10-5弯扭组合变形

1、研究对象：圆截面杆研究对象：圆截面杆 受力特点：杆件同时承受转矩和横向力作用。受力特点：杆件同时承受转矩和横向力作用。 变形特点：发生扭转和弯曲两种基本变形。变形特点：发生扭转和弯曲两种基本变形。 研究内容：杆件发生扭转和弯曲组合变形时的强度计算。研究内容：杆件发生扭转和弯曲组合变形时的强度计算。 10-5弯曲扭转与弯曲扭转与 FP l a S A B L a P (a) 一、一、 内力分析内力分析 m P (b) B A 设一直径为设一直径为 d 的等直圆杆的等直圆杆 AB , B 端具有与端具有与 AB 成直角的刚臂。成直角的刚臂。 研究研究AB杆的内力。杆的内力。 横向力横向力 P （引

2、起平面弯曲）（引起平面弯曲） 力偶矩力偶矩 m = Pa （引起扭转）（引起扭转） 将力将力 P 向向 AB 杆右端截面的杆右端截面的 形心形心B简化简化得得 AB杆为弯扭组合变形杆为弯扭组合变形 M 图图 PL T 图图 Pa 横向力横向力 P （引起平面弯曲）（引起平面弯曲） 力偶矩力偶矩 m = Pa （引起扭转）（引起扭转） 画内力图确定危险截面画内力图确定危险截面 P B A m 固定端固定端为危险截面为危险截面 A截面截面 (e) C3 C4 (f) 二、二、 应力分析应力分析 危险截面上的最大弯曲正应力危险截面上的最大弯曲正应力 发生在铅垂直径的上、下发生在铅垂直径的上、下 两端

3、点两端点 处（图 处（图e示）。示）。 最大扭转剪应力最大扭转剪应力 发生在截面发生在截面 周边上的各点处（图周边上的各点处（图 f示）。示）。 C2 C1 C2 C1 C3 C4 T 对于许用拉、压应力相等对于许用拉、压应力相等 的塑性材料制成的杆的塑性材料制成的杆,这这 两点的危险程度是相同的。两点的危险程度是相同的。 可取任一点可取任一点C1 来研究。来研究。 C1 (g) C1 点点处于平面应力状态处于平面应力状态 三、三、强度分析强度分析 1、主应力计算、主应力计算 22 1 3 4 2 1 2 0 2 第三强度理论第三强度理论,计算相当力计算相当力 2、 相当应力计算相当应力计算

4、C1 (g) 4 22 313 r 第四强度理论第四强度理论,计算相当应力计算相当应力 3、 强强 度计算度计算 r C1 (g) 22 4 3 r 4 22 313 r 22 4 3 r 该公式适用于图示的平面应力状态。该公式适用于图示的平面应力状态。 是危险点的正应力，是危险点的正应力， 是危险点的剪应力。是危险点的剪应力。且横截面不限于圆形截面。且横截面不限于圆形截面。 C1 可以是由弯曲，拉（压）或弯曲与拉（压）组合变形引起。可以是由弯曲，拉（压）或弯曲与拉（压）组合变形引起。 是由扭转变形引起是由扭转变形引起 弯、扭组合变形时，相应的相当应力表达式可改写为弯、扭组合变形时，相应的相当

5、应力表达式可改写为 对于圆形截面杆有对于圆形截面杆有 2 16 2 3 d W Wt W t TM W T W M r 22 2 2 3 )( )( 4 W TM W T W M t r 750 3 22 2 2 4 . )()( 式中式中W为杆的抗弯截面系数。为杆的抗弯截面系数。 M、T分别为危险截面的弯矩和扭矩。分别为危险截面的弯矩和扭矩。 扭转和弯曲组合变形扭转和弯曲组合变形 应用：弯拉扭组合应用：弯拉扭组合 危险截面截面危险截面截面A A 危危 险险 点点 a NM a W T W T a 2 p T 应力状态单向纯剪切应力状态单向纯剪切 强度条件（塑性材料）强度条件（塑性材料） 4

6、2 T 2 NMr3 3 2 T 2 NMr4 A F W M N 例题例题1：空心圆杆空心圆杆AB和和CD杆焊接成整体结构。受力如图。杆焊接成整体结构。受力如图。 AB杆的外径杆的外径D=140mm，内，外径之比，内，外径之比d/D=0.8，材料的，材料的 许用应力许用应力 =160MPa。试用第三强度理论校核。试用第三强度理论校核AB杆的强度。杆的强度。 A B C D 1.4m 0.6m 15KN 10KN 0.8m A B C D 1.4m 0.6m 15KN 10KN 0.8m A B P m 解：将力向解：将力向B截面截面 形心简化得形心简化得 P=25KN 6 . 0104 .

7、115 m mKN.15 AB为为扭转和平面扭转和平面 弯曲的组合变形。弯曲的组合变形。 A B P m P=25KN 6 . 0104 . 115 m mKN.15 + 15KN.m - 20KN.m 画扭矩图和弯矩图画扭矩图和弯矩图 固定端截面为危险截面固定端截面为危险截面 T=15KN.m mKN M .20 max 26.157 1 4 22 2 2 3 )( )( MT W T W M W t r )1 ( 32 4 3 D W 例题例题2 直径直径d=40mm的实心钢圆轴，在某一横截面上的内力分的实心钢圆轴，在某一横截面上的内力分 量为量为N=100KN，Mx=0.5KN.m，My

8、=0.3KN.m。已知此轴的许。已知此轴的许 用应力用应力 =150MPa。试按第四强度理论校核轴的强度。试按第四强度理论校核轴的强度。 x z y N My Mx x z y N Mx N产生轴向拉伸产生轴向拉伸 My产生产生xz平面弯曲平面弯曲 Mx产生扭转产生扭转 My A A点为危险点点为危险点 x z y N Mx 由由N引起拉伸正应力为引起拉伸正应力为 由由My引起最大弯曲正应力为引起最大弯曲正应力为 My A 由由Mx引起最大剪应力为引起最大剪应力为 最大正应力为最大正应力为MPa127.3 21 MPa A N 79.6 1 MPa W M y y 7 . 47 2 MPa W

9、 M t x 39.8 x z y N Mx My A W M t x 21 144.6 3 22 4 MPa r 由第四强度条件由第四强度条件 故轴满足强度要求故轴满足强度要求 例题例题 3 某某圆轴受力如图所示。已知圆轴的圆轴受力如图所示。已知圆轴的直径直径 D= 100mm ，杆长杆长 L=1m ,材料的许用应力材料的许用应力 =160MPa。 试按第三强度理论进行强度较核。试按第三强度理论进行强度较核。 S=90KN P=100KN m=100KN z y x 0 z y x 0 （1）外力简化，判基本变形）外力简化，判基本变形 T=5KN 100KN My=5KNm 100KN S=

10、90KN 轴向拉伸；轴向拉伸； 双向弯曲；双向弯曲； 扭转；扭转； （2）作内力图）作内力图 ， 判断危险截面判断危险截面 FN My Mz T 100KN 5KNm 10KNm 5KNm 危险截面危险截面 固定端截面固定端截面 轴力轴力 = 100KN（拉）； （拉）； 弯矩弯矩 My=5 KN.m ; 扭矩扭矩 =5 KN.m 合成弯矩合成弯矩 2KNm.11510MMM 222 z 2 y z y x =5KN My=5KN Mz （3）危险截面上内力）危险截面上内力 Mz=10 KN.m （5） 强度分析强度分析 该杆件强度足够。该杆件强度足够。 5MPa.25 1 . 0 16 10

11、5 W T 3 3 t 127MPa W M A F z N 137MPa4 22 r3 （4）危险截面上危险点处应力计算）危险截面上危险点处应力计算 采用哪一组公式计算相采用哪一组公式计算相 当应力？当应力？ dC=172mm,dD=54mm,轴的直径轴的直径d=40mm。传动机构上。传动机构上 作用的力作用的力 例题例题 4，传动机构如图所示。齿轮传动机构如图所示。齿轮C,D的直径分别为的直径分别为 KN Px 516. KN Py 4140. KNPz554. KN Py 255. KNPz4914. MPa300 试按第四强度理论校核轴的强度。试按第四强度理论校核轴的强度。 ， ， ，

12、 ，。 工程实例工程实例 Py Px Mz Pz Mo x y z 40 15084 PzPy Px Py Pz C D AB C AB D 将力向轴简化将力向轴简化 PyPy（xy平面弯曲平面弯曲） Px Px（拉伸）（拉伸） MZ = 1.42 (xy平面弯曲）平面弯曲） Pz Pz (xz平面弯曲平面弯曲 ) M0 = 0.391 (扭转）扭转） x y z 40 15084 PzPy Px Py Pz C D Py Pz Mo A AB B D Py Px Mz Pz Mo C AB D (xy平面弯曲）平面弯曲）PyPy PZ PZ(xz平面弯曲）平面弯曲） M0 = 0.391 (

13、扭转）扭转） x y z Py Pz Mo Py Px Mz Pz Mo C AB D PyPyMz产生产生 xy 平面内的弯曲变形。（平面内的弯曲变形。（z为中性轴）为中性轴） 产生产生 xz 平面内的弯曲变形。（平面内的弯曲变形。（y为中性轴为中性轴) PzPz Mo 产生扭转变形产生扭转变形 Px 产生拉伸变形产生拉伸变形 PyPy Mz A B A B PzPz A B PxPx A B M0 M0 x y z 1.436 0.441 1.42 Mz 0.182 1.217 My 16.5 N 0.391 T 4471 18204361 22 . . MMM AzAyA 2941 21

14、714410 2222 . . MMM BzByB A截面是危险截面截面是危险截面 最大弯曲正应力为最大弯曲正应力为 MPa W MA M 230 拉伸正应力为拉伸正应力为MPa A N N 13 最大扭转剪应力为最大扭转剪应力为 MPa W T t 31 max MPa NM 243 max MPa r 249 3 22 4 强度合适。强度合适。 练习题练习题1：圆柱杆的直径为：圆柱杆的直径为2R，弯成，弯成U型，位于水平型，位于水平 面内，尺寸如图。已知材料的屈服极限为面内，尺寸如图。已知材料的屈服极限为s，屈服，屈服 安全系数取。用第三强度理论确定系统的许可载安全系数取。用第三强度理论确定系统的许可载 荷荷P。 3L 4L P 练习练习2：AB、CD的直径均为，在同一平面内。的直径均为，在同一平面内。 受力如图所示，指出危险面，并写出强度理论的相受力如图所示，指出危险面，并写出强度理论的相 当应力的表达式。当应力的表达式。 L a b Pz Py Px 练习练习3：直角拐的直径为，杆长为：直角拐的直径为，杆长为ABBCL 10，承受的均布载荷为，承受的均布载荷为2.5KN/m，集中力，集中