《线性代数》课程教学大纲

1、线性代数课程教学大纲一、使用说明（一）课程性质线性代数是高等学校经济、管理类专业核心课程经济数学基础之一，是研究变量 间线性关系的一门学科；它有着深刻的实际背景，在自然科学、社会科学、工程技术、军 事和工农业生产等领域中有广泛的应用。线性代数作为一学期的课程，是为经济类、管理类、工学类等非数学专业本科生 开设的，制定大纲的原则是具有一定数学基础的学生对该领域的基础知识、 背景有所了解， 为进一步学习专业课打下坚实的基础。本课程属于专业基础课。（二）教学目的 随着现代科学技术，尤其是计算机科学的发展，线性代数这门课程的作用与地位显 得格外重要。通过教学，使学生掌握线性代数的基本理论与方法，培养学

2、生正确运用数学 知识来解决实际问题的能力，并为进一步学习后续课程及相关课程打好基础。通过本课程 的学习，使学生不仅能较好地掌握行列式、矩阵特有的分析概念，并在一定程度上掌握用 行列式、矩阵解决问题的方法，而且能使他们对线性代数的基本概念、基本方法、基本结 果有所了解，并能运用其解决实际问题中的一些简单课题。（三）教学时数本课程共 68学时， 4 学分。（四）教学方法本课程将采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式。（五）面向专业经济学、管理学各本科专业。二、教学内容第一章 矩阵（一）教学目的与要求 教学目的 本章内容是线性代数理论的一个重要组成部分，通过学习 n 阶行列式的定义，培养学 生的抽象概

3、括能力与逻辑思维能力。 矩阵是线性代数的一个主要研究对象，是数学及其它科学技术的一个重要工具。它在 本课程中起着承上启下的作用，尤其是对以下几章的学习有重要作用。 基本要求 1、熟练掌握矩阵加、减、乘法和数乘的运算法则，了解其经济背景，熟练掌握矩阵 的行列式的有关性质。2、了解矩阵分块的原则，掌握分块矩阵的运算法则。3、理解可逆矩阵的概念及其性质，会用伴随矩阵求矩阵的逆，熟练掌握用初等行变 换的方法求矩阵的逆。4、了解初等矩阵的概念及它们与矩阵初等变换的关系。5、理解 n 阶行列式的定义及其性质。6、掌握用行列式的定义、性质和有关定理去计算较简单的n 阶行列式的方法。（二）教学内容 矩阵，矩阵

4、的运算，方阵的行列式，几种特殊的矩阵，分块矩阵，逆矩阵，初等矩阵。 教学重点和难点： n 阶行列式定义；行列式按行（列）展开；矩阵乘法运算；逆矩阵 的定义及其运算。第一节 矩阵的概念一、引出矩阵概念的实际背景二、矩阵的概念1、矩阵的定义。2、矩阵的表示法。三、几种特殊的矩阵1、对角矩阵。2、数量矩阵。3、上（下）三角矩阵。4、对称矩阵与反对称矩阵。第二节 矩阵的运算一、矩阵的加法1、矩阵加法的定义。2、矩阵加法满足的运算法则。二、数与矩阵乘法1、数与矩阵相乘的定义。2、数与矩阵相乘满足的运算法则。三、矩阵的乘法1、矩阵与矩阵相乘的定义。2、矩阵与矩阵相乘满足的运算法则及其计算要领。3、矩阵的幂

5、。四、矩阵的转置1、矩阵转置的定义。2、矩阵转置满足的运算法则。第三节 方阵的行列式一、二阶行列式1、二阶行列式的引入。2、二阶行列式的定义。二、n阶行列式的定义1、余子式和代数余子式的概念。2、n 阶行列式的定义。3、n 阶行列式的简单计算。三、行列式的性质1、行列式的五个性质、三个推论。2、行列式的按行（列）展开定理。四、行列式的计算1、三角形法。2、降阶法。3、公式法。4、范德蒙（Van der monde行列式。5、数学归纳法。* 五、 Laplace 定理 Laplace 定理（不证明）。第四节 矩阵的分块一、矩阵分块的概念二、矩阵分块的运算第五节 逆矩阵一、逆矩阵的定义及其性质二、

6、用伴随矩阵计算逆矩阵第六节 矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换与初等矩阵二、求逆矩阵的初等变换法第七节 矩阵的秩一、矩阵秩的定义二、阶梯形矩阵三、用初等变换求矩阵的秩（三）教学方法与形式采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式。（四）教学时数20学时。第二章 线性方程组（一）教学目的与要求 教学目的 本章在理论上彻底解决了线性方程组有解的判定、解的个数与求法，它在理论上、方 法上都是学习以后几章的重要基础，是本课程的重点内容之一。 基本要求 1、理解向量的概念；熟练掌握向量的加法和数乘运算。2、理解向量组的线性相关、线性无关、向量组的秩和矩阵的秩等概念；掌握求向量 组的极大无关组和矩阵的秩的方法。3

7、、掌握线性方程组有解的判定定理，了解线性方程组的特解、导出组的基础解系和 一般解的关系。4、熟练掌握用矩阵初等变换的方法求线性方程组的一般解。解线性方程组，矩阵的初等行变换，线性方程组有唯一解、无穷多解和无解的讨论， 齐次线性方程组有非零解的充分和必要条件； n 维向量，向量组的线性相关性，向量组的 秩，向量组的极大线性无关组；矩阵的行秩与列秩，矩阵的秩，阵的秩与其子式的关系； 初等变换求矩阵的秩；线性方程组解的一般理论，线性方程组有解判定定理，齐次线性方 程组解的结构，非齐次线性方程组解的结构。教学重点和难点：矩阵的初等变换，线性方程组解的存在性及其解法。第一节 线性方程组一、克拉默（Cra

8、mer）法则1、克拉默（Cramer）法则及推论。2、克拉默（Cramer）法则的应用。二、线性方程组的消元解法1、线性方程组的消元解法。2、线性方程组有解的判别定理。第二节 向量及其线性运算一、n 维向量的概念二、向量的加法和数乘运算三、n 维向量空间第三节 向量间的线性关系一、向量的线性组合1 、向量的线性组合的概念。2、向量的线性表示的概念。二、线性相关与线性无关1 、线性相关性的概念。2、线性相关、线性无关的一些结论。第四节 向量组的秩、向量组的极大线性无关组1 、向量组的极大线性无关组的概念。2、向量组的等价。3、向量组的秩。、向量组的秩与矩阵的秩的关系1、矩阵的行秩与列秩，矩阵的秩

9、。2、矩阵的秩与其子式的关系。3、初等变换求矩阵的秩。4、初等变换求向量组的极大线性无关组。第五节 线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构1、齐次线性方程组解的性质。2、基础解系。3、齐次线性方程组解的结构。 二、非齐次线性方程组解的结构1、非齐次线性方程组解的性质。2、齐次线性方程组解的结构。（三）教学方法与形式采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式。（四）教学时数18学时。第三章 线性空间与线性变换（一）教学目的与要求 教学目的 向量空间的理论是线性代数的主要内容，它的理论和方法在自然科学和工程技术的许 多领域中有着广泛的应用。 基本要求 1、了解向量空间的概念；知道 Rn 的基、标准

10、正交基、子空间及其维数的概念。知道 向量在不同基下的过渡矩阵与坐标变换。2、了解线性空间的基、坐标、内积、长度、正交的定义，掌握线性无关向量组的正 交化方法。3、了解正交矩阵的定义，知道其主要性质。Rn 的标准正交基，向量空间的基、坐标、内积、长度、正交，正交矩阵；线性空间的 基，坐标，子空间及其维数。 教学重点和难点：重点是线性空间的概念，向量空间的基、坐标、内积、长度、正交 难点是向量的正交化与正交矩阵。第一节 Rn 的标准正交基一、 Rn 的标准正交基1、 Rn 的基与坐标。2、内积、长度、正交。3、Rn 的标准正交基。4、施密特正交化方法。二、正交矩阵1、正交矩阵的定义。2、正交矩阵的

11、性质。第二节 线性空间一、线性空间的定义二、线性空间的性质三、线性空间的维数、基与坐标四、基变换与坐标变换五、线性子空间（三）教学方法与形式采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式。（四）教学时数8 学时。第四章 矩阵的特征值和特征向量（一）教学目的与要求 教学目的 矩阵的特征值与特征向量是线性代数研究的一个主要对象，它对于研讨向量空间中向 量和向量之间、矩阵与矩阵的内在联系起着重要的作用。 基本要求 1、了解矩阵特征值、特征向量等概念及有关性质。熟练掌握求矩阵特征值与特征向 量的方法。2、了解相似矩阵的概念和矩阵相似于对角形矩阵的条件。3、掌握将实对称矩阵化为对角阵的方法。（二）教学内容 特征值

12、与特征向量的定义；特征方程；特征值，特征向量的求法及有关性质；矩阵的 迹；相似矩阵的定义和性质；矩阵可对角化的条件；实对称矩阵特征值的性质；对称矩阵 化为对角阵的方法。教学重点和难点：矩阵的相似、特征值、特征向量等基本概念，特征值、特征向量和 矩阵可对角化的理论和方法。第一节 矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值、特征向量的概念和计算方法1、特征值与特征向量的定义。2、特征多项式、特征方程。3、特征值和特征向量的简单性质。4、特征值和特征向量的计算方法。二、特征值和特征向量的性质1、特征值和特征向量的性质。2、矩阵的迹。第二节 相似矩阵与矩阵可对角化的条件一、相似矩阵的定义和性质1、相似矩阵

13、的定义。2、相似矩阵的性质。二、矩阵可对角化的条件1、矩阵可对角化的条件。2、矩阵可对角化的方法。三、矩阵的若尔当（ Jordan ）形简介第三节 实对称矩阵的特征值和特征向量一、实对称矩阵特征值的性质二、实对称矩阵对角化的方法1、实对称矩阵对角化的方法。2、实对称矩阵对角化的典型问题。（三）教学方法与形式采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式。（四）教学时数12学时。第五章 二次型（一）教学目的与要求 教学目的 二次型的理论起源于解析几何中二次曲线和二次曲面的分类， 是中学有关教材的深入 与提高，也是线性代数的一个具体应用。 基本要求 1、了解二次型的定义；掌握二次型的矩阵表示方法。 2、会用

14、配方法化二次型为标准形；掌握用正交变换法化二次型为标准形的方法。3、了解正定二次型、正定矩阵的定义和有关性质。（二）教学内容 二次型的定义，矩阵表示方法，二次型的标准形，二次型的规范形，正定二次型，正 定矩阵的定义和有关性质。教学重点和难点：化二次型为标准形的方法，正定二次型、正定矩阵的定义和有关性 质。第一节 基本概念一、二次型及其矩阵1、二次型的定义。2、二次型的矩阵。3、二次型与实对称矩阵之间的关系 二、矩阵合同1、合同的定义。2、合同的性质。第二节 二次型的标准形与规范形一、二次型的标准形1、二次型为标准形的概念。2、用正交替换法化二次型为标准形。3、用配方法化二次型为标准形。4、用初等变换法化二次型为标准形。 二、二次型的规范形1、规范形的概念。2、惯性定