不等式的综合问题（恒成立、有解、最值等问题）解析版-高一数学上学期期末专项训练（人教A版）

专题02不等式的综合问题（恒成立、有解、最值等问题）

1题型归纳・内容导航］

题型1由已知条件判断所给不等式是否正确题型6恒成立问题（重点）

题型2解不含参数的一元二次不等式（雉考点）题型7有解问题（常考点）

题型3解含参数的一元二次不等式（重点）题型8整数解问题

题型4解分式不等式题型9最值问题（常考点）

题型5一元二次方程根的分布问题题型10实际应用（常考点）

［题型通关•靶向提分1

题型一由已知条件判断所给不等式是否正确（共5小题）

1.（24-25高一上♦湖南衡阳•期末）已知实数a>b>c,且a+"c=0.下列结论正确的是（）

A.——B.a2>b2C.ab2>cb2D.a-c<2b

a-cb-c

【答案】B

【分析】根据已知可得。然后根据不等式的性质，以及赋值法即可判断各项的正误.

【详解】因为。所以。-。>力-。0,所以」一<」一,故A错误；

a—cb-c

因为所以又a>0,c<0,所以。+b>—c>0,

所以从=（。一切（。+〃）>0,所以/>从，故B正确；

当占=0时，ab2=cb2,故C错误；

因为且a+Z?+c=0,所以。>0.c<。，所以匕+c=-a<0.

又6>0,所以a-+所以a-c>2〃，故D错误一

故选：B.

2.（24-25高一上•北京丰台•期末）下列命题为真命题的是（）

A.若a>b,c>d,则o-c>〃一dB.若。>/入。>（）,则

C.若“>>，则,D.若a>Z?>c,则aZ?>/?c

【答案】B

【分析】AC可举出反例；B选项，由不等式性质判断正确；D选项，作差法比较大小.

【详解】A选项，不妨设a=4,〃=3,c=2,d=l,满足但a—c=〃—d,A错误：

B选项，a>biC>0,由不等式性质得比>/记，B正确；

c选项，不妨设〃=1的=-1,此时满足〃>/>,但C错误；

ab

D选项，ab-bc=b（a-c）,

因为所以a-c>0,但不确定匕的正负，若h>0,WJab>be,

若b=0,则a〃=/?c,若。<0,则D错误.

故选：B

3.（24-25高一上•河南商丘・期末）（多选）若1>〃>（）,d<c<0,则下列不等式成立的是（）

A.—>—B.a-d>b-cC.d2>c2D.ac>bd

ab

【答案】BC

【分析】取特殊值判断A选项和D选项，由不等式的性质判断B选项，由作差法判断C选项.

【详解】当以=2,b=l时，满足但是,<4,故A错误：

ab

因为d<c,所以一d>-c,乂所以故B正确；

因为/—c2=（"—c）（d+c）,又所以“一c<0,"C<0,所以j—c?〉。，即屋》C?,故（：正

确；

当〃=4,。=1,d=-2,c=-l时，满足d<c<0,但是acv〃d,故D错误.

故选：BC.

4.（24-25高一上•山西•期末）（多选）已知实数a,b,c,"满足〃</?<0<c<d,则（）

A.ab>b'B.be>adC.—>—D.ac<bd

ac

【答案】AB

【分析】由不等式的性质结合已知可得A正确、B正确；作差可得C错误；举反例可得D错误；

【详解】对于A,因为avbvO,两边同乘以〃，因为人<0,所以由不等式的性质，得疝>/,故A正

确：

对于B,因为av/?vO,所以0<-〃〈一〃，又Ovevd,由不等式的性质，-be<-ad,所以故

B正确；

a「八bdbe-ad上的*心.八口,，八bdbe-ad八口-…bd„

对十C,=---------,由题意知aevO,且Z?c—ad>0,所以=-------<0,所以一<一,故C错

acacacacac

误；

对于D,取a=-3,/?=-l,c=',4=2,jltB'J,ac=-->-2=bd,□攵D错误.

22

故选：AB.

5.（24-25高一上•河北邯郸•期末）（多选）下列说法正确的是（）

A.若a>/?>（）,则!」

ab

B.若a>b>c,则4c

C.若a>b>-c>0,贝

D.若0<。+/?<2,2<n-Z?<4,则2<3。+〃<8

【答案】ACD

【分析】作差比较即可判断A的正误，c=0时即可判断B的正误，根据不等式的性质即可判断C的正

误，用和。一。表示3。+。即可判断D的正误.

【详解]\'a>b>0,:.b-a<0,

I1h-a八1I

，--——<0,AA正确；

ababab

c=（）时，ac=be,B错误；

V«>Z?>-c>0,ab>b2>c2,C正确;

3a+b=2（.a+b）+（a-b），

且0<2（。+妨<4,2<a-b<4,

则2<3a+%<8,D正确.

故选:ACD.

题型二解不含参数的一元二次不等式（共5小题）

6.（24-25高一上•江苏南通•期末）已知集合4=卜|4«2卜集合8=+3x-4叫，则箱8=

（）

A.[T4]B.[0,1]C.H，l]D.（T,4]

【答案】B

【分析】先分别求出两个集合的解集，再根据集合的运算可求出结果.

【详解】对于不等式解得0。44.

所以4={x|0«xW4},

对干不等式Y+3X-4M0,即(x+4)(x—l)<0,解得-4Vx£l,

所以8={.r|-4WxWl},

所以An3={x|0WxWl}=[0』].

故选：B.

7.（24-25高一上•湖北武汉•期末）已知集合知={—2,—1,OJ2},N={W7_2NO},则（）

A.{-2,-1,2}B.{-2,1,2}C.{—2}D.{-1,0,1-2}

【答案】A

【分析】解一元二次不等式，根据交集运算求解.

【详解】因为N={.dX2-X-2>0）=（-OO,-1]U[2,-KX>）,

所以加口'={-2,-1,2},

故选:A

8.(24-25高一上•河北唐山・期末)若不等式加+加+4>0的解集为{x|-l<x<4},则不等式

(x-”)(x+〃)>0的解集为()

A.{x|-3<x<1}B.{x|x>3或x<l}

C.{x|-3<x<-l)D.{x[x<-3或x>-l}

【答案】D

【分析】利用三个二次的关系推得方程小•2+/次+4=。有两根为7和4,由韦达定理求出代入所求不

等式，求解即得.

【详解】由题意，方程"2+/回+4=0有两根为一1和4,

故由韦达定理,解得。=-1,〃=3,

则不等式。一。）。+/力>0即。+1）。+3）>0,解得x<—3或x>—l.

故选：D.

9.（24-25高一上•云南大理・期末）若关于实数x的不等式V+bx+oO的解集是“|工<-5或%>2},则关

于x的不等式c/+法+1>0的解臭是（）

【答案】D

【分析】根据一元二次不等式与方程的关系，结合韦达定理求得。=3,c=TO,再代入不等式，即可求

解.

【详解】例关于x的一元二次不等式x2+笈+c>0的解集是{xU<-5或x>2},

团一5,2是一元二次方程/+云+。=0的两个实数根，

团由韦达定理得：一〃=—5+2=—3,c=—5x2=-10,即Z?=3,c=—10.

二不等式G?+〃x+l>0化为-10V+3x+l>0,即10/-3工一1<0,解得

团不等式的解集为卜器）.

故选：D.

10.（24-25高一上•湖北恩施・期天）已知关于x的不等式渥+/zr+c<（）的解集为{仙<工<2},则关于工的

不等式竺?>。的解集为（）

x-2

A.（2,3）B.（-3,2）C.（—2）53,内）D.（-OO,-3）U（2M）

【答案】C

【分析】由不等式的解集得出〃.〃关系，再解分式不等式即可.

【详解】由不等式奴2+云+c<0的解集为{对<x<2},

1x2=-

可得"0,0,,即。=2",人=-3〃，

,-h

1+2=—

a

।-r-A-A-i、ax+bcf/i“ax-3a_x-3八

所以不等式一下>。可化为——->0,a即n-->0,

x-2x-2x-2

所以可得（工一2）（工一3）>0,解得xv2或x>3,

所以不等式的解集为（-<^2）53,”）,

故选:C

题型三解含参数的一元二次不等式（共5小题）

11.（24-25高一上•贵州黔西•期末）解下列关于x的不等式.

⑴i()F<i；

(2)x2-(2a+1)x4-2«<0(。>0).

［答案］(1)，x--<x<0，

to乙J

⑵答案见解析

【分析】(1)由指数、对数函数的单调性得到。〈二2x+一1<1,求解即可;

X+1

(2)因式分解，讨论两根大小即可求解；

【详解】(1)］0叱订<1

2x4-1八

等价于1g-----<0,

x+1

2x+l.

等价于0<:-----<1，

x+1

等价J且竺斗>0,

x+1x+\

0VI1%-

由^—<1可得：—<0,即Mx+l)<0,即一IvxvO,

x+1x+\

由^^>0可得：(2x+l)(x+l)>0,即工<一1,或

所以一彳<x<0,

2

所以10叼,>r4+1<1的解集为：\x--<x<0>

(2)x2-(2a+\)x+2a<()(«>0),

等价于(x7)(x-2fl)40,

当2a=l时，即a=g,不等式的解集为｛1｝,

当2〃〉1时，即不等式的解集为［1,24，

当*<1时，即Oca',不等式的解集为［2〃』,

综上：时，不等式的解集为｛1｝，

时，不等式的解集为［1，2可，

0<〃弓时，不等式的解集为［2a1］.

12.(25-26高一上•山西大同•期内)已知函数/'(<)=加+x-d.

⑴当。=2时，解不等式之0；

⑵解不等式f（x）之0;

⑶若恒成立，求。的值.

【答案】⑴卜或丫21-

⑵答案见解析

⑶-；

【分析】（1）由一元二次不等式的求法即可求解；

（2）通过a=0,a>0,-i<a<0,a=-^-,4〈一?分类讨论即可;

222

（3）通过。=0和“HO两类情况讨论求解即可.

【详解】（1）当。=2时，可得2/+工_320，

即（2x+3）（xT）N0,

3

解得xNl或xW-不

即解集为rxK-1或rNl，；

（2）由不等式以2+3_4_]20

若4=0,不等式即为尸整0,解得XN1；

若"0,不等式可化为（如+。+1）*-1）20,

此时方程（办+。+1）（4-1）=0的两根分别为玉=1,为=-四，

a

当〃=-；时，K|J1=--,不等式的解集为｛1｝；

LCt

当一!<〃<。时，一"i>i,不等式的解集为'一四]；

2aLa

当〃v—g时，一"！<],不等式妁解集为1-四,[；

2aLa

当〃>0时，1>-但，不等式的解集为-丝1|u[l，+8）；

综上可得：当。>0时・，不等式的解集为卜与-中31,+8）；

当〃=0时不等式的解集为1,+0。）：

当/<"。时，不等式的解集为1,一空』；

当〃二-3时，不等式的解集为{1};

当时，不等式的解集为「e2」.

2L。_

（3）ad+工-。-140恒成立，

当〃=0时，不等式为x-lWO,得xWl,不符合题意；

当awO时;加+x-dWO恒成立，需满足：

a<01

,..（解得："=一；，

A=l+4A«（i/+l）<02

综上。的值为-g.

13.（24-25高一上•安徽宣城•期文）已知函数/心）=/+ar-2.

⑴若不等式“（x）v2的解集为R,求实数。的取值范围；

（2）当awR时，解关于K的不等式加刈v（la）x.

【答案】（1）-16<6/<0

⑵答案见解析

【分析】（1）根据不等式恒成立，讨论〃是否为0,即可求得答案.

（2）分〃=0,〃>0间<0三种情况讨论，结合一元二次方程两根的大小比较，即可求得答案.

【详解】（1）由题意知不等式力（》）<2的解集为R,即6+公_4<0时于任意实数恒成立，

当〃=0时，-4vO恒成立，符合题意：

当am0时，要使得ad+ar-4v0对于任意实数恒成立，

<0

需满足，△_/+]64<0，解得T6<a<0,

综合可知实数〃的取值范围-16<。W0；

（2）不等式分（幻<（1一a）x,即a?+以一2<（1—4）1，即at2+（2。-1）工一2<0,

gp（ar-l）（x+2）<0；

当〃=0时，不等式即一工一2<（）,解得x>-2；

当〃>0时，->-2,解（依-1）（工+2）<0,得一2<x<

aci

当一•-<«<0B'j,—,<—2,不等式即（x—，）（x+2）>0,解得或/>—2

2aaa

当〃=一时，1=-2,不等式即5+2）2>0,则户―2；

2a

当,时，—>—2,不等式即[%—，)(x+2)>0,解得x>—或x<—2,

2aaa

综合上述，可得：

当4=0时，解集为｛划1>_2｝；

当〃>()时，解集为

a\

当-gvavO时，解集为•x|x(：或，一2y

当〃=—g时，解集为"次工一2｝；

当〃<-3时，解集为.或AY-2>.

14.(25-26高一上•湖南长沙•月考)已知函数y=ox2-3+])x+i,aeR.

⑴求关于x的不等式av2-(。+1»+12。的解集；

(2)当avO时，设A=｛x|-2WxW-l｝,8=卜>>一〃｝,若Aq/九求〃的取值范围.

【答案】⑴答案见解析；

(2)(-1,0).

【分析】(1)根据题意，利用含参数的一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解；

(2)根据题意，转化为不等式ax2-(a+i).i+i+〃>o在上恒成立，结合二次函数的图象与性质,

列出不等式组，即可求解.

【详解】(1)解：由不等式/一(a+i)x+iNO,

若〃=0,不等式即为-x+lNO,解得xWl,即不等式的解集为1x|x41｝；

若〃工0,不等式可化为(or-l)(x—l)之0,即。(x—2)(x—l)20,

a

此时方程。(x-3(x-1)=0的两根分别为X=L6=L

aa

当时，不等式即为(x—_L)(x—1)«0,解得Lmkyi,解集为｛X|_L«X«1｝：

aaa

当〃>0时，不等式即为(X-3(XT)2。，

a

若0<"1,可得L>1,解得xWl或不等式的解集为｛xlxG或xN』｝；

aaa

若〃=1,可得,=1,不等式即为5-1)220,此时不等式的解集为R；

a

若”>1,可得,<1,解得xNl或不等式的解集为或x之1｝,

aaa

综上可得：

当“<()时，不等式的解集为｛xI’C｝；

a

当〃=0时不等式的解集为｛x|x<l｝；

当()vav1时，不等式的解集为3xK1或x/｝；

a

当。=1时，不等式的解集为R；

当〃>1时，不等式的解集为或XN］｝.

a

(2)解：由不等式)'>一。，可得ad-(。+l)x+l>-。，B|Jax2-(a+l)x+1+a>0,

因为avO时，集合4=｛川一24工4一1｝,8=｛乂)>一4｝,且人G8,

所以不等式以2-(4+l)x+1+4>0在［—2,7］上恒成立,

设f(力二。F一(a+l)x+l+aa<0.

/(-2)=4a+2(a+l)+l+a>0

3

则满足J/(T)=a+(a+l)+l+a>0，解得一］va〈O,

a<0

3

即实数a的取值范围为

15.(24-25高一上•湖北•期末)已知关于实数x的函数/(x)="2—4x+3(a>。).

⑴若f(x)<0的解集为｛xcRll<x</>｝,求〃-力的值；

⑵解关于实数x的不等式〃工)>2办-21-1.

【答案】⑴。一人=一2

(2)答案见解析

【分析】(1)由不等式的解集求得参数值；

C2)根据一元一次函数的性质分类讨论解不等式.

【详解】(1)若/(“<0的解集为｛xeRll<%<3,则。-4+3=0,。=1,

4

1+6=—=4,b=3,

a

0«-/?=1-3=—2；

(2)整理可得加一(为+2)x+4>(),配方得(ax-2Xx-2)>()

分以卜.情况讨论:

22

1.OV4V1时，一＞2,解得x<2或吒

2

2.。=1时，—=2,解得工工2

22

3.时，—<2,解得x<—或x>2

aa

综上所述；当0<々<1时解集为*|x〈2或»*｝；当a=l时解集为｛xwRlx于2｝；当时解集为

题型四解分式不等式（共5小题）

16.（24-25高一上•北京延庆•期末）不等式的解集为（）

x-2

A.B.[-3,2]C.[1,2）D.[-3,2）

【答案】D

【分析】移项通分后转化一元二次不等式即可求解.

【详解】原不等式即为23-1«0即W4。，故卜;

x-2x-2[x-2^0

故-3<x<2,

故选:D.

17.（24-25高一上•河北唐山・期天）已知xcR,若^：|l-x|<x,则P是乡的（）

2x-\

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】解不等式求出命题〃、9,再根据充分不必要条件定义判断可得答案.

【详解】由二22得三智20,解得（vxWl,则

2x-\2x-\22

由11一x区x得x之；，则q：x之；，

所以若p：：<xKl成立，则成立，

但成立，但p:g<xK1不一定成立，

则P是4的充分不必要条件.

故选：B.

2r-1

18.（24-25高一上•上海宝山•期天）不等式上一>0的解集为_______.

x+1

【答案】卜叫;}

【分析】利用分式不等式的解法可得出原不等式的解集.

【详解】不等式型?>0等价于a+D（2x—1）>0,解得工<T或工二，

x+12

故原不等式的解集为卜《叫.

故答案为：《工工（一1或工）5».

o

19.（24-25高一上•广东深圳•期末）设不等式r+行>2的解集为（《〃），贝IJ

【答案】1

【分析】把分式不等式转化为整式不等式，然后求解.

【详解】原不等式可化为-x+2—2>0,

x+\

Y

up—<0,所以x（x+l）v0,解得-1<XV0,

x+l

所以”=-1,〃=（）,b-a=\.

故答案为：1

20.（24-25高一上•安徽合肥•期末）不等式二22的解集是________.

5-x

13、

【答案】

【分析】利用分式不等式解法即可求得结果.

【详解】一一N2等价于j--2N0,即多一20,

5-x5-x5-x

得到田丫（5-y°,解得：9<5,

5—xw03

故不等式二22的解集为区51.

5-xL3/

故答案为：£,5）

题型五一元二次方程根的分布问题（共5小题）

21.（24-25高一上•上海嘉定•期天）已知关于x的方程段2+24+1=0至少有一个实根，则实数。的取值范

围是.

【答案】a<\

【分析】分。=0与。工0时讨论，当。时，令判别式大于等于零即可；

【详解】当。=0时，方程为2x+l=0,解得了=-，

当时:方程c1+2x+l=0至少有一个实根，则△=4一4々寸。，解得。£1,

综上，实数〃的取值范围是

故答案为：a<\.

22.（23-24高一上•河南南阳・期末）一元二次方程（x-〃）（x-2）=0有一个正实根和一个负实根的充分

不必要条件是（）

A.«€（-2.l）B.fle（-2.0）C.6/e（-1.0）D.6/e（-l.l）

【答案】C

【分析】求出方程有一个正实根和一个负实根的充要条件，结合选项，判断哪一个是该条件的真子集，即

可得答案.

【详解】由题意知一元二次方程任一。）（工一《-2）=0的两根为玉=«9=4+2d<七，

要使得方程有一个正实根和一个负实根，需。+

结合选项知，只有（-1，0）（-2,0）,

即一元二次方程（工-4）（，♦。-2）=0有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是

故选：C

23.（23-24高一上•河北沧州•期e）已知关于x的方程f-g-2）x+a=。，则下列结论中正确的是

（）

A.当。=1时，方程的两个实数根之和为T

B.方程无实数根的充分不必要条件是2<av4+2G

C.方程有两个正根的充要条件是。>2

D.方程有一个正根一个负根的充要条件是a<4-26

【答案】B

I?

【分析】由丁+4+1=汉+^)2+；>0判断A；利用方程对应函数的性质列不等式组求参数范围，结合充

分、必要性定义判断B、C、D.

IQ

【详解】A：由题设/+工+1=*+7)2+==0,显然无解，错；

24

B：若方程无实根，则△=(〃-2)2-4。<0,即〃2_84+4<0O4—2G<"4+2G，

所以2<〃<4+26是方程无实数根的充分不必要条件，对；

C：令/*)=/一(々一2八+d要使方程有两个正根,

所以〃0)=a>0,可得〃>4+25故。>2不是充要条件，错;

A=(“一2)~-4«>0

f(0)=a<0

D：同C分析.；「,可得a<0,故〃<4-2月不是充耍条件，错.

△=-2)-4a>0

故选:B

24.(25-26高一上•陕西•月考)关于x的方程依2-(〃+l)x-2a+3=0有两个不相等的实数根4%,若

-2<X.<X2<3,则实数〃的取值范围是()

A.{t/la>\}B.伍|〃>1或4<-3}

4

C.{a\a>-^,a<-}D.{〃1。>1或。<」)

595

【答案】B

【分析】按照。=0、。>0和avO分类讨论，按照二次方程根的分布列不等式组求解即可.

【详解】当。=0时，方程-x+3=0只有一个根，显然不符合题意；

-2<

当。>0时，则・△=(。+1)'-4a[5-2a)>0解得。>1;

〃(-2『-(〃+1)(-2)-2〃+3>0

ci,32-+-2a+3>0,

-2c<-。-+-1<3c

2a

解得〃<十

当4<0时,则，A=(67+1)"-46/(3-267)>0

4(-2『-(4+1)(-2)-2〃+3<0

a-32-3(«+I)-2fl+3<0,

故"e{q|4>1或4<一3}.

4

故选:B

25.(25-26高一上•广西河池・月考)已知不马是关于x的方程丁-2(m+2)X+1-1=0的两个实数根.

⑴若入；+*=4,求〃?的值：

(2)若m=l,a"J，求_!_+?的最小值；

2ab

⑶若,，占是两个不相等的正数，求实数用的取值范围.

【答案】(1)—1.

(2)3.

⑶卜i_|)u(l,+8).

【分析】(1)利用韦达定理进行求解；

(2)先求出〃+〃=工产=3,再由基本不等式求解；

△>0

(3)由<为+元2=2(6+2)>0,进行求解.

2

X1•x2=/7Z-1>0

【详解】(1)由△=4(〃7+2)2-4(〃，-1)20,可得〃地一；，

2

因为N+/=2(//Z+2),X1X2=ZW-1,

22

所以X；+X；=(内+吃,一1xxx2=[2(6+2)]一2(m-1)=2m+16m+18=4,

解得〃?=-1或一7(舍去)，故机的值为-1.

(2)当〃?=1时，玉+W=2(〃?+2)=6,

所以。+〃=上士=3,

2

因为〃>0力>0,

所以=:11+华+2+412：x(5+24)=3,

ab3\ab)3\baJ3vf

当且仅当2=羊，即。=1力=2时等号成立，

ab

所以上1+=4的最小值为3.

ab

A>0

（3）因为是两个不相等的正数，所以-内+w=2（"7+2）>0,

x,-x,=m2-1>0

5

m>——

4

，所以6>1或一*,

解得m>-2

4

in>1或相<-1

所以实数机的取值范围是（-]，T]u（l,y）.

kZ

题型六恒成立问题（共8小题）

26.（24-25高一上•浙江宁波•期末）若不等式（依-2）（x-〃）20对任意的xeR恒成立，则的最小值

为（）

A.3B.272C.4D.3在

【答案】C

【分析】由不等式恒成立，确定。>0,且而=2,再由基本不等式即可求解.

【详解】不等式3-2）（j）NO可化为4-（"+2）-+»之0,

当a=0时，不等式为不满足对•任意的xeR恒成立；

当〃<0时，y=”-（"+2»+2分，图象开I响卜，不满足题意，

所以a>（）,且△=（〃力+2）2—44x2〃"），所以（"一2）240,

所以a〃=2,且。>0,人>0；

所以a+2〃N2，D=4,当且仅当〃=2/九即。=2,〃=1时等号成立，

所以。+处的最小值为4.

故选:C

27.（24-25高一上•内蒙古乌兰察布•期末）若不等式"2_奴+[-〃>0对DxeR恒成立，则实数〃的取值

范围是.

【答案】Y4

【分析】讨论4=0、结合二次函数性质列不等式求参数范围.

【详解】当。=0,则欠2—公+1一〃=1>0,显然对于VxwR都成立，满足;

\a＞04

当〃工0,要使o?-at+l-a＞0对DxwR恒成立，则L2,八、八，所以。＜。＜二；

[A=a-4«（1-«）＜05

4

综上，0＜a＜—.

4

故答案为：。K。＜二.

28.（24-25高一上•重庆・期末）若不等式（"2）/-2（〃-2）工-4＜0对一切“£1＜恒成立，则实数〃的取值

范围为（）

A.(-<x?,-2)u(2,+oc«)B.(-co,-2)o[2,+oo)

C.（-2,2）D.（-2,2]

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用一元二次不等式恒成立问题求解•.

【详解】当a—2时，-4vO恒成立，则a—2；

当"2时，|A=43-2）T6-2）＜。'解得一2＜"2,

所以实数。的取值范围为（-2,2].

故选：D

29.（24-25高一上•广东深圳•期天）已知。＞0/wR,若关于x的不等式（依-2乂/+法-6”0在区间

（0,+8）_|-恒成立，贝I」4t，一。的最小值是（）

A.2B.2&C.3D.3及

【答案】B

【分析】结合函数=以-2函数性质，得到函数g（x）=Y+辰-6的函数性质，由此建M等式得到为〃

的关系，然后借助基本不等式求出4。-人的最小值.

【详解】团/（“）=以-2在区间（0,+e）上单调递增，

回当xe0,，）时/（x）＜0,当xe~,+a）时/（工）＞°，

令g（x）=f+Z;x-6,

要想关于x的不等式（以-2）（x2+权-6”0在区间（0,+8）上恒成立,

则当xc（0,\2

时g(x)<0,当xe—,+00时g(x)>0.

+——6=0>W*J3a'—ba—2=0即。=3a-2,

aa

04a-/?=«+->2V2,当且仅当”=2,即〃=&时取等号.

aa

故选:B.

30.(24-25高一上•吉林•期末)已知函数/(耳=以2-(/+〃卜+/.

⑴若关于x的不等式/(x)+/x+l-/，o的解集为R,求实数〃的取值范围:

⑵解关于x的不等式〃x)<0.

【答案】⑴[0,4]

⑵答案见解析

【分析】(1)依题意可得不等式以2-水+120的解集为R.分。=0与。工0两种情况讨论，当时

。>0

A/C，即可求出参数的取值范围：

A<0

(2)依题意可得a(x-l)(x-a)<0,再分。=0、。<0、。=1、。>1、Ovavl五种情况讨论，分别求出

不等式的解集.

【详解】(1)因为关于工的不等式/3+。一+1一〃220的解集为R,

即美于x的不等式ad-仪+130的解集为R,

当〃=0时，120恒成立；

a>0

当"0时，则L/\2,C，解得0<。44；

△=(-4)-4a<0

综上可得实数”的取值范围为[0,4]；

(2)不等式加-+a)x+/<0,ERtz(x-l)(x-iz)<0,

当〃=0时，则X€0；

当〃<0时，不等式可化为(“一1加一4)>0,解得x>l或％<〃，即不等式的解集为(3,。)=。,田)；

当〃=|时，不等式即(X—炉<(),则XW0；

当〃>1时，不等式可化为(x-l)(x-a)v(),解得l<x<a,即不等式的解集为。,〃)；

当0<〃<1时，不等式可化为（x—1）（不一。）<0,解得a<X<\,即不等式的解集为（41）；

综上可得：当。=0或。=1时，不等式的解集为0；

当〃V。时，不等式的解集为（YOM）U（l,f8）：

当4>1时，不等式的解集为（1M）;

当Ovavl时，不等式的解集为（a,l）.

31.（25-26高一上•甘肃兰州•期口）已知函数f（x）=（〃?+l）x2-尔+R）.

⑴若不等式/*）<（）的解集为0,求机的取值范围；

⑵当〃?>—2时，解不等式/（幻之明；

⑶对任意的xe[Tll,不等式“g2/7+1恒成立，求〃，的取值范围.

【答案】（1）于，内：

,/

⑵答案见解析；

⑶§,+8.

【分析】（1）当〃7+1=0时验证解集；当初+1工0时，由不等式解集分析相应二次函数图象和二次方程根

的情况求解；

（2）将不等式因式分解.分情况讨论利+1取值求解：

（3）通过分离参数，将问题转化为最值问题求解..

【详解】（1）（1）当〃2+1=0,即〃2=-1时，不等式即x-2<0,解集不是0,不符合题意；

当〃?+1工0,即〃I时，若不等式〃力<（）的解集为0,

则二次函数y=（〃2+l）f-M+〃7-l开||向上，且与X轴至多一个交点，

也即方程-〃N+〃.l=O至多一个实根，

/〃+1>0m>-\九W

所以《即■3〉1，解得〃△亍‘

A=in~-4(W+1)(/?2-1)<0

2+

即阳的取值范围为T,+o°

(2)/(x)>w,B|J(1)%2-nix-1>0,亦即[(〃?+l)x+l](x-l)20,

当刑>-2时,m+l>-l,

若〃?+1<0,即一2<根<—1,则一1<m+1<0,所以」一<-1,所以———>1,

m+1rn+1

此时不等式的解集为［xl1<x<一-；

〃?+L

若〃2+1=0,即〃?二一1,则不等式即X—12()，解集为"|北1};

若即〃?>1,贝U一焉<1，不等式解集为{xlxW—高■或x?l}.

综上，当-2<〃2<-1时，不等式解集为当〃7=-1时，不等式解集为"1x21}；

当加>T时，不等式解集为-七或XN1}.

(3)不等式/(x)NZd—x+1,即一，"Y+〃2-1>2A，—x+1,

故-(/?/-l)X+(/??-l)>1,

即(〃?一1)(丁一%+1)之1,可化为——■,

设g(x)=f-x+1/w卜1,1］,对称轴为x=；,且对称轴x=g在区间卜1川内，离对称轴较远的端点为左

端点，

所以当.万时，g(x)向产“当x=T时，g(x)皿=3,所以［Wg(x)43,

11I4

所以3一国二—77一于

因为对任意A-G［-1,1］,不等式f(x)>2/—x+1恒成立，

即阳的取值范围为(+8).

32.(24-25高一上•江苏淮安・期口)已知函数/(幻=。尸+加一2,/(力〈0解集为{#-2<1<1}.

⑴求f(x)的解析式；

⑵用定义法证明函数/*)在［1,m)上为单调增函数；

(3)若/(%)>2x+m在区间［-1,3］上恒成立,求实数加的范围.

【答案】⑴/(幻=/+工一2

⑵证明见解析

(3)^<--

【分析】（1）根据一元二次不等式的解集、根与系数关系求得。力.

（2）利用函数单调性的定义，求得从而证得的单调性.

（3）利用分离常数法，结合二次函数的性质来求得机的取值范围.

【详解】（1）由函数/（x）=ad+bx—2J*）<（）解集为

可知方程ov2+〃x_2=0的两根为一2,1,

-2+1=--

由,：工,解得“=〃=】，

（-2）x1=^-

所以/（幻=工2+X-2.

（2）设W>X,>1,

由f（电）-/（%）=芯+室-2-（片+%-2）=（再-&）（再+9+1）,

0x2>Xj>1,

0A；2-A]>0,勺+玉+1>0,

团/（9）-/（内）>。即/（占）>/（%）,

团函数/（X）在[1,*0）上为增函数.

（3）由题意得：x2+x-2>2x+/n^

L

即对于任意的xe"1.3],有机<X-X-2恒成立，

贝|」/〃<（X2一工一2）,XG[-1,3],

\/min

当％1时，由二次函数性质得f7—2取得最小值-9；，则〃7<-9/

244

33.（24-25高一上•北京西城•月考）已知关于x的方程，4+（。-1）工-1=0.

⑴若该方程的解集中只有一个元素，求。的值；

（2）若。=2,且当x>0时，加+（。-1卜-1>法-9恒成立，求实数。的取值范围;

⑶若av0,解关于%的不等式/+（“-3-1>0.

【答案】⑴0或-1

（2）（-00,9）

⑶答案见解析

【分析】（1）根据题意，分当a=0和awO,两种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解;

(2)当〃=2时、转化为”>0时，〃<2厂+.+8恒成立,结合基本不等式，即可求解；

x

(3)根据题意，不等式转化为(x-1)(工+3<0,分类讨论，即可求解.

a

【详解】⑴解：由关于%的方程加+但-1)工-1=0,

当。=0时，方程即为-x-l=0,解得大=-1,满足题意；

当”中0时，若该方程的解集中只有一个元素，贝IJ满足△=5-1)2T4a=0,

即/+2〃+1=(4+1)2=0,解得a=—l,

综上可得，实数。的值为。或T.

(2)解：当。=2时，不等式为2-+x-l>/zr-9,即2.-+x+8>〃x,

由1>0时，2f+x+8>法恒成立，即为"0时，]<2广+/+8恒成立,

x

又因为宜±3=2工+&+12201+1=9.

XX\X

Q

当且仅当2尸一时，即x=2时,等号成立,所以。<9,

x

即实数〃的取值范围为(F.9).

(3)解：由不等式以2+(。-1)4-1>0,可化为(1+1)(如-1)>0,

因为avO,可得。(彳+1)。一1)>