偏微分方程数值解期末试题及答案

1、偏微分方程数值解期末试题及 答案000bb1 1 b du偏微分方程数值解试题(06b)参考答案与评分标准 信息与计算科学专业1一 （ 10 分 ）、 设 矩 阵 a 对 称 ， 定 义 j ( x) = ( ax, x ) -(b, x) ( x r2n) ，j(l) =j ( x +lx) . 若j (0) =0 , 则称称 x 是 j ( x ) 的驻点（或稳定点） .矩阵 a 对0 0称（不必正定），求证 x 是 j ( x ) 的驻点的充要条件是： x 是方程组 ax =b 的解0 0解: 设 x r 0n是 j ( x) 的驻点,对于任意的 x rn,令j(l) =j ( x +l

2、x) =j ( x ) +l(ax -b, x ) +0 0 0l22( ax , x) , (3 分)j(0) =0 , 即 对 于 任 意 的 x r n , ( ax -b, x) =0 , 特 别 取 x = ax -b , 则 有0 0( ax -b , ax -b ) =| ax -b | 0 0 02=0 ,得到 ax =b . (3 分)0反之,若x r0n满足ax =b0,则对于任意的x1, j ( x +x ) =j(1) =j(0) + ( ax, x ) j ( x ) ,因此 x 是 j ( x) 的最小值点. (4 分)2评分标准 :j(l) 的展开式 3 分, 每

3、问 3 分,推理逻辑性 1 分二（ 10 分）、 对于两点边值问题： d dulu =- ( p ) +qu = f dx dxu ( a) =0, u (b ) =0x ( a, b )其中 p c 1 ( a , b), p( x ) min p( x ) = px a ,b min0, q c (a, b ), q 0, f h 0 (a, b )建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的 ritz 形式和 galerkin 形式的变分方程。解 : 设 h1e=u | u h1( a , b ), u ( a ) =0 为 求 解 函 数 空 间 , 检 验 函 数 空

4、 间 . 取v h 1 ( a, b) ,乘方程两端 ,积分应用分部积分得到 e(3 分)a(u, v ) =adu dv( p . +quv ) dx = dx dxafvdx = f ( v ) , v h1e( a, b )即变分问题的 galerkin 形式 . (3 分)令 j (u) = a(u , u) -( f , u ) = p ( ) 2 +qu 2 - fu dx ,则变分问题的 ritz 形式 2 2 a dx122jk 0 -1 -1 41/ 3 1/ 3为求 u* h 1 ( a , b ) ,使 j (u e*) =min j (u) uhe(4 分)评分标准 :

5、空间描述与积分步骤 3 分,变分方程 3 分,极小函数及其变分问题 4 分, 三（ 20 分）、对于边值问题 2u 2u + =0 , ( x, y ) g =(0,1) (0,1) x yu | =1, u | =0, u | =u | =1 -x x =0 x =1 y =0 y =1（1） 建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式），推导截 断误差的阶。（2） 取 h =1/ 3 ，求边值问题的数值解（写出对应的方程组的矩阵形式，并求解） （ 3）就 h =1/ 5 和 h =1/ n 的一般情况写出对应方程组的系数矩阵（用分块矩阵 表示）。解: (1) 区域离散 x =

6、 jh , y =kh ,差分格式为j kuj +1,k-2u +ujkh 2j -1,k+uj , k -1-2u +ujkh 2j , k +1=0(5 分)应用 tayloyh 2 4u 4u展开得到 ,截断误差为 + +o ( h12 x4 y44) ,其阶为 o ( h2) (3 分)(2) 未知量为 u =(u , u , u , u )11 12 21 22t,矩阵形式为 au =f ,其中求解得到解为4 -1 -1 0 1+2 / 3 5/ 3 -1 4 0 -1 1/ 3 1/ 3 a =, f = =-1 0 4 -1 1 +2 / 3 5 / 3 (3 分)(4 分)l

7、= 2-1/2 15 / 21/ 2 0 15 / 2 0 -2 / 15 -2 / 1552 / 15a=4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,0,4,-1;0,-1,-1,4l =2.0000 -0.5000 -0.5000 00 1.9365 -0.1291 -0.51640 0 1.9322 -0.55210 0 0 1.8516u= 0.6667 0.3333 0.6667 0.3333, b =o o-1 4hj(3) 矩阵为b-i-ibo-io-ib 4 -1 -1 4 -1 (5 分)评分标准 :第 1 问 8 分,格式 4 分,截断误差 4.(2) 7 分,方程 4

8、分,解 3 分.(3)5 分, 形 式 3 分,b 的形式 2 分四（ 20 分）、对于初边值问题u 2u=a +bu , 0 x 1,0 t t t x2 u ( x,0) =j( x ), 0 x 1u (0, t ) =u (1, t ) =0,0 t t（1）建立向前差分格式（最简显格式），推导截断误差的主项，指出误差阶 ;（2）写出差分格式的矩阵形式（即 auk +1=buk+tf 的形式），用矩阵方法分析格式的稳定性（3）建立六点对称格式 ( crank -nicolson 格式) 并写出计算形式，应用 fourier 方法（分离变量法）分析格式的稳定性。解:(1) 区域离散,格式

9、为u k +1 -u k j jt1=a d2u k 2 x j+bukj, (5 分)1 2u ah 2 4u应 用 taylor 展 开 得 到 , 误 差 主 项 为 ( ) k t- ( )2 t2 12 x4kj+o (t2+h4) , 阶 为o (t +h 2 )(3 分)(2) a =e , b =diag r ,1 -2 r, r , (4 分)稳定条件为 r 1/ 2 (3) 格式为(3 分)u k +1 -u jtkj=ah 2d2 (quk +1 +(1 -q)uk x j jb) + (u2k +1j+ukj) , (3分)低阶项归入 o(t) 中,格式是无条件稳定的

10、. (2 分)jn +1 w n +1 1 0 w n22五（10 分）、逼近u u+ =0 的三层差分格式 t xun +1j-u2tn -1j+un -u n j +1 j -12h=0分析格式的稳定性解:计算形式为 un +1 =-r(u n j j +1-unj -1) +un -1j(2 分)此为三层格式 ,化为两层格式.令 vn+1 =u n j j,则有un+1 vj=-r(u =u njn -u n ) +v n j +1 j -1 j(4 分)令 u n =wn eiajh , v n =wn eiajhj 1 j 2,代入格式 ,消去公因子 ,得到wn +1 -2ir si

11、n ah 1 wn 1 = 1 (2 分)-2r sin ahi 1放大矩阵为 g =1 0,特征方程为 | le -g |=l+2r sin ahi -1 -1 l=l2+2 r sinahil-1=0 ,l1,2=-2 r sinah 4 -4 r22sin2ahill =1 , max| 1 2l |,|1l | 1 的充要条件为方程有相同的复根或一对共扼复根 ,即 2d=4 -4 r2sin2ah 0 .考虑到 a 的变化,稳定条件为 r 1(2 分)2u 2u六（ 10 分）、建立波动方程 =a 2t2 x2推导格式稳定的必要条件 .的初值问题的显格式，推导截断误差 ,解:差分格式为

12、un +1j-2u n +ujt2n -1j=a21h 2d2u n , (3 分) x jn n111p1 p1 4u 4u 截断误差为 t2 -a 2 12 t4 x4jnjh 2 +o (t4 +h 4 ) ,阶为 o (t2 +h 2 )(3 分)分析稳定性必要条件七（ 10 分）、对于二维抛物型方程(4 分)u 2u 2u=a( + ) 建立 crank -nicolson 差分 t x2 y2格式，指出截断误差阶，分析格式的稳定性。解:差分格式为u n +1 -u n jk jkt=ah 2(d2u n +1 x jk+d2u n +1 y jk)(4 分)误差阶为 o (t+h2

13、) (3 分)放大因子为 g (a,b,t) =1ah bh 1 +4 r sin 2 +4 r sin 22 2,恒稳定. (3 分)八.用 ritz -galerkin 方法求边值问题-u +u =x 2 0 x 1 u(0) =0, u (1) =1的第 n 次近似 u ( x ) ,基函数 j( x ) =sin(in ipx), i =1,2,., n解:(1)边界条件齐次化 :令 u =x , w =u -u ,则 w 满足齐次边界条件 ,且0 0lw =lu -lu =x 2 -x0w(0) =0, w(1) =0(3 分)第 n 次近似 w 取为 w = c j ,其中 c (i =1,2,.n ) 满足的 ritz -galerkin 方程为n n i i ii =1ni=1a(j, j )c =( x 2 -x , j ) j =1,2,., n i j i j(3 分)又a (j,ij ) =j0(jj +jj)dx =ij i j i jp2 0cos(ipx) cos( jpx)dx+0sin( ipx)sin( jpx) dx =ijp2-pcos(ix ) cos( jx ) dx+ sin ix sin jx 2p -p由三角函数的正交性,得到322a (j, j ) =i ji 2p2