2020高中数学--- 排列组合中的常见模型

1、m第十章第 80 炼 排列组合的常见模型第 80 炼 排列组合的常见模型排列组合，二项式定理一、基础知识：（一）处理排列组合问题的常用思路：1、特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要 求的元素。例如：用0,1,2,3,4组成无重复数字的五位数，共有多少种排法？解：五位数意味着首位不能是 0，所以先处理首位，共有 4 种选择，而其余数位没有要求，只需将剩下的元素全排列即可，所以排法总数为n =4 a44=96种2、寻找对立事件：如果一件事从正面入手，考虑的情况较多，则可以考虑该事的对立面， 再用全部可能的总数减去对立面的个数即可。例如：在 10 件产品中，有

2、 7 件合格品，3 件次品。从这 10 件产品中任意抽出 3 件，至少有 一件次品的情况有多少种解：如果从正面考虑，则“至少 1 件次品”包含 1 件，2 件，3 件次品的情况，需要进行分类讨论，但如果从对立面想，则只需用所有抽取情况减去全是正品的情况即可，列式较为简单。n =c 3 -c 3 =8510 7（种）3、先取再排（先分组再排列）：排列数 a 是指从 nn个元素中取出m个元素，再将这m个元素进行排列。但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素，所以此时就要将过程拆 分成两个阶段，可先将所需元素取出，然后再进行排列。例如：从 4 名男生和 3 名女生中选 3 人，分别从事 3 项

3、不同的工作，若这 3 人中只有一名女 生，则选派方案有多少种。解：本题由于需要先确定人数的选取，再能进行分配（排列），所以将方案分为两步，第一步：确定选哪些学生，共有 c 2 c 1 a3 =108种方案4 3 3c2 c 1 种可能，然后将选出的三个人进行排列： a3 。所以共有 4 3 3（二）排列组合的常见模型1、捆绑法（整体法）：当题目中有“相邻元素”时，则可将相邻元素视为一个整体，与其他 元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的顺序即可。例如：5 个人排队，其中甲乙相邻，共有多少种不同的排法42第十章第 80 炼 排列组合的常见模型排列组合，二项式定理解：考虑第一步将甲乙视为一个整体，

4、与其余 3 个元素排列，则共有 a 种位置，第二步考4虑甲乙自身顺序，有a22种位置，所以排法的总数为n =a4 a2 =484 2种2、插空法：当题目中有“不相邻元素”时，则可考虑用剩余元素“搭台，”不相邻元素进行 “插空”，然后再进行各自的排序注：（1）要注意在插空的过程中是否可以插在两边（2）要从题目中判断是否需要各自排序例如：有 6 名同学排队，其中甲乙不相邻，则共有多少种不同的排法解：考虑剩下四名同学“搭台”，甲乙不相邻，则需要从 5 个空中选择 2 个插入进去，即有c 25种选择，然后四名同学排序，甲乙排序。所以n =c25a44a22=480种3、错位排列：排列好的 n 个元素，

5、经过一次再排序后，每个元素都不在原先的位置上，则称为这 n 个元素的一个错位排列。例如对于a , b, c, d ，则 d , c, a , b是其中一个错位排列。 3个元素的错位排列有 2 种，4 个元素的错位排列有 9 种，5 个元素的错位排列有 44 种。以上 三种情况可作为结论记住例如：安排 6 个班的班主任监考这六个班，则其中恰好有两个班主任监考自己班的安排总数 有多少种？解：第一步先确定那两个班班主任监考自己班，共有c 种选法，然后剩下 4 个班主任均不6监考自己班，则为 4 个元素的错位排列，共 9 种。所以安排总数为n =c269=1354、依次插空：如果在n 个元素的排列中有

6、 m 个元素保持相对位置不变，则可以考虑先将这m个元素排好位置，再将 n -m 个元素一个个插入到队伍当中（注意每插入一个元素，下一个元素可选择的空 +1）例如：已知a, b, c , d , e , f6 个人排队，其中a, b, c相对位置不变，则不同的排法有多少种解：考虑先将a, b, c 排好，则 d 有 4 个空可以选择，d 进入队伍后，e 有 5 个空可以选择，以此类推， f 有 6 种选择，所以方法的总数为n =4 5 6 =120种5、 不同元素分组：将6、 相同元素分组：将nn个不同元素放入个相同元素放入mm个不同的盒中个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有cm -1n

7、-1种。解决此类问题常用的方法是“挡板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里第十章第 80 炼 排列组合的常见模型排列组合，二项式定理所含元素个数，则可将这n个元素排成一列，共有(n-1)个空，使用(m-1)个“挡板”进入空档处，则可将这 n 个元素划分为 m 个区域，刚好对应那 m 个盒子。例如：将 6 个相同的小球放入到 4 个不同的盒子里，那么 6 个小球 5 个空档，选择 3 个位置放“挡板”，共有c 35=20种可能7、涂色问题：涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色

8、（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即 可。例如：最多使用四种颜色涂图中四个区域，不同的涂色方案有多少种？解：可根据使用颜色的种数进行分类讨论（1）使用 4 种颜色，则每个区域涂一种颜色即可：n =a41 4（2）使用 3 种颜色，则有一对不相邻的区域涂同一种颜色，首 先要选择不相邻的区域：用列举法可得：i,iv 不相邻所以涂色方案有：n =a32 4（3）使用 2 种颜色，则无法找到符合条件的情况，所以讨论终止总计s =a 4 +a3 =484 4种二、典型例题：例 1：某电视台邀请了 6 位同学的父母共 12 人，请 12 位家长中的 4 位介绍对子女

9、的教育情 况，如果这 4 位中恰有一对是夫妻，则不同选择的方法种数有多少思路：本题解决的方案可以是：先挑选出一对夫妻，然后在挑选出两个不是夫妻的即可。第一步：先挑出一对夫妻：c16第二步：在剩下的 10 个人中选出两个不是夫妻的，使用间接法：c 210-5所以选择的方法总数为n =c 1 (c2-5)=240 6 10（种）答案： 240 种例 2：某教师一天上 3 个班级的课，每班上 1 节，如果一天共 9 节课，上午 5 节，下午 4 节，并且教师不能连上 3 节课（第 5 节和第 6 节不算连上），那么这位教师一天的课表的所有不 同排法有（ ）a.474种b.77种c.462种d.79种

10、第十章第 80 炼 排列组合的常见模型排列组合，二项式定理思路：本题如果用直接法考虑，则在安排的过程中还要考虑两节连堂，并且会受到第 5,6节课连堂的影响，分类讨论的情形较多，不易求解。如果使用间接法则更为容易。首先在无任何特殊要求下，安排的总数为a3 。不符合要求的情况为上午连上 3 节： a3 9 4和下午连上三节： a3 ，所以不同排法的总数为： 3a3 -a3 -a3 9 4 3=474（种）答案：a例 3：2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有 两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）a.60b.48c.42d.36思路：首先考虑从 3

11、位女生中先选中相邻的两位女生，从而相邻的女生要与另一女生不相邻，则可插空，让男生搭架子，因为男生甲不站两端，所以在插空的过程中需有人站在甲的边上， 再从剩下的两个空中选一个空插入即可。第一步：从三位女生中选出要相邻的两位女生：c 23第二步：两位男生搭出三个空，其中甲的边上要进入女生，另外两个空中要选一个空进女生，所以共有c12种选法。第三步：排列男生甲，乙的位置：a 2 ，排列相邻女生和单个女生的位置：a 22 2，排列相邻女生相互的位置：a 22所以共有n =c23c12a22a22a22=48种答案：b例 4：某班班会准备从甲，乙等 7 名学生中选派 4 名学生发言，要求甲，乙两名同学至

12、少有一人参加，且若甲乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序种数为（ ） a. 360 b. 520 c. 600 d. 720思路：因为选人的结果不同会导致安排顺序的不同，所以考虑“先取再排”，分为“甲乙”同时选中和“甲乙只有一人选中”两种情况讨论：若甲乙同时被选中，则只需再从剩下 5人中选取 2 人即可：c 2 ，在安排顺序时，甲乙不相邻则“插空”，所以安排的方式有：a25 3a22，从而第一种情况的总数为：n =c 21 5a23a22=120（种），若甲乙只有一人选中，则首先先从甲乙中选一人，有c1 ，再从剩下 5 人中选取三人，有c 3 2 5，安排顺序时则无要求，所以第

13、 第十章第 80 炼 排列组合的常见模型排列组合，二项式定理二种情况的总数为：n =c212c35a44=480（种），从而总计 600 种答案：c例 5：从单词“equation”中选取 5 个不同的字母排成一排，含有“qu”（其中“qu”相连 且顺序不变）的不同排列共有_种思路：从题意上看，解决的策略要分为两步：第一步要先取出元素，因为“qu”必须取出，所以另外 3 个元素需从剩下的 6 个元素中取出，即c36种，然后在排列时，因为要求“qu”相连，所以采用“捆绑法”，将 qu 视为一个元素与其它三个元素进行排列：a44，因为“qu”顺序不变，所以不需要再对 qu 进行排列。综上，共有：c

14、36a44=480种答案：480例 6：设有编号1,2,3,4,5的五个茶杯和编号为1,2,3,4,5的五个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有（ ）a. 30 种 b. 31 种 c. 32 种 d. 36 种思路：本题可按照相同编号的个数进行分类讨论，有两个相同时，要先从 5 个里选出哪两个相同，有c 25种选法，则剩下三个为错位排列，有 2 种情况，所以n =c 2 21 5，有三个相同时，同理，剩下两个错位排列只有一种情况（交换位置），所以n =c 32 51，有四个相同时则最后一个也只能相同，所以n =1 ，从而 s =c 3252+c351+1=3

15、1（种）答案：b例 7：某人上 10 级台阶，他一步可能跨 1 级台阶，称为一阶步，也可能跨 2 级台阶，称为二阶步；最多能跨 3 级台阶，称为三阶步，若他总共跨了 6 步，而且任何相邻两步均不同阶， 则此人所有可能的不同过程的种数为（ ）a. 6 b. 8 c. 10 d. 12答案：a思路：首先要确定在这 6 步中，一阶步，二阶步，三阶步各有几步，分别设为x, y, z n*，则有 x +y +z =6 x +2 y +3 z =10x =4 x =3 x =2 ，解得： y =0, y =2, y =4 z =2 z =1 z =0，因为相邻两步不同阶，所以符合第十章第 80 炼 排列组

16、合的常见模型排列组合，二项式定理 要求的只有 x =3y =2z =1，下面开始安排顺序，可以让一阶步搭架子，则二阶步与三阶步必须插入一阶步里面的两个空中，所以共有 2 种插法，二阶步与三阶步的前后安排共有 3 种（三二二，三二三，二三三），所以过程总数为n =2 3 =6答案：a例 8：某旅行社有导游 9 人，其中 3 人只会英语，2 人只会日语，其余 4 人既会英语又会日语，现要从中选 6 人，其中 3 人负责英语导游，另外三人负责日语导游，则不同的选择方法 有_种思路：在步骤上可以考虑先选定英语导游，再选定日语导游。英语导游的组成可按只会英语的和会双语的人数组成进行分类讨论，然后再在剩下

17、的人里选出日语导游即可。第一种情况：没有会双语的人加入英语导游队伍，则英语导游选择数为c 33，日语导游从剩下 6 个人中选择，有 c 3 中，从而6n =c033c36，第二种情况：有一个会双语的人加入英语导游队伍，从而可得n =(c1c2)c31 4 3 5，依次类推，第三种情况。两个会双语的加入英语导游队伍，则n =(c2c1)c 2 4 334，第四种情况，英语导游均为会双语的。则n =c 3 c3 3 4 3，综上所述，不同的选择方法总数为s =c 3 c3 3 6+(c1c 24 3)c35+(c2 c14 3)c3 +c 3 c3 4 4 3=216(种)答案：216 种例 9：

18、如图，用四种不同颜色给图中a, b, c , d , e , f六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ ）a.288种b.264种c.240种d.168种思路：如果用四种颜色涂六个点，则需要有两对不相邻的点涂相同的颜 色 。 所 以 考 虑 列 举 出 不 相 邻 的 两 对 点 。 列 举 的 情 况 如 下 ：a,cb,d，a,cb,e，a,cd,f，a,fb,d a,f b,e，a,fc,e，b,dc,e，b,ed,f，c,ed,f共九组，所以涂色方法共有9 a 44=216如果用三种颜色涂六个点，则需要有三对不相邻的点涂相同的颜色，列举情况如下：a,cb,ed,f，a,fc,eb,d共两组，所以涂色方法共有2 a34=48第十章第 80 炼 排列组合的常见模型排列组合，二项式定理综上所述，总计264种答案：b例