根式的运算技巧

1、根式的运算平方根与立方根一、知识要点1平方根：、定义：如果 x每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个 数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。=a，则x叫做a的平方根，记作“ .a ”（ a称为被开方数）。、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0;负数没有平方根。、算术平方根：正数 a的正的平方根叫做 a的算术平方根，记作“ .a ”。2、立方根：、定义：如果 x3、-、a本身为非负数，即a 0 ； - a有意义的条件是a 0。 公式：（a ）2=a （a0）; 3 a = 3 a （a 取任何数）。 非负数的重要性质：若几个非负数

2、之和等于 0,则每一个非负数都为 0（此性质应用很广, 务必掌握）。=a，则x叫做a的立方根，记作“ 3 a ”（ a称为被开方数）。、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0;负数有一个负的立方根。3、 开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。二、规律总结：1、 平方根是其本身的数是 0；算术平方根是其本身的数是 0和1；立方根是其本身的数 是0和土 1。例1求下列各数的平方根和算术平方根(1) 64 ; (2) ( 3)2 ；151（3）149 ；万例2求下列各式的值(1) 、81 ;(2)16 ;(4)( 4)2 .(5) . 1.44 , ( 6)36

3、, ( 7)、(8).( 25)2例3、求下列各数的立方根: 343 ；210 ； 0.72927二、巧用被开方数的非负性求值.大家知道，当a 0时，a的平方根是土 a，即a是非负数.例4、若 2 x . x 2 y 6,求y的立方根.练习：已知y v1 2x Q2x 1 2,求xy的值.三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值我们知道，当a0时，a的平方根是土 . a，而（,a） （ ,a） 0.例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a，求a的平方的相反数的立方根练习：若2a 3和a 12是数m的平方根，求m的值.四、巧解方程例 6、解方程（1）（ x+1） 2=36（ 2）27（x+1

4、）3=64五、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道,a 0,即a=0时其值最小，换句话说.a的最小值是零.例4、已知：y= . a 2、. 3（b 1）,当a、b取不同的值时，y也有不同的值求ba的非算术平方根.当y最小时,练习:1、若一个数的平方根是8，则这个数的立方根是（A. 2B2、 144的算术平方根是 , . 16的平方根是 ;3、若m的平方根是5a 1和a 19，则m=.4、3 27 =,. 64的立方根是 ；5、 7的平方根为 , .1.21 =;6、 一个数的平方是 9，则这个数是 ，一个数的立方根是 1,则这个数是 7、 平方数是它本身的数是 ;平方数是它的相反数的数是

5、;8、当x=时，.3x 1有意义；当 x=时，3 5x 2有意义；9、 若 x416，则 x=；若 3n81，则 n=；10、若 .X 3 x，则 x=；若.x2 x，则 x；11、 J15的整数部分为a,小数部分为b,则a=, b=12、解方程：(x1)2324(2)125(x 2)334313、已知14、15、已知:64(x3)2(4)1)33 (z4 X2x 22)20，求 xyz 的值。，求2x y的值.x 2的平方根是土 2,2 x +y +7的立方根是3，求x2的平方根.16、若 y ,2x 1,1 2x 1，求 xy 的值。二次根式一、知识点1. 二次根式： 式子、.a ( a

6、0 )叫做二次根式。2最简二次根式： 必须同时满足下列条件：被开方数中 不含开方开的尽的因数或因式；被开方数中 不含分母； 分母中不含根式。3. 同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。4. 二次根式的性质:(1) (、.a ) 2=a ( a 0)；l a ( a 0) a 0 ( a=0)；L a ( a v 0)5. 二次根式的运算：二次根式的加减运算:先把二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可。二次根式的乘除运算：、ab = /a?Vb ( a 0,b 0)； 也 a Ob 0Yb西 ，【例题讲解】、利用二次根式的双重非负

7、性来解题Sa 0 (a0)，即一个非负数的算术平方根是一个非负数。）例1 : x取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 工十4（1）I ： F（ 2）1（ 3）5 X.-；二2x 1x 4例 2:若 2004 a Ja 2005 a，则 a 20042 =；若 y x 33x4，贝U x y【基础训练】1、下列各式中一定是二次根式的是（)A、 0 m 1 B、m 2C、 m 2 D m 22、若.x（x 1）.x、x 1，则x的取值范围是3、 若X 3 ,X 3，则x的取值范围是V x 1Jx 14、 若 20m是一个正整数，则正整数m的最小值是 5、设m、n满足n则、mn6、若三角形的三边

8、a、b、c满足a2 4a 4. b 3 =0，则第三边c的取值范围是7、若 |4x 81 x y m 0，且 y 0 时，则（）二、利用二次根式的性质,a2 =|a|= 0（； 0）（即一个数的平方的算术平方根等于这个a（a 0）数的绝对值）来解题【例题讲解】例 1 :已知 x3 3x2 =- x x 3，则（）A. x- 3 D. 3 x 0例2 :化简（x 2）1的结果为（）x 2A、,2 x ; B、x 2 ; C、. x 2 D、, 2 x【基础训练】1、已知ab,化简二次根式.a3b的正确结果是（）A . a .、abB . a , ab C . a ab D. a J ab2、 若

9、化简| 1-x | - x2 8x 16的结果为2x-5贝9（）A、x 为任意实数 B、1 x 1 D、x 0），即 a2 |a|以及混合运算法则）【例题讲解】（一）化简与求值例1:把下列各式化成最简二次根式:）33(2)412402(3)25m5(4)x4x2y2V 8 2例二：计算：23 JI 5【基础训练】jI1、下列哪些是同类二次根式:(1) .75，1，. 12，2，1 ，3，1 ；( 2)5 a3b3c,27耳 5010a3b2c32、计算下列各题:2 1824(51 1；3（1 ）6727（ 3冈（2）4vzab J亶；（3）10 ,则x等于（V 4)A . 4 B .土 2 C

10、 . 2 D .土 44、1 +341.99, 100（二）先化简，后求值:1.直接代入法:1 J1/ i已知 x (75), y (7. 5),2 2求x2 y2（1 ）变条件:2 2已知：x ，求x x 1的值。3 12变形代入法:已知:x= 32 2，y32，求 3x2 5xy+3y2 的值32（2 ）变结论：1、设 3 =a，30 =b，则.0.9 =2、已知 x2 1, y、21，求 x .y 3y x x y 3. xy已知x y四、关于求二次根式的整数部分与小数部分的问题1估算 31 - 2的值在哪两个数之间（）A. 12 B.23 C. 34 D.452若,3的整数部分是a，小

11、数部分是bU .3a b3已知9+ 13与9 13的小数部分分别是 a和b，求ab 3a+4b+8的值4若a, b为有理数，且 寸8+丁18 + i1 =a+2，贝H ba =.8五、二次根式的比较大小(1) 1 ,200和 2、.3(2) 5.6 和 6.5(3) .17.15 和 15135(4)设 a= ,3,2, b 23,c 52,贝卩()A.abcB.acbC. c b a D. b c a六、实数范围内因式分解：9X2 5y24x4 4x2 + 1x4+x 6练习:1、若 x . a 、b, y . a . b，则 xy 的值为()A. 2 ab. 2.bc. a b D. a

12、b2、若 a 20,则 a2 b .3、计算：(1)- i 二(2i-V:一；- , _二i_(3)4、先将说x3 X2x2化简，然后自选一个合适的川，代入化简后的式子求值。5、如图，实数a、b在数轴上的位置，ai 1th.-101化简：.a2 b2 (ab)26、若.I- :-，则立的取值范围是A. 一；：；匚B. 一；*C.二；： 1D.:=： 17、 如图，数轴上三两点表示的数分别为 1和1_ ,点口关于点上的对称点为点，贝U点T所表示的数是A.一B. 叮；C.jD. j_ :-1-月壬8、已知：a - 1.10，求a2 -2的值aa9、已知:x,y为实数，且y Jx 11x3，化简：|

13、 y 3,y2 8y 16。10、已知0,求11、先阅读下列的解答过程，然后作答:有这样一类题目：将. a 2、b化简，若你能找到两个数mn则a 2b可变为m2 n2 2mn，即变成（m n）2开方，从而使得a 2jb化简。例如：52j6=3 226=（、.3）2（切2 2.2、3（、,3 网, . 5 2.6（3.2）2.3,2请仿照上例解下列问题：（1）5 2 6 ；（ 2 o 4 2 3二次根式运算的技巧二次根式的运算通常是根据其运算法则进行计算的，但在计算过程中若能巧妙地运用一些数学思想方法，可使问题化繁为简，易于计算。下面举例说明二次根式的运算技巧：巧移因式法例 1、计算（3、. 2

14、.48）（、184.3）分析：将3雄4/7 f x y = J5,盔丫 =分析：根据x、y值的特点，可以求得-，如果能将所求的值的式子变形为关于 一、它_ 或xy的式子，再代入求值要比直接代入求值简单 得多。解:s + y = JT,所以（也可以将:一旳亠*变为（力耳紗来求）八、巧换元，干净利索总+ 戈 + Jfi 4 * 餐 + 2 一 4 例6.计算 + 2 - 4 n十2 + 厶丁一彳11 2)分析：此算式中的两个公式互为倒数，若设1- A-! _，1:工兰十艺=靈i+y_ 冲界-2龙y _ (“y_2则原式 /:.-:而；|n + 2-I)3 +4n-l-4nJ-k4 = 4n+3=3

15、原式 r川解：设-则打(_* -、h y J + y (h + yj2 - 2zy所以原式-二G + h 2二十矿 Q二4伍+ 2 g 4n + S _ 4(n + 2) 二 n例7.计算也+忑+2-VI分析：有两种方法，一种换元，一种配方。解法1：设心 -.两边平方2卄再+ 2 笛+ 2 J(2斗吗(2 囘 =/因为二 丿 -即: -.1. .-解法2:原式达到事半功倍效所以遇到二次根式运算一定认真审题、仔细琢磨，能否找到运算技巧,二次根式的运算测试题姓名班级学号.选择题（本题30分，每小题3分）：1 .化简3 3（1 一 3）的结果是C. 3D 32.计算(.28 2 3+ 7)X. 7+

16、 84 的结果是A . 11 7B. 15.3 C. 21D. 243.计算(3.2 + 5.3) X (3 2 5 3)的结果是A57B. 57C. 53D. 534.计算.1 2 1 2a+ aa a的结果是()A. 2B . 4C. 2也D . 4筋5 .迈X （迈一质）+诟的值是;6 .化简： 百X （电-腑-回-|6 3|=.7 .计算（倔遏）十羽的结果是.8、计算：40 + ：55=.9、有下列计算：（m2）3= m6； 4a2 4a + 1= 2a 1; m6* m2= m3；.27x寸50十寸6= 15；21223+ 3羽8= 14/3.其中正确的运算有.10、 计算：（返 +1）/21）=.二、计算题（本题30分，每小题5分）：(1)27-5 3 X 6；(2)(5 + 6)X (5.2 2 3