解三角形之正弦定理与余弦定理解析

1、正弦定理与余弦定理教学目标掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形 正余弦定理及三角形面积公式.教学重难点掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形知识点清单.正弦定理:1. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， 并且都等于外接圆的直径，即 - 2R （其中R是三角形外接圆的半径）sin A sin B sin C2.变形:1）a b ca bsin 丄_ - sin m sin C sin Z sin Bcsin C2）化边为角：a :b : c =sin A: sin B :sin C7a sin A . bsin Basin AJb sin B csin

2、 CJcsin C 3）化边为角：a = 2Rsin A,b = 2Rsin B,c = 2Rsi nC4）化角为边：sin A a ;Jsin B bsin Bb sin A a- 7sin Cc sin C c5）化角为边：asin A 二,sin B =bsi nC =c2R2R2R3.利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a，解法：由A+B+C=180,求角A,由正弦定理a=sinA； b = sinB b sin B c sin C sin A sin C;求出b与c 已知两边和其中一边的对角，求其他两个角及另一边。例：

3、已知边a,b,A,解法：由正弦定理a = 血 求出角B,由A+B+C=180求出角C,再使用正 b sin B弦定理旦二泌求出c边c sin C4. ABC中，已知锐角A,边b,贝U a : bsin A时，B无解； a =bsi nA或a _b时，B有一个解;bsi nA :：: a : b时，B有两个解。如：已知A =60；a =2,b =2. 3 ,求B （有一个解）已知A =60,b =2,a =2.、3,求B（有两个解） 注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。.三角形面积2.SABC111absinCbcsin A acsin B2221-(a b c)r,其中r是三角形内切圆半径.

4、23.S ABC 1=,p(p -a)(p b)( p c),其中 pb c),=驚,R为外接圆半径5. S Abc =2R2sin Asin Bsin C ,R 为外接圆半径4.S.ABC三.余弦定理1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们 夹角的余弦的积的2倍，即a2 = b2 c2 -2bccos A2 2 2b a c -2ac cos B2.变形：.2 2 2 典b +c -acos A2bc2 2 2c a b - 2abcosC2 a cosB =c2 -b22accosC 二b22 -c2ab注意整体代入，如：a2 c2 -b2二ac= cosB

5、 =丄23利用余弦定理判断三角形形状：设a、b、c是C的角厶、2、C的对边，贝U:12 . i_ 2若,八f 6%加0C9：所以虫为锐角若c2巾2 =a2二A为直角丄 Jc1 +63 a Ocos j4 = 90, 若U,所以为钝角，则二一是钝角三角形4.利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：1）已知三边，求三个角2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角考点解析题型1正弦定理解三角形例题1 在厶ABC中，已知A=60，a=2，C=45，贝U C .例题 2心 ABC中, A，AC=2 BCf，贝U AB=.3变式训练1、在厶ABC中，a= 3，b= 2，B= 45 .求角 A C和边

6、 c2、在厶 ABC中,(1) 若 a= 4，B= 30，C= 105，贝U b=.(2) 若 b= 3， c =V2，C 45，贝U a=.(3) 若 AB=3, BC6，C 30，则/ A3、在厶 ABC中，若 A=60 , BC=4, AC=4 匚，则角 B 的大小为（ ）A. 30B. 45C.4、在厶 ABC中，若 b=2asinB ,贝U A 等于(135D. 45 或 135)A. 30 或 60B. 45 或 60C.5、在厶 ABC中，已知 si nA : si nB : si nC=5120 或 60D. 30 或 1507: 8,则/B的大小为()A.兀B.叽C.兀D.

7、2TI6343& 在厶ABC中, A: B: C=1: 2: 3,J则 a： b: c等于题型2余弦定理解三角形 _例题 1 在厶 ABC 中，a=1, b=二，c=2,则 B=.例题 2 已知 ABC 中，AB=3 AC=5, A=120，贝U BC等于.变式训练cos b1、在厶ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且 一 .求角B cosC 2a+ c的大小2、在厶ABC中，有下列结论： 若a2b2+c2,则厶ABC为钝角三角形 若 a2=b2+c2+bc,贝U A 为 60 若a2+b2，则厶ABC为锐角三角形 若 A: B: C=1: 2: 3,则 a： b: c=1: 2:

8、 3其中正确的个数为（）A. 2在厶 ABC中, A B( )B. 3C.C所对的边分别是a、b1、c,已知/+以D.*4-忑宜b，则C=A.KlB.7TC.T27T3D.4题型3正弦余弦定理求三角形面积例题 1、在厶 ABC中，若 B=60 , AB=2 AC=3，则 ABC的面积（）A.B.2近C.2V33D.例题 2、AABC中，/ B=120，AC=7 AB=5 则厶ABC的面积为.变式训练1、已知 ABC中，/ B=45，AC=4则 ABC面积的最大值为 .在厶ABC中, A, B, C所对的边分别为a，b，c,若A=60，a=二，b+c=3,则 ABC的面积为（）A.:;B.:;C

9、.二D. 2T题型4三角形形状的判断例题 1 在厶 ABC中, a、b、c 满足 a+b+c =ab+bc+ac,则厶 ABC一定是（）A.等边三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形例题2在厶ABC中, A、B C所对的边分别是 a、b、c,且bcosB是acosC、ccosA 的等差中项.（1）求B的大小；（2）若a+ c =10, b= 2,求厶ABC的面积.变式训练1、在厶ABC中，a, b, c分别是/ A,/ B,/C的对边，若a2+b2v孑，则厶ABC 是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形或钝角三角形2、已知a、b、c分别为 ABC三个内角 A

10、 B C的对边，acosC+ 3asinC bc= 0.求A;(2)若 a= 2，ABC的面积为 _3，求 b、c.课后作业1、设厶ABC的内角A、B、C所对边的长分别为 a、b、c,若b+ c= 2a，3sinA =5sinB，则角 C=.nn2、A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b = 2,，=匸，则 ABC的面积为.3、 已知 ABC中,/ B= 45, AC= 4,则厶ABC面积的最大值为 .4、在厶ABC中, a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且c = 3bcosA, tanC = 3 求tanB的值；(2)若c= 2,求厶ABC的面积.4.15、在厶ABC中，设角 A B C的对边分别为a、b、c,且acosC+空。=b.求角A的大小； 若a= ：15, b = 4,求边c的大小.6在厶ABC中，/ A、/ B/C所对的边长分别是a、b、c. 若c= 2, C=n3，且 abc的面积为.3,求a、b的值；(2)若 sinC + sin(B A) = sin2A，试判断厶 ABC的形状.解题技巧1. (1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可.(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求