不等式SOS方法

1、不等式SOS方法1.设a、b、c为正实数，则2aT2 2 b c2.证:左-右二、2a2 2b ca2b a2c - ab2 - ac2(b c)(b2 c2)设a、b、c 0,求证:2a2 ab 2b2 扌 aab(a b) ca(c a)2 2(b c)(b c )证：gab亦a b2亍一。八Sb)222一02a2 - ab 2b2fa b c l当a,b,c (0,2)时，已成立。下设b c a-,b，- 二(0,2)，设 a二maxfa,b,c? I。a_b_cb c ai) a_2b 时,3a2 2 2a -ab 2b仝b = b(b 2c)(b-c)_0 也成立,2a - ab 2

2、c 33a2a-ab 2b 2b a b c+ 33ii)b _ 2c，类似可得3 a当a 一c _b，则此时必有a 一2b 先证:3a2a2 -ab 2c2-fbc2 b2。增量易得再证:c3 I则：a2c2 -ca 2a26a3 -19a2c 14ac22一0.易得a3c32 2a -ab 2b 22 22c -ca 2a3.设a,b,cR ，求证:a2 bc1a2 b2证:1a2 b23bc ab -3a2(b c)卄 2c2a2(b2 c2) bc(b2 c2) (a2 bc) 22_b +c24424一 3 9, x23?、2 a 2a b c , a bc22、 a (a -b)a

3、 (a -c)22 bc=2 3bc ab bc(b c ) _ 0b cb cn a 二 m i n a b c，中左 _ 3bc ab _ 3abc(b c) _ 3a2 (b c)川(a-b)(a-c) v 0 不妨设 b 兰 a 兰 c 中 a2c2 +包 a4 启 3a3c , 3b亞 ab X3abc2 Z 3a3b .4原不等式成立4.设 a、b、R，证明：3a 2abc3 -1a (b c)证:a3(b c)3 = (a b c)(a2 b2 c2 2bc -ab _ac) L (a b c) A.a332abca3 2abca u (a) _ 0A u、 ab(a 如 ac(

4、a -c) _o 、 (a -b)ab(丄-丄)_0uab(a -b)2竺 _ 0.显然成立A BAB,33,5.求证： 卞1证：a3 (b c)3 = (a b c)(a2 b2 c2abac 2bc) L (a b c)A ,B、C类似定义,_ b3 +c3 +abc _a：=1I0 -2 b 2c 2abc-(b c)A_0 A而 2b3 2c3 2abc -(b - c)A=2b3 2c3 2abc - (b c)(b2 c2) -(b c)(a2 2bc- ab - ac) (c)2(b c) .b c _a(ab ac -2bc) -0= -AAh -f- ca注意到 ab ac2 bc a2 - A 二(ab ac-2bc)A2_Z a (b c-a)(1)A八 b c 2a、a2 aa 八 a2 b abAAI Bb c -2a+Za二 a2 - A二 a-0= :b? BC(b c)-Cc(b-a)2 - Bb(c-a)2 - Aa(b2 be c2)则只须证：BC(b c) -Cc(b -a)2 -Bb(c-a)2 -Aa(