北交大激光原理第4章Suggestsforsolvingproblems

1、第三章 光学谐振腔理论一、 学 习要求与重点难点学习要求1 了解光学谐振腔的构成、分类和模式等基本知识，及其研究方法。2 理解腔的损耗和无源腔的单模线宽。3 掌握传播矩阵和光学谐振腔的稳定条件。4 理解自再现模积分本征方程，了解针对平行平面腔模的数值迭代解法，理解针对球面对称共焦腔模式积分本征方程的近似方法及其解。5 掌握等价共焦腔方法，掌握谐振腔的模式概念和光束特性。6 掌握高斯光束的描述参数以及传输特性；7 理解 q 参数的引入，掌握 q 参数的 ABCD 定律；8 掌握薄透镜对高斯光束的变换；9 了解高斯光束的自再现变换，及其对球面腔稳定条件的推导；10理解高斯光束的聚焦和准直条件；11

2、了解谐振腔的模式匹配方法。12了解非稳腔的模式理论。重点1 谐振腔的作用，谐振腔的构成和分类，腔和模的联系；2 传播矩阵分析方法；3 光学谐振腔的稳定条件；4 模自再现概念；5 自再现模积分本征方程的建立，及其近似；6 球面对称共焦腔积分本征方程的近似方法，及其解；7 谐振腔的横纵模式和光束特性；8稳定谐振腔的等价共焦腔。9高斯光束的传输特性；10q 参数的引入；11q 参数的 ABCD 定律；12薄透镜对高斯光束的变换；13高斯光束的聚焦和准直条件；14谐振腔的模式匹配方法。难点1 传播矩阵的近似；2 非稳腔；3 模自再现概念；4 自再现模积分本征方程的建立；5 球面对称共焦腔积分本征方程的

3、近似方法，及其解；6 谐振腔的横纵模式和光束特性；7 q 参数，及其 ABCD 定律；8 薄透镜对高斯光束的变换；9 谐振腔的模式匹配。、知识点总结分立的本征态（振荡频率，空间分布）f模式的形成J形成驻波T纵模 驻波条件光的频率3tF 形成 衍射筛选_横模 自再现模了光场横向能量分布激光模式模式的表示方法：TEMmnq,m, n-横模指数，q-纵模指数询、人七、+衍射理论：不同模式按场分布，损耗，谐振频率来区分，有限范围的电磁场二谐振腔的作用T腔和模的联系U腔内存在的电磁场 U反映腔内光场的分布理论方法T几何光学+干涉仪理 论：忽略镜边缘引起的衍射效应，不同模式按传输方向和谐振频率区分-粗略但

4、简单明了 光腔的损耗一光子的平均寿命一无源腔的 Q直一无源腔的线宽共轴球面腔的稳定条件：稳定判据适用任何形式的腔，只要列岀往返矩阵就能判断其稳定与否只使用于简单的共轴球面镜腔 （直腔）1.谐振腔衍射积分方程推导菲涅尔基尔霍夫积分公式T推广到谐振腔自再复常数因子T自再现模积分方程求解方法，解析解：特殊腔（对称共焦腔），本征函数一振幅和相位分布（等相位面）I数值求解（数值迭代法）J I本征值-模的损耗、相移和谐振频率角向长椭球函数；基模：如亠刖尸：本征函数振幅和相位高阶横模N不是很小时，厄密高斯函数相位分布：反射镜构成等相位面-方形镜:对称共共焦腔的自再r单程损耗：& 9*監|=1-4NR0m(C

5、,1)R01n)(C,1)2本征值径向长椭球函数 _鼻单程相移：0加“ mrg 监n =_kL +(m +n 41)兀 2谐振频率：谐振条件2占廟=-q 2兀Txmnq =2 q七m知41)4L腔内行波场斗 jp基模振幅：Eoo(X, y, Z =Aoo Eo 诺 e, W =(1 时 2) 模体积等相位面：腔轴线附近近似为球面远场发散角：尙Tim 2wL.沖Z圆形镜:(r2._ 4十皿基模：4o(x, y) =Cooe 厂二超椭球函数；本征函数振幅和相位高阶横模N不是很小时，拉盖尔高斯函数心、八左=甘旨小宀坐出,、希相位分布：反射镜构成等相位面一般稳定球面腔共焦腔与稳定球面腔的等价关系高斯光

6、束单程损耗：只有精确解能够给出。本征值 T单程相移：Zdmn =arg=-kL 4(m+2n比)江2谐振频率：谐振条件2回$n= -q 2兀TVLq =?2 q七m 42n舟)2rwTz)振幅分布：按高斯函数ew(z)从中心向外平滑降落。光斑半径W(z)二 Wo .1-！ Z高斯光束基本性质1等相位面：以R为半径的球面，R(z)=z1 + 2远场发散角：基模高斯光束强度的 2点的远场发散角,e高斯光束特征参数w(或f )及束腰位置2 -；/2二 w2(z)光斑半径w(z)和等相位面曲率半径:/w =w(z) 1 +R(z)t!丿zg)1十器Viw (z)丿.11. 九i 2q 参数，q R(z

7、) ;:w(z)2q (z )=if +z =q +z =i高斯光束通过光学系统的传输规律遵从相同的变换规律ABCD公式将两个参数W(z)和R(Z)统一在一个表达式中，便于研究-zA； +B傍轴光线的变换规律芋=一9D傍轴球面波的曲率半径R勺变换规律R2=CRTBJ 高斯光束q参数的变换规律q2 =AB高斯光束q参数的变换规律已知w0， w0，确定透镜焦距F及透镜距离I，I已知两腔相对位置固定I。= I I 及w0，w0确定，F如何选择高斯光束的聚焦：只讨论单透镜高斯光束的准直：一般为双透镜ABCD公式、W囂T高斯光束的模式匹配：实质是透镜变换，分两种情况高斯光束的自再现变换和稳定球面腔高斯光

8、束的自再现变扌奂o 二 Woorq(I)=q(O) 透镜F =组1+1、ji丿球面镜R(l)=l1iii7、丿遇212即F = R(l)= 稳定球面腔 窗2三、典型问题的分析思路1 纵模间隔问题根据纵模频率间隔的公式计算L-q问题还可以变为腔长如何选择,可获得单R子午COST。对于在与2此垂直的平面内传输的弧矢光线,，二为光轴与球面镜法线的夹角。2cos 二纵模输出等。2 分析某一谐振腔的稳定性问题这类问题分三种情况，第一种是只由两个球面镜组成的共轴球面镜腔，可以利用下面 的稳定腔判据公式：0 gig21 or g =g2 =0g1 = 1 , g2 1R1第二种情况是两个球面镜组成的共轴球面

9、镜腔中插入其它光学元件。这时要首先写出这个谐振腔的传输矩阵。利用下面的稳定判据公式：1-1 2（A D） 1非稳定腔21-（A D）= _ 1临界腔分析谐振腔各参数所应满足的条件。第三种情况是非共轴球面镜腔，如折叠腔和环形腔。求环形腔、折叠腔的往返矩阵时，要将其化为直腔，如果考虑象散，需要对往返矩阵的修正。对于共轴球面镜腔的近（傍）轴R光线f。而对于环形腔和折叠腔（非共轴球面腔），由于象散，球面镜在子午面和弧2矢面的焦距不共点。其中子午面为环形回路所在平面，弧矢面为包含回路一边长，垂直于 子午面的平面。对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线,3 谐振腔损耗问题光学谐振腔积分方程的特征值一。，它

10、的实部决定腔损耗， 特征值 的虚部决定Uq 十 - yUqU _ eU e4 P光波的单程相移。将特征值代入中得：Uq1_e Uqe 。即e 一表示腔内经单程度越后自再现模的振幅衰减。即的实部决定腔损耗，：表示每经一次度越的相位滞y后，所以 的虚部决定的单程相移。单程相移：单程损耗：、伽=1 -=1 UmS1:为mn 二argarg；十nmn共焦腔模的谐振条件方形镜共焦腔谐振频率V|2mn = 72；二=圆形镜共焦腔谐振频率VmnqmnqC1,八,27q 2(m n 1) 2CLq 4(m 2n d4 共焦腔问题例如求方形镜或圆形镜共焦腔面上各阶（低阶）横模的节线位置。 对于方形镜共焦腔，镜面

11、上的高阶横模与基模光斑尺寸之比为灶2,昨=.2niW0sWos而圆形镜共焦腔镜面上的高阶横模的光斑半径wpls =2p+l +ws。只要求得了镜面上基模光斑的大小，就可求出高阶横模的光斑半径。我们知道方形镜和圆形镜镜面上基模光斑的大小都为OWos基模光斑尺寸、等相位面的曲方形镜共焦腔和圆形镜共焦腔的基模光束的振幅分布、 率半径及光束发散角都完全相同。X2 4y2基模场振幅分布E00 x,y,z “00E。如e w(z)基模光斑尺寸2 二2、f2丿W0-2W0 s镜面上基模的光斑半径,Wo高斯光束的基模的腰斑半径，坐标原点选在腔的中心。腰斑尺寸：Wo = W =镜面上光斑尺寸:共w z =w -

12、f =Wos =焦腔基模体积：V。0二1 L二w0s2L22高阶模体积:V；o1L：wmsWn 2m 1 2n 1 ；（模阶次愈高模体积愈大）等相位面（共焦场的等相位面近似为球面）的曲率半径:R(Zo )= Zo +Zor . LZo 二 f2R zoi；=2f -L 等相位面与共焦腔镜面重合。Zo =0 R Zo；Zo ：R Zo:等相位面为平面对称共焦腔等相位面分布图如图4.1所示。（共焦腔基模光束）远场发散角：v - lim 2w- 弧F Z2 、1 +Zf2丿8= 0.939 l5般稳定球面腔问题可以借助于其等价共焦腔行波场的解析解的特性表达出来，此处可参考教科书。6 非稳定谐振腔问题

13、关于非稳定谐振腔的问题主要包括求出共轭像点P和P2的位置；计算非稳腔的能量损耗率、几何放大率等。共轭像点Pi和F2的位置分别为li2，由球面镜成像公式1 丄L l2 l12R22Ri解得:liI2几何放大率镜Mr的单程放大率mi|=1a1镜M 2的单程放大率 m2 = 2非稳腔对几何自再现波型在腔内往返一周的放大率M = mim2对望远镜非稳定腔(实共焦腔和虚共焦腔)m1m2a2a2：_RlR2-L( L_R2)+Jl( L_R)( L_R2)( L_R_R2)2L - R| - R2L( L 一RJ+ i. L( L-R)(L 一R2)( L 一 R 一R221_一尺 一&M = mm2 =

14、 1平均单程能量损耗单程=什2 = 1 丄丄=1 -mi m2M往返能量损耗 往返=1-丨仁2=1A =1 Lw(z)二 Wo*. 1 J Zmij m2M_Wo1.二 w2等相位面曲率半径R(z) = z + 哑 i2高斯光束的q参数在自由空间中的传输规律q(z) = i叫 z = q0 z1 1 i 2q(z) R(z)二 w (z)1 1 =Re lq(z)j二 1Im扎lq(z)JR(z)1w2(z)基模高斯光束强度的1/e2点的远场发散角 二01向空辺=21.128此类问题z讥:z二 w0 f的实质是，通过任意光学系统追踪高斯光束的q参数值。首先要计算傍轴光线通过该系统的变换矩阵A

15、BlC D1)高斯光束通过单个透镜的变换，如图；求出某位置处的q(z)；光束的曲率半径R(z)和光斑大小 w(z)。4.3所示。图4.3高斯光束单透镜变换示意图已知入射高斯光束的腰斑半径和位置，求出射高斯光束的腰斑半径和位置。求解这类问题的方法是根据傍轴光线通过该系统(透镜)的变换矩阵|A1C D_-1/F 1,在透镜左端入射高斯光束的q参数qA二if，求出经过此光学系统变换后的q参数，然后得到出射高斯光束的腰斑半径和位置。高斯光束通过双透镜的变换。高斯光束通过第一个透镜后，出射高斯光束的腰斑半径和位置，然后将第一个透镜的出射 光束看成是第二个透镜的入射光束，再重复利用公式3)高斯光束的聚焦2

16、Wo2 2WoFF -l 2 fl =FF2(I -F f + f2e2f =母 F f 要使W0：: Wo要求 F? c（F -I ） + f2 即 IF + Jf2 _f2 或 I F _jF2_f2 才能聚焦如果F -. F 2二f 2 :：: I ： F F 2=f2 不能聚焦（2）. F 疋时 I = F = Wo = F /V-t WoI = FI . F = I Wo 11 - ： - w0 0 I F良好的聚焦效果：使用短焦距透镜；光腰远离透镜；双透镜聚焦4）高斯光束的准直a.单透镜对高斯光束发散角的影响物高斯光束的发散角为厲=2 兀wo像高斯光束的发散角为叫=2 兀Wo2Wo

17、w；F2(F -I f + f2=F时，wo达到极大值woF二 wo= 2WoFb.利用望远镜将高斯光束在丨=F时，F越大， Wo越小，像咼斯光束的方向性越好。准直方法：先用一个短焦距的透镜将高斯光束聚焦，获得极小的腰斑，然后用一个长焦距 的透镜来改善其方向性，如图4.5所示，可得到很好的准直效果。经过第二个透镜后高斯光束的发散角-二一.可以看出Wo “所以要使Wo增大7 Wo当时,W0= F2；：. W0最大。所以第二个透镜的焦距 F2要尽可能的大,而且Wo要尽可能的小，这就要求IFi,这时光腰几乎落在焦平面上,S Fi F2组成一倒装望远镜。准直倍率（发散角压缩比）M日-F2 WI ）空J

18、i +丨F2 一6 ” F1WoF1 Fi5）高斯光束的模式匹配模式匹配是使一个谐振腔的振荡模式经透镜变换后能在另一个谐振腔激发出相同的模式。 问题实质是透镜变换，如图4.5所示。图4.5透镜变换实现模式匹配示意图分两种情况：一种是已知w0，wo，确定透镜焦距（F）及透镜的距离 I, I （即两腔的相对位置）。根据物方高斯光束和像方高斯光束腰斑尺寸和束腰到透镜的距离所满足的公式z兀 Wow0fo0 -当F fo并确定时，可求得I,I 第二种情况是两腔相对位置固定（即两光A腰之间的距离）Io =丨+ |及Wo, w o确定，为了实现模匹配，F如何选择。i _f = _Wo .,Ff7WoI _F

19、 = _Wo ；F2 -f。2Wo将上面两式相加，根据II I，得到f, 2-fo2Io -2FWo +Wo s2 0、710、- 00、“ 00 各为多少。试证明，在所有a2/L，相同而R不同的对称球面镜稳定腔中，共焦腔的衍射损耗(1) 当 R=100cm 时,最低。L表示腔长，R = R = R2为腔镜的曲率半径，a为镜面半径。推导出平-凹稳定腔基模在镜面上光斑大小的表示式，做出:-1、 a随L而变化的曲线；（2）当L=100cm时，si、s2随R而变化的曲线。49. 平凹腔中凹面镜曲率半径为R,腔长L=0.2R,光波长为,求此平凹腔产生的基模高斯光束的束腰半径。50. 试证明经过焦距为

20、F的薄透镜，高斯光束的q参数传播满足 ABCD定律。51. 若A激光器的激光束经透镜变换匹配地射入B激光器，B激光器的激光束能不能匹配地射入 A激光器，为什么？52. 已知一高斯光束束腰半径为 0,束腰与焦距为f的薄透镜相距为I，经透镜变换后 传输距离ii,又经一折射率为 n长l的透明介质后输出（如下图所示），求：1）高斯光束在介质出射面处的q参数和光斑半径；2）若将介质移到薄透镜处，即li = 0 （不考虑可能存在的间隙），求输出高斯光束的远场发散角v53. 两支He-Ne激光器都采用平凹腔，尺寸如图所示，请问在何处插入焦距为多少的 透镜可以实现而者的模式匹配。54.采用方形共焦腔 He-N

21、e激光器的腔长L=30cm，反射镜尺寸为2a=0.2cm，如果一个模式的光斑大小超过镜面尺寸，则认为该模式不可能存在，阶次。55.已知高斯光束的束腰半径为0,求：1) A点与束腰相距为z，求光斑半径 .(z);1求此激光器的最高横模求 .p和.(z)的关系。2) 如果测量到A点光斑光强下降到最大值的一处的半径为-T，六、部分答案1. 光学谐振腔的作用。是什么？解题思考：关键概念：光学谐振腔答：一是提供正反馈，二是控制振荡模式特性。2. 光学谐振腔的构成要素有哪些，各自有哪些作用？解题思考：关键概念：光学谐振腔，构成要素，作用答：光学谐振腔的构成要素有：是否有边界、是否有反射镜以外的反射面、反射

22、镜外形、反射镜面形状、镜曲率半径与腔长关系。是否有边界，决定光学谐振腔是否是封闭腔、波导腔或开式腔；是否有反射镜以外的反射面，决定光学谐振腔是复合腔还是简单腔；反射镜面形状，决定光学谐振腔是球面腔、非球面腔，以及是否是双凹腔、平凹腔、平平腔、凹凸腔、双凸腔；镜曲率半径与腔长 关系，决定光学谐振腔是稳定腔、临界腔或非稳腔。3. C02激光器的腔长L = 1.5m，增益介质折射率 n= 1,腔镜反射系数分别为 r1 = 0.985,r2 = 0.8，忽略其它损耗，求该谐振腔的损耗,光子寿命R , Q值和无源腔线宽 小。解题思考:关键概念：谐振腔单程损耗因子 、光子寿命Tr、Q值和无源腔纵模线宽 也

23、牛，腔镜反射系数，CO2激光器的波长1 1关键公式：=丄|门2 牡2Lc4二 LIn1r1r2, 111 1解：InIn0.1192 r1r220.985 汉 0.8L1.50.119 3 108-4.2 10“(s)=2血I o=2兀 x4.10_8 xR3 10810.6 10“= 7.47 106R C In3 10 In -3.8 106(Hz)4二 Lr24二 1.5 0.985 0.8。折射率分别为1, 2的两介心14.证明：下图所示的球面折射的传播矩阵为质分界球面半径为 R。解题思考:关键概念：折射，传播矩阵关键公式：si n q = 口2sin v21证:两介质分界球面光线出射

24、处：ri = rz(1)n sine 日由折射定律和旁轴光线近似：二二岂2!(2)3sin日2日2f rI P = =日2 + 日以及入射、反射和折射光线间的几何关系：R2 z 3二2冃千卜=式(1)联立解得：1.R 22上式写成矩阵形式：1n n 门 iH_1 dM2证毕5.证明：下图所示的直角全反射棱镜的传播矩阵为。折射率为的棱镜高do解题思考：关键概念：传播矩阵关键公式：各向同性自由空间传播传输矩阵:，平面镜反射传播矩阵：I1 01 ,：0 1 一_1 0 1平面界面透射传播矩阵:一0十关键点：以光线传播顺序对相应光学元件的传播矩阵进行逆序乘积。解：设图中棱镜材料中光垂直方向传播距离为2

25、11 O - -n JO 11 O-1 O -1JO1 O-6.导出下图中1、2、3光线的传输矩阵。R-1011I01 -10121，平面镜反射传播矩阵：，球面界面透射传播矩阵：门2 nniR01一1n2RI1 L 球面界面反射传播矩阵: 0 1 一关键点：以光线传播顺序对相应光学元件的传播矩阵进行逆序乘积。光线1：光线2：光线3：nIL-r10011 d 1 1o01 d仃 nR011nRI n T一 R0 1 +1 =n_dln -12dnR甲2dR22d2d nR解题思考：关键概念：传播矩阵关键公式： 各向同性自由空间传播传输矩阵:解:设图中透镜材料的折射率为 n-127.已知两平板的折

26、射系数及厚度分别为n1, d1，n2，d2。(1)两平板平行放置，相距I, (2)两平板紧贴在一起，光线相继垂直通过空气中这两块平行平板的传输矩阵，是什么解题思考：关键概念：传播矩阵关键公式：长方体传播传输矩阵:1n,各向同性自由空间传播传输矩阵：?L11111一j 0-1平面界面透射传播矩阵：0 R关键点：以光线传播顺序对相应光学兀件的传播矩阵进行逆序乘积。解：1 -ni0 1B10dJ虫1 n2n,=1 j LO 1 J .0d dn1n2101；1 d2!0n2 _b 1 一另法解:I0訝0讣机n2j8.光学谐振腔的稳定条件是什么，有没有例外？谐振腔稳定条件的推导过程中，只是要求光线相对

27、于光轴的偏折角小于90度。因此，谐振腔稳定条件是不是一个要求较低的条件，为什么?解题思考:关键概念：关键公式：光学谐振腔，光学谐振腔稳定条件；rn+ A CTJI D.An Cn 1 r1_Bn Dn . |占答：光学谐振腔稳定条件是 0：g1g2 1o这是一个要求很高的条件，没有例外。这是因为，在导出这一稳定条件时，尽管只是要求光 线相对于光轴的偏折角小于90度，并没有限定光线的往还次数，因此这是一个严苛的条件。9.有两个反射镜，镜面曲率半径，R仁50cm , R2=100cm，试问：(1) 构成介稳腔的两镜间距多大 ？(2) 构成稳定腔的两镜间距在什么范围？(3) 构成非稳腔的两镜间距在什

28、么范围？解题思考：关键概念：光学谐振稳定条件：0： g1g2 : 1g1 Lg2 =1 LR1r2关键公式：稳定腔：0 ： g : 1，介稳腔：g =0或g =1，非稳腔：g ： 0或glg21解:=0，解得：L =100或L = _50 （无物理意义，舍弃（1）由 g1g0，有（1 -）（1 一 命由g-i g2 = 1，有（1 _ -）（1）=1，解得：L = 50或L = 0 （无物理意义，舍弃）-50八 1007构成介稳腔的两镜间距：L =50或100由 0 :： g1g2 : 1，有 0 :：: （1 _ ；。）（1:：1 ，解得：50 :： L : 100 或 一50 :： L :

29、： 0 （物理意义，舍弃）构成稳定腔的两镜间距:50 : L : 100由 glg2 : 0 ,有（1 -L ）门L V 0，解得：L . 100或L 50 （无物理意义，舍弃 -50100由 g1g21，有（1 丄）（1 丄）1，解得：0 ： L ： 50-50100构成非稳腔的两镜间距：L 100或0 ： L ： 50 10.共焦腔是不是稳定腔，为什么？解题思考：关键概念：共焦腔、对称共焦腔、稳定腔1 1 关键公式：光学谐振稳定条件：0 ： g1 g2 : 1，共焦腔：L = 1 R1 R2关键点：腔镜曲率半径的正负5）（1 一5）J（2 一&一旦）2R12R24R1R2=04（2 一R1

30、：0：0尺=&对称共焦腔R1 - -R2& = RR-R2若该共焦腔为双凹腔，令由:(ab)2 =0l0a2 b2有:、碍中普半厂0 RR2所以：4R-i R2 0 R - R2若该共焦腔为凹凸腔:-驰2 V2+R2R-R-R2有:-g4(2+)!=1R =-R2（非共焦腔舍弃）R-& (a -综上所述，由光学谐振稳定条件：0 :： g-g2 :： 1判定，共焦腔不是稳定腔；只有对称共焦腔是介稳腔，其它结构类型的共焦腔均是非稳腔。11.腔内有其它元件的两镜腔中，除两腔镜外的其余部分所对应传输矩阵元为ABCD，腔镜曲率半径为R、R2，证明：稳定性条件为0： glg2 ：1，其中gl = D 一

31、B/Rl ； g2 二 A - B /7o解题思考：关键概念：光学谐振腔、稳定腔、传播矩阵-1 01关键公式：球面界面反射传播矩阵：2彳 1.R J关键点：以光线传播顺序对相应光学元件的传播矩阵进行逆序乘积，并考虑光线在谐振腔中的多次往返。解：光线在谐振腔中的一次往返:R101A Bl1 rc d c L = R201A B = E1匕 D _ _ G其中:E 二 A2 一空 BCR22B2F =ABBDR22A2 “ 2B “ 2A GAC (D)( C)2AB BC (RR2BD)(2B D)RRR2由：BBg1?g2二 A -Ri&可得：1Dg11A g2R1BR2_ BE =2Ag2

32、_A2 +BCjF = 2Bg2 -AB + BD则：2G = A2 +2g； A_2g2 A2 _g2 AD)+2g2C + AC _DC B2Dg!-2Ag!+4g!g2DgD2 BC光线在腔内往返谐振n次，由Sylvester定理可得；E Fl1E sinIn - sin(n -1沖F sin n:GH_fen Hn 一sin G sin nH sin 神-sin( n -1)忙1 其中，cos （E H）。2若希望旁轴光线不横向逸出腔外，应要求这四个矩阵元值不能无限大，即要求:cos那 1也就是要求：1一（E +H ） C12对于题目所述球面镜谐振腔：11 2 2-E H =2g1g2

33、-AgDgAg? -Dg? BC -（A2 D2） 22对于光学谐振腔来说，光线传输矩阵元须满足：detT二EH -FG =1即: Ag1-Dg1-Ag2 Dg2-BC 丄（A2 D2） =12所以:光学谐振腔稳定性条件为：0 ： g1 g2 : 112试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。解题思考：关键概念：平凹、双凹、凹凸共轴球面镜光学谐振腔、镜腔曲率半径正负取值规定、稳 定性判据关键公式：0 ： g1g2 : 1解：(1)平凹腔平面镜曲率半径为无穷大：g1 = 1，假设凹面镜腔对应正曲率半径R2: g2 = 1丄R2由稳定性条件：0 ： ga : 1可得：R2 L可见，凹面镜腔正

34、曲率半径超过腔长的平凹腔，为稳定腔。双凹腔假设凹面镜腔正曲率半径R和R2，且R2HR : 9广1 -丄 g2=1-丄&，R2由稳定性条件：0 ： gv? : 1可得：L - R,或L : R1可见，双凹镜腔的腔长取值，或者超过两凹面腔镜中曲率半径较大的曲率半径，或者小于两者之中曲率半径较小的曲率半径，即为稳定腔。(3)凹凸腔假设凹面镜腔正曲率半径R，凸面镜腔的负曲率半径 & :=1-丄 g2 =1 +丄R1，-R2由稳定性条件：0 ： g1g2 : 1L ： -尺进一步分析不等式解中对腔长取值要求可见，若凹面腔镜曲率半径值等于凸面腔镜曲率半径值的二倍： Ri= -2R2，腔长取值：L二-尺时为

35、稳定腔；若凹面腔镜曲率半径值小于凸面腔镜曲率半径值的二倍：R -2R2，腔长取值：-R2 L Ri R2时也为稳定腔；若凹面腔镜曲率半径值大于凸面腔镜曲率半径值的二倍：R -2R,，则两镜无法组成稳定腔,即凹面腔镜曲率半径值须低于凸面腔镜曲率半径值二倍是凹凸镜组成稳定腔的前提。13.激光器谐振腔由一面曲率半径为1m的凸面镜和曲率半径为 2m的凹面镜组成，工作物质长0.5m，其折射率为1.52，求腔长L在什么范围内是稳定腔。解题思考:关键概念：凹凸面镜谐振腔、镜腔曲率半径正负取值规定、等效腔长、稳定性判据关键公式：0 ： g1g2 : 1解：R=1，R2 =2，I =0.5，n =1.52L=L

36、 -ILg1花，R2由稳定性条件：0 ： 922 : 1-)(10 ：（10 ：(L 0.829)(2.17 - L) : 2 可得：2.17(m) L 1.17(m) 或0 : L L分别对应由曲率半径超过腔长的双凹面镜组成的稳定腔，以及由曲率半径不超过腔长但两镜曲率半径之和超过腔长的两镜组成的稳定腔。16. 试分析ABCD定律在光学谐振腔分析中的作用。解题思考：关键概念：传播矩阵、ABCD定律、谐振腔稳定性解：在光学谐振腔分析中，光学谐振腔中光线n次往返反射传播所对应的传播矩阵为：A B “An Bn I 1 Asinn sin(n -1)Bsinnc D-Jcn Dn _ sin CsinnD si nn s in(n 1沖按照ABCD定律，光学谐振腔中光线的最终坐标通过传播矩阵中的矩阵元素ABCD与初始坐标联系起来。在初始坐标为近轴光线的情况下，通过要求传播矩阵中的矩阵元素ABCD为有限量，得到了光学谐振腔的稳定性条件。可见，ABCD定律在在光学谐振腔的稳定性分析中发挥了重要作用。17. 一般稳定球面镜谐振腔与其等价共