

19、 E(X) E(Y)；(C) D(XY)二 D(X)D(Y) ； (D) D(X Y) = D(X) D(Y)；3. ( X,Y )有联合分布律如下，试分析X与Y的相关性和独立性。X Y1 0 1 .-11/8 1/8 1/80 1/8 01/81 1/8 1/81/8X,Y不相关，但X与Y不相互独立4. E(XY) =E(X)E(Y)是 X 与Y不相关的(C )(A)必要条件；(B)充分条件：(C)充要条件；(D)既不必要，也不充分。5. E(XY) = E(X)E(Y)是X与Y相互独立的(C )(A) 必要条件；(B)充分条件：(C)充要条件；(D)既不必要，也不充分。6.设随机变量(X,

20、 Y) 有联合密度函数如下：试验证X与Y不相关，但不独立。f(x, y)21x2y/402x : y : 1 其 他第5章极限定理* 5.1大数定理 5.2 中心极限定理1. 一批元件的寿命(以小时计)服从参数为 0.004的指数分布，现有元件30只，一只在用，其余29只备用，当使用的一只损坏时，立即换上备用件，禾U用中心极限定理求30只元件至少能使用一年(8760小时)的近似概率。0.17882. 某一随机试验，“成功”的概率为 0.04，独立重复100次，由泊松定理和中心极限定理 分别求最多“成功”6次的概率的近似值。0.889, 0.841第6章数理统计基础 6.1数理统计中的几个概念1

21、. 有 n=10 的样本；1.2 ,1.4 ,1.9 ,2.0 ,1.5 ,1.5 ,1.6 ,1.4 ,1.8 ,1.4，则样本均值 X = 1.57，样本均方差 S二0.254，样本方差 S2二 0.06462.设总体方差为b2有样本X11X2/ ,Xn，样本均值为 X，则COV(XX)二 。 6.2 数理统计中常用的三个分布1. 查有关的附表，下列分位点的值：Z0.9 = -1.29,/(21 (5) = 9.236 , t0.9(10) =-1.3722。2. 设 X1,X2/ ,Xn 是总体 2(m)的样本，求 E(X), D(X)。E(X)=m, D(X)=2m/ n 6.3 一个

22、正态总体的三个统计量的分布1.设总体X N(二2)，样本X1,X2/ ,Xn，样本均值X，样本方差S2，则N(0,1)X - 1t(n-1)S八nn、(Xi -X)2i 1 n2，X(xi 6.4二个正态总体的三个统计量的分布参数估计 7.1矩估计法和顺序统计量法1.设总体X的密度函数为：f (x)TJX他1，有样本XWX，求未知参数二的矩估计。)22.每分钟通过某桥量的汽车辆数X二()，为估计的值，在实地随机地调查了20次,每次1分钟，结果如下：次数:2 3 4 5 6 量数：9 5 3 7 试求的一阶矩估计和二阶矩估计。=51 =4.97 7.2极大似然估计1.设总体X的密度函数为：f(x)(日 +1)x=00 x 1其一他，有样本XWX，求未知参数v的极大似然估计。(v 1)2 In xii吕 7.3估计量的评价标准1. 设总体X服从区间(a,1)上的均匀分布，有样本 X1,X2/ ,Xn，证明召=2X-1是a的无偏估计。2. 设总体X二()，有样本 X1,X2/ ,Xn,证明aX，(1-a)S2是参数的无偏估计(0 ： a ： 1)。 7.4 参数的区间估计1.纤度是衡量纤维粗细程度的一个量，某厂化纤纤度XN( j二2),抽取9根纤维，测量其纤度为：1.36 , 1.49 , 1.43 , 1.4